2024-2025学年江苏省南京一中高一（上）段考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京一中高一（上）段考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设命题p：∃x∈R，x3>x，则￢p为(

)A.∀x∈R，x3≤x B.∃x∈R，x3<x

C.∃x∈R，x32.已知集合A={1,2,3,4}，B={x|x=n2,n∈A}，则A∩B=A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}3.已知全集U，集合M，N是U的子集．且M⫋N，则下列结论中一定正确的是(

)A. B.

C. D.4.已知a，b∈R，则“a<0，b>0且a+b<0”是“a<−b<b<−a”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知集合A={2a−1,a2,0}，B={1−a,a−5,9}，若A∩B={9}，则实数a的值为A.5或−3 B.±3 C.5 D.−36.已知x>0，y>0，若2x+y=xy，则x+2y的最小值为(

)A.9 B.3+22 C.4 7.设m∈N∗，m≥3，n∈N∗，n≥3，则满足{a1A.2m B.2m−1 C.28.已知命题p：∃x∈[0,3]，a=−x2+2x；命题q：∀x∈[−1,2]，x2+ax−8≤0，若p为假命题，q为真命题，则实数A.[−3,1] B.(−∞,2]

C.[−7,−3)∪(1,2] D.(−∞,−3)∪(1,2]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是(

)A.若b<a<0，则bc2<ac2 B.若b>a>0>c，则ca<cb

C.若10.已知全集U={x|x<10,x∈N}，A⊆U，B⊆U，A∩(∁UB)={1,9}，(∁UA)∩(A.8∈B B.A的不同子集的个数为8

C.{9}⊆A D.6∉11.如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P(A).用n(A)表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是(

)A.若A={1,2,3}，则{1}∈P(A)

B.存在集合A，使得n[P(A)]=15

C.若A∩B=⌀，则P(A)∩P(B)={⌀}

D.若n(A)−n(B)=3，则n[P(A)]=8×n[P(B)]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A={x|x>1}，B={x|−1<x<2}，则A∪B=______．13.已知p：−2≤x≤2，q：1−m≤x≤m−1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______．14.已知x>0，y>0，则8x2+四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知集合A={x|mx2+x−2=0}，B={x|2x2−5x−12=0}．

(1)若A中有且仅有1个元素，求实数m的值；

(2)若16.(本小题12分)

已知命题p：∀x∈R，a≥−x2+2x；命题q：∃x∈(−∞,32)，a<2x+42x−3．

(1)若p为真命题，求实数a的最小值；

(2)若￢p17.(本小题12分)

如图(示意)，在公路AB的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园(如图中Rt△ABC)，其中道路AC与BC为健身步道，△ABC内为绿化景观与健身设施等.由于路面材质的不同，AC段的造价为每米3万元，BC段的造价为每米2万元，△ABC内部的造价为每平方米2万元.设AC的长为x米，BC的长为y米．

(1)若建造健身步道的费用与建造△ABC内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积(只考虑△ABC内部)最少？

(2)若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长？18.(本小题12分)

已知集合A={x||x−1|≤2}，B={y|y=x+ax+7,x∈A}，C={y|y=a−1x,x∈[1,2]}．

(1)当a=−4时，求A∩B；

(2)若“x∈∁UA”是“x∈C”的必要条件，求实数a的取值范围；

(3)若∀y1∈B，∃y2∈C，使y1≥y2，求实数a的取值范围．

参考公式：若关于x的方程ax19.(本小题12分)

对于给定的非空集合A，定义集合A+={x|x=|a+b|,a∈A,b∈A}，A−={x|x=|a−b|,a∈A,b∈A}，当A+∩A−=⌀时，则称A具有孪生性质．

(1)判断集合A={0,4}，B={1,5,6}是否具有孪生性质，请说明理由；

(2)设集合C={x|n≤x≤2024,x∈N}，n∈N且n≤2024，若C具有孪生性质，求n的最小值；

(3)设集合D={参考答案1.A

2.A

3.B

4.C

5.D

6.A

7.D

8.C

9.BD

10.ABC

11.ACD

12.{x|x>−1}

13.{m|m>3}

14.4

15.解：(1)若m=0，方程化为x−2=0，此时方程有且仅有一个根x=2；

若m≠0，则当且仅当方程的判别式Δ=12−4×m×(−2)=0，

即m=−18时，方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素，

所以实数m的值为m=0或m=−18；

(2)B={x|2x2−5x−12=0}={−32,4}，

因为A∪B=B，所以A⊆B，

由(1)知m=0时，A={2}，不符合A⊆B，

当m≠0时，若Δ=12−4×m×(−2)<0，

解得m<−18，此时A=⌀，符合A⊆B，

若Δ=12−4×m×(−2)=0，解得m=−18，

此时方程mx2+x−2=0的根为x=416.解：(1)因为p为真命题，

所以x2−2x+a≥0的解集为R，

所以Δ=(−2)2−4a≤0，解得a≥1，

所以实数a的最小值为1；

(2)因为x∈(−∞,32)，所以3−2x>0，3−2x+43−2x≥2(3−2x)×43−2x=4，

当且仅当3−2x=43−2x，即x=12时取等号，

所以2x−3+42x−3≤−4，所以2x+42x−3≤−1，

因为q：∃x∈(−∞,32)，a<2x+42x−3，

所以当q为真命题时，a<−1，

由(1)可知￢p为真命题时，a<1，当￢p为真命题，17.解：(1)根据题意建造健身步道的费用为3x+2y，内部的建造费用为2×12xy(x,y>0)，

即xy=3x+2y，所以有x=2yy−3(y>3)，

而公园占地面积12xy=y2y−3=(y−3)2+6(y−3)+9y−3=(y−3)+6+9(y−3)≥6+2(y−3)⋅9(y−3)=12，

当且仅当y=6，x=4时取得等号，

所以规划AC=4，BC=6时占地面积最少；

(2)18.解：(1)由[x−1|≤2，可得−2≤x−1≤2，

即A=[−1,3]，

而a=−4时，y=x2−4x+7=(x−2)2+3，x∈[−1,3]，

由二次函数的性质知y∈[3,12]，即B=[3,12]，

所以A∩B={3}；

(2)根据反比例函数的性质知x∈[1,2]时，−1x∈[−1,−12]，

则a−1x∈[a−1,a−12]=C，

由(1)知：A=[−1,3]，由“x∈∁BA”是“x∈C”的必要条件可得C⊆∁BA，

①若x=−a2≤−1，即a≥2时，结合二次函数的性质，

当x=−1时，ymin=8−a，

当x=3时，ymin=16+3a，

即B=[8−a,16+3a]，

易知A⊆B，

所以8−a≤−116+3a≥3⇒a≥9，

若a=9，∁BA=(3,43]，显然满足C⊆∁BA，

若a>9，∁BA=[8−az−1)∪(3.16+3a]，

要满足题意则需8−a≤a−1−1>a−12⇒a∈⌀或a−1>3a−12≤16+3a⇒a>4，

所以a≥9；

②若x=−a2≥3，即a≤−6时，同上知B=[16+3a,8−a]，且A⊆B，

所以8−a≥316+3a≤−1⇒a≤−173，则a≤−6，

此时∁BA=[16+3a,−1)∪(3,8−a]，

要满足题意需−1>a−1216+3a≤a−1⇒a≤−172，或8−a≥a−123<a−1⇒a∈⌀，

所以a≤−172；

③若−1<x=−a2≤1，即a∈[−2,2)时，结合二次函数性质，

当x=−a2时，ymin=7−a24，

当x=3时，ymin=16+3a，

即B=[7−a24,16+3a]，且A⊆B，

所以7−a24≤−116+3a≥3⇒a≥42，与前提矛盾，舍去；

④19.解：(1)由题意可得：A+={0,4,8}，A−={0,4}，

B+={2,6,7,10,11,12}，B−={0