2024-2025学年北京市西城外国语学校高三上学期9月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城外国语学校高三上学期9月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|x2−5x+6>0}，B={x|x−1<0}，则A.(−∞,1) B.(−2,1) C.(−3,−1) D.(3,+∞)2.复数z=3+i2−i在复平面上的对应点落在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函数中，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增的是A.y=x2+2x B.y=2x+1 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1A.27 B.39 C.45 D.635.设a=20.3,b=(1A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c6.已知函数fx=Asinωx+φ的部分图象如图所示，则fx的表达式为A.fx=2sin32x+π4 7.“cosθ=0”是“函数f(x)=sin(x+θ)+cosA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.点声源在空间中传播时，衰减量ΔL(单位：dB)与传播距离r(单位：米)的关系式为ΔL=10lgπr24，则r从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为A.24dB B.18dB C.16dB D.12dB9.已知函数f(x)=|2x−2|，若f(a)=f(a≠b)，则a+b的取值范围是(

)A.(−∞,1) B.(−∞,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞)10.如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为

A.4β+4cosβ

B.4β+4sinβ

C.2β+2cosβ

D.2β+2sinβ二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知角α终边上一点P(−2,−1)，则tan2α=

．12.函数f(x)=xx−2的定义域为

13.已知α为第二象限角，cosπ2−α=1114，则14.已知函数fx的导函数为f′x，且f′x是偶函数，f′0=1，f′1=0.15.已知函数f(x)=ax+1,x≤0ln①当a=−2时，函数f(x)的单调递减区间为(−∞,1)；②若函数f(x)无最小值，则a的取值范围为(0,+∞③若a<1且a≠0，则∃b∈R，使得函数y=f(x)−b.恰有3个零点x1，x2，x3其中，所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=26，CD=6，(1)求cos∠BDC(2)求BC的长．17.(本小题12分)已知函数fx=2sin(1)求a的值；(2)求函数fx(3)若对于任意的x∈0,m，总有fx≥f018.(本小题12分)已知函数fx(1)当a=0时，求曲线y=fx在0,f(2)求fx(3)求函数fx在0,1上的最小值．19.(本小题12分)在▵ABC中，已知a2(1)求角C的大小；(2)若c=22，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得▵ABC存在且唯一确定，求条件①：sinA=条件②：2acos条件③：▵ABC的周长是2注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20.(本小题12分)图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表(单位：张)：识别结果真实性别男女无法识别男902010女106010假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的．(1)从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；(2)在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设X表示测试的次数，估计X的分布列和数学期望EX；(3)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性(即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为50%)．现从若干张不同的人脸照片(其中男性､女性照片的数量之比为1:1)中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为p1,p2,p21.(本小题12分)已知函数f(x)=ln(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤x−1a对x∈(0,+∞)恒成立，求(3)若x2lnx1+参考答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.B

6.C

7.C

8.B

9.B

10.B

11.4312.0,2∪13.−114.−13x15.②③

16.解：(Ⅰ)因为AB/​/CD，cosA=63，cos∠ADB=13，

所以角A，和∠ADB均为锐角，

所以sinA=1−cos2A=33，

sin∠ADB=1−cos2∠ADB=223，

所以cos∠BDC=cos∠ABD=cos[π−(A+∠ADB)]=−17.(1)因为fx=2sinxcosx+acos2x，f(2)由(1)fx=2sin所以fx所以函数fx的最小正周期T=由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π所以函数fx的单调递增区间为kπ−5π12(3)由fx≥f0，可得2sin2x+π3+由对于任意的x∈0,m，总有fx≥f0可得

18.(1)当a=0时，fx=e所以f0=−1，所以曲线y=fx在0,f0处的切线方程为(2)由题意得f′x=e所以当x∈−∞,a时，f′x<0当x∈a,+∞时，f′x>0(3)由(2)得，①当a>1时，fx在0,1上单调递减，f②当0<a≤1时，fx在0,a单调递减，在a,1单调递增，f③当a≤0时，fx在0,1上单调递增，f

19.(1)因为a2+b可得cosC=且C∈0,π，所以C=(2)因为C=π4，c=2可得a=4sin若选条件①：因为C=π4，sinA=可得A∈π4,若选条件②：因为2acos由正弦定理可得2sin且A∈0,π，则sinA≠0，可得则A=π3，因为两角和两边均已确定，根据三角形全等可知三角形存在且唯一，又因为sinB=所以▵ABC的面积S▵ABC若选条件③：因为▵ABC的周长是2则a+b+c=a+b+22=2由余弦定理可得c2=a整理可得a2−2可知方程a2−26a+8且a1+a2=2即边a不唯一，不合题意．综上，只有选条件②符合题意．

20.(1)根据题中数据，共有20+60=80张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为6080(2)设事件A:输入男性照片且识别正确．根据题中数据，PA可估计为90由题意知X的所有可能取值为1,2,3．PX=1所以X的分布列为X123P331所以EX(3)由题可知，调查的200张照片中，其中女生共有80个，男生共有120个，程序将男生识别正确的频率为90120=34，识别为女生的频率为程序将女生识别正确的频率为6080=34，识别为男生的频率为由频率估计概率得p1p2p3所以p

21.解：由已知得函数定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−lnxax2，

(Ⅰ)令f′(x)=0得x=e，因为a>0，

f′(x)>0⇒0<x<e，f′(x)<0⇒x>e，

所以f(x)的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,+∞)；

(Ⅱ)结合a>0，由已知得lnx−ax2+x≤0在x∈(0,+∞)恒成立，

即a≥lnx+xx2在(0,+∞)上恒成立，令g(x)=lnx+xx2(x>0)，g′(x)=−2lnx−x+1x3，显然g′(1)=0，

再令ℎ(x)=−2lnx−x+1，ℎ′(x)=−2x−1<0，故ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减，

结合ℎ(1)=0，

当0<x<1时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，当x>1时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，

即