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第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省高二(上)段考数学试卷(10月份)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是(
)A.零向量没有方向
B.在空间中,单位向量唯一
C.若两个向量不相等,则它们的长度不相等
D.若空间中的O,M,N,P四点不共面,则{OM2.已知直线l的倾斜角为2π3,则该直线的一个方向向量为(
)A.(3,1) B.(3,−1)3.如图所示,在三棱锥A−BCD中,O为CD的中点,设BA=a,BC=bA.−a+12b+12c4.已知两直线l1:3x+4y−14=0,l2:a(x+1)−2x+4y=0,若l1//l2,则lA.95 B.125 C.1755.已知直线l1:ax+y+7=0,l2:(a+2)x−3y+2=0,则“a=1”是“l1⊥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知平面α的法向量m=(2a,3,−2),平面β的法向量n=(−2,b,1),若α//β,则a+2b=(
)A.−1 B.1 C.2 D.57.如图所示,正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,点E,F,G分别为BC,A.直线DD1与直线AF垂直
B.直线A1G与平面AEF平行
C.三棱锥F−ABE的体积为18
D.直线8.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,在如图所示的鳖臑A−BCD中,AB⊥平面BCD.∠BDC=90°,BD=2AB=2CD=2,E是BC的中点,H是△ABD内的动点(含边界),且EH//平面ACD,则CA⋅EH的取值范围是(
)A.[0,3] B.[12,3] C.[二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知直线l:(2a−3)x+(1−a)y+1=0,则(
)A.若a=1,则直线l的倾斜角为π2
B.直线l过定点(1,2)
C.若a=43,则直线l在x轴和y轴上的截距相等
D.若直线10.如图,四边形ADEF为正方形,CD⊥平面ADEF,CD//AB,AD=AB=12CD,M为CE的中点,则A.B,C,E,F四点共面
B.BM//平面ADEF
C.BC⊥平面BDE
D.平面BCF⊥平面BDE11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中,EA.当点P在线段BC1上运动时,A1P与AD1所成角的最大值是π3
B.若点P在上底面A1B1C1D1上运动,且正方体棱长为1,AP与AA1所成角为π4,则点P的轨迹长度是π
C.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知直线l:ax+by−1=0(a>0,b>0)过点P(1,2),则当1a+2b取得最小值时,直线13.如图,正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长均为1,点O为棱BC上的中点,点E为棱A114.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的体积为8,且四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)
已知直线l1:2x+y+4=0与直线l2:x−3y−5=0的交点为M.
(1)求点M关于直线2x−3y+1=0的对称点N;
(2)求点A(4,0)到经过点M的直线l距离的最大值,并求距离最大时的直线l的方程.16.(本小题15分)
如图,AB是半圆O的直径,C是AB的中点,PA=PB,平面PAB垂直于半圆O所在的平面,PO=AB=2.
(1)若D为PB的中点,证明:OD//平面PAC;
(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.17.(本小题15分)
如图①,在边长为4的菱形ABCD中,M,N分别是边BC,CD的中点,∠ADC=120°,如图②,将菱形ABCD沿对角线AC折起.
(1)证明:AC⊥MN;
(2)当点D折叠到使二面角D−AC−B为直二面角时,求点D到平面AMN的距离.18.(本小题17分)
如图,在斜四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AB=BC=AA1=2,∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=19.(本小题17分)
定义:如果在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),那么称d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|为A,B两点间的曼哈顿距离.
(1)已知A,B两点的坐标分别为A(3,x),B(2,−3),如果它们之间的曼哈顿距离不大于2,求x的取值范围;
(2)已知A,B两点的坐标分别为A(a,x)参考答案1.D
2.C
3.A
4.D
5.A
6.A
7.B
8.B
9.ABC
10.BCD
11.CD
12.x+y−3=0
13.[0,114.32315.解:(1)已知直线l1:2x+y+4=0与直线l2:x−3y−5=0的交点为M,
联立2x+y+4=0x−3y−5=0,
解得x=−1y=−2,
即M(−1,−2),
又点M关于直线2x−3y+1=0的对称点N,
设N(a,b),
则b+2a+1=−322×a−12−3×b−22+1=0,
解得x=−3313y=413,
即N(−3313,413);
(2)由(1)知M(−1,−2),
则点A(4,0)到经过点M的直线l距离的最大值为|AM|=16.(1)证明:因为O,D分别是AB,PB的中点,
所以OD//PA,
又OD⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,
所以OD//平面PAC.
(2)解:因为PA=PB,O是AB的中点,所以OP⊥AB,
又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,OP⊂平面PAB,
所以OP⊥平面ABC,
所以OP⊥OC,OP⊥OB,
因为C是AB的中点,所以OC⊥AB,
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,0,2),A(0,−1,0),B(0,1,0),C(1,0,0),
所以PA=(0,−1,−2),BP=(0,−1,2),BC=(1,−1,0),
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则n⋅BP=−y+2z=0n⋅BC=x−y=0,
令z=1,则x=2,y=2,所以n=(2,2,1),
设直线PA与平面PBC所成角为θ,
则sinθ=|cos17.解:(1)证明:如图,取AC的中点O,连接OB,OD,
结合折叠后线段长度不变得到AB=BC,AD=DC,
所以AC⊥OB,AC⊥OD,
又OB∩OD=O,OB,OD⊂平面OBD,
所以AC⊥平面OBD,BD⊂平面OBD,
所以AC⊥BD,
又M,N分别是BC,CD的中点,
所以MN//BD,
所以AC⊥MN.
(2)因为点D折叠到使二面角D−AC−B为直二面角,
所以平面ABC⊥平面ACD,
又因为平面ABC∩平面ACD=AC,AC⊥OD,AC⊂平面ACD,
所以OD⊥平面ABC,又BO⊂平面ABC,
所以BO⊥OD,
结合(1)知OA,OB,OD两两垂直,
故以O为坐标原点OA,OB,OD所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz,
则A(23,0,0),D(0,0,2),M(−3,1,0),N(−3,0,1),
所以AD=(−23,0,2),AM=(−33,1,0),AN=(−33,0,1),
设平面AMN的法向量为n=(x,y,z),
则n⋅AM18.解:(1)证明:因为AB=BC=AA1=2,∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=π3,
设AB=a,AD=bAA1=c,
则a⋅b=|a|⋅|b|cosπ3=2,
a⋅c=|a|⋅|c|cosπ3=2,
b⋅c=|b|⋅|c|cosπ3=2,
所以A1C=A1A+AB+BC=−c+a+b,
又BD=AD−AB=b−a,
所以A1C⋅BD=(−c+a+b)⋅(b−a)=−b⋅c+a⋅c+b2−a2=−2+2+4−4=0,
故A 1C⊥BD,
因为四棱柱ABCD−A1B1C1D1且AB=BC,
所以四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD,
又A1C∩AC=A,AC,AC⊂平面ACC1A1,
所以BD⊥平面ACC1A1;
(2)过点A1,作A1O⊥AC,A1H⊥AB,连接OH,
设AC∩BD=M,因为BD⊥平面ACC1A1,AO⊂平面ACC19.解:(1)因为A(3,x),B(2,−3),故d(A,B)=1+|x+3|,
由曼哈顿距离不大于2,得1+|x+3|≤2,
解得−4≤x≤−2.
综上,x的取值范围是[−4,−2].
(2)因为A(a,x),B(x,−3),
故d(A,B)=|a−x|+|x−2|,
由题意可得|a−x|+|x−2|>1恒成立,
因为|a−x|+|x−2|≥|a−x+x−2|=|a−2|,
当且仅当(x−2)(a−x)≥0时等号成立,即|a−x|+|x−2|的最小值为|a−2|,
所以|a−2|>1,则a−2<−1或a−2>1,解得a<1或a>3.
故a的取值范围是(−∞,1)∪(3,+∞).
(3)点A(x,y)在函数y=3
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