2024-2025学年辽宁省高二（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省高二（上）段考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是(

)A.零向量没有方向

B.在空间中，单位向量唯一

C.若两个向量不相等，则它们的长度不相等

D.若空间中的O，M，N，P四点不共面，则{OM2.已知直线l的倾斜角为2π3，则该直线的一个方向向量为(

)A.(3,1) B.(3,−1)3.如图所示，在三棱锥A−BCD中，O为CD的中点，设BA=a,BC=bA.−a+12b+12c4.已知两直线l1：3x+4y−14=0，l2：a(x+1)−2x+4y=0，若l1//l2，则lA.95 B.125 C.1755.已知直线l1：ax+y+7=0，l2：(a+2)x−3y+2=0，则“a=1”是“l1⊥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知平面α的法向量m=(2a,3,−2)，平面β的法向量n=(−2,b,1)，若α//β，则a+2b=(

)A.−1 B.1 C.2 D.57.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E，F，G分别为BC，A.直线DD1与直线AF垂直

B.直线A1G与平面AEF平行

C.三棱锥F−ABE的体积为18

D.直线8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑A−BCD中，AB⊥平面BCD.∠BDC=90°，BD=2AB=2CD=2，E是BC的中点，H是△ABD内的动点(含边界)，且EH//平面ACD，则CA⋅EH的取值范围是(

)A.[0,3] B.[12,3] C.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l：(2a−3)x+(1−a)y+1=0，则(

)A.若a=1，则直线l的倾斜角为π2

B.直线l过定点(1,2)

C.若a=43，则直线l在x轴和y轴上的截距相等

D.若直线10.如图，四边形ADEF为正方形，CD⊥平面ADEF，CD//AB，AD=AB=12CD，M为CE的中点，则A.B，C，E，F四点共面

B.BM/​/平面ADEF

C.BC⊥平面BDE

D.平面BCF⊥平面BDE11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，EA.当点P在线段BC1上运动时，A1P与AD1所成角的最大值是π3

B.若点P在上底面A1B1C1D1上运动，且正方体棱长为1，AP与AA1所成角为π4，则点P的轨迹长度是π

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l：ax+by−1=0(a>0,b>0)过点P(1,2)，则当1a+2b取得最小值时，直线13.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长均为1，点O为棱BC上的中点，点E为棱A114.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的体积为8，且四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l1：2x+y+4=0与直线l2：x−3y−5=0的交点为M．

(1)求点M关于直线2x−3y+1=0的对称点N；

(2)求点A(4,0)到经过点M的直线l距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程．16.(本小题15分)

如图，AB是半圆O的直径，C是AB的中点，PA=PB，平面PAB垂直于半圆O所在的平面，PO=AB=2．

(1)若D为PB的中点，证明：OD//平面PAC；

(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．17.(本小题15分)

如图①，在边长为4的菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD的中点，∠ADC=120°，如图②，将菱形ABCD沿对角线AC折起．

(1)证明：AC⊥MN；

(2)当点D折叠到使二面角D−AC−B为直二面角时，求点D到平面AMN的距离．18.(本小题17分)

如图，在斜四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=AA1=2，∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=19.(本小题17分)

定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，那么称d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|为A，B两点间的曼哈顿距离．

(1)已知A，B两点的坐标分别为A(3,x)，B(2,−3)，如果它们之间的曼哈顿距离不大于2，求x的取值范围；

(2)已知A，B两点的坐标分别为A(a,x)参考答案1.D

2.C

3.A

4.D

5.A

6.A

7.B

8.B

9.ABC

10.BCD

11.CD

12.x+y−3=0

13.[0,114.32315.解：(1)已知直线l1：2x+y+4=0与直线l2：x−3y−5=0的交点为M，

联立2x+y+4=0x−3y−5=0，

解得x=−1y=−2，

即M(−1,−2)，

又点M关于直线2x−3y+1=0的对称点N，

设N(a,b)，

则b+2a+1=−322×a−12−3×b−22+1=0，

解得x=−3313y=413，

即N(−3313,413)；

(2)由(1)知M(−1,−2)，

则点A(4,0)到经过点M的直线l距离的最大值为|AM|=16.(1)证明：因为O，D分别是AB，PB的中点，

所以OD//PA，

又OD⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，

所以OD/​/平面PAC．

(2)解：因为PA=PB，O是AB的中点，所以OP⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，OP⊂平面PAB，

所以OP⊥平面ABC，

所以OP⊥OC，OP⊥OB，

因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,2)，A(0,−1,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，

所以PA=(0,−1,−2)，BP=(0,−1,2)，BC=(1,−1,0)，

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅BP=−y+2z=0n⋅BC=x−y=0，

令z=1，则x=2，y=2，所以n=(2,2,1)，

设直线PA与平面PBC所成角为θ，

则sinθ=|cos17.解：(1)证明：如图，取AC的中点O，连接OB，OD，

结合折叠后线段长度不变得到AB=BC，AD=DC，

所以AC⊥OB，AC⊥OD，

又OB∩OD=O，OB，OD⊂平面OBD，

所以AC⊥平面OBD，BD⊂平面OBD，

所以AC⊥BD，

又M，N分别是BC，CD的中点，

所以MN//BD，

所以AC⊥MN．

(2)因为点D折叠到使二面角D−AC−B为直二面角，

所以平面ABC⊥平面ACD，

又因为平面ABC∩平面ACD=AC，AC⊥OD，AC⊂平面ACD，

所以OD⊥平面ABC，又BO⊂平面ABC，

所以BO⊥OD，

结合(1)知OA，OB，OD两两垂直，

故以O为坐标原点OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，

则A(23,0,0)，D(0,0,2)，M(−3,1,0)，N(−3,0,1)，

所以AD=(−23,0,2)，AM=(−33,1,0)，AN=(−33,0,1)，

设平面AMN的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AM18.解：(1)证明：因为AB=BC=AA1=2，∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=π3，

设AB=a，AD=bAA1=c，

则a⋅b=|a|⋅|b|cosπ3=2，

a⋅c=|a|⋅|c|cosπ3=2，

b⋅c=|b|⋅|c|cosπ3=2，

所以A1C=A1A+AB+BC=−c+a+b，

又BD=AD−AB=b−a，

所以A1C⋅BD=(−c+a+b)⋅(b−a)=−b⋅c+a⋅c+b2−a2=−2+2+4−4=0，

故A ​1C⊥BD，

因为四棱柱ABCD−A1B1C1D1且AB=BC，

所以四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，

又A1C∩AC=A，AC，AC⊂平面ACC1A1，

所以BD⊥平面ACC1A1；

(2)过点A1，作A1O⊥AC，A1H⊥AB，连接OH，

设AC∩BD=M，因为BD⊥平面ACC1A1，AO⊂平面ACC19.解：(1)因为A(3,x)，B(2,−3)，故d(A,B)=1+|x+3|，

由曼哈顿距离不大于2，得1+|x+3|≤2，

解得−4≤x≤−2．

综上，x的取值范围是[−4,−2]．

(2)因为A(a,x)，B(x,−3)，

故d(A,B)=|a−x|+|x−2|，

由题意可得|a−x|+|x−2|>1恒成立，

因为|a−x|+|x−2|≥|a−x+x−2|=|a−2|，

当且仅当(x−2)(a−x)≥0时等号成立，即|a−x|+|x−2|的最小值为|a−2|，

所以|a−2|>1，则a−2<−1或a−2>1，解得a<1或a>3．

故a的取值范围是(−∞,1)∪(3,+∞)．

(3)点A(x,y)在函数y=3