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第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城外国语学校高三上学期9月月考数学试题一、单选题:本题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|x2−5x+6>0},B={x|x−1<0},则A.(−∞,1) B.(−2,1) C.(−3,−1) D.(3,+∞)2.复数z=3+i2−i在复平面上的对应点落在(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函数中,值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增的是A.y=x2+2x B.y=2x+1 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1A.27 B.39 C.45 D.635.设a=20.3,b=(1A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c6.已知函数fx=Asinωx+φ的部分图象如图所示,则fx的表达式为A.fx=2sin32x+π4 7.“cosθ=0”是“函数f(x)=sin(x+θ)+cosA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.点声源在空间中传播时,衰减量ΔL(单位:dB)与传播距离r(单位:米)的关系式为ΔL=10lgπr24,则r从5米变化到40米时,衰减量的增加值约为A.24dB B.18dB C.16dB D.12dB9.已知函数f(x)=|2x−2|,若f(a)=f(a≠b),则a+b的取值范围是(
)A.(−∞,1) B.(−∞,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞)10.如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
A.4β+4cosβ
B.4β+4sinβ
C.2β+2cosβ
D.2β+2sinβ二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分。11.已知角α终边上一点P(−2,−1),则tan2α=
.12.函数f(x)=xx−2的定义域为
13.已知α为第二象限角,cosπ2−α=1114,则14.已知函数fx的导函数为f′x,且f′x是偶函数,f′0=1,f′1=0.15.已知函数f(x)=ax+1,x≤0ln①当a=−2时,函数f(x)的单调递减区间为(−∞,1);②若函数f(x)无最小值,则a的取值范围为(0,+∞③若a<1且a≠0,则∃b∈R,使得函数y=f(x)−b.恰有3个零点x1,x2,x3其中,所有正确结论的序号是
.三、解答题:本题共6小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AB=26,CD=6,(1)求cos∠BDC(2)求BC的长.17.(本小题12分)已知函数fx=2sin(1)求a的值;(2)求函数fx(3)若对于任意的x∈0,m,总有fx≥f018.(本小题12分)已知函数fx(1)当a=0时,求曲线y=fx在0,f(2)求fx(3)求函数fx在0,1上的最小值.19.(本小题12分)在▵ABC中,已知a2(1)求角C的大小;(2)若c=22,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得▵ABC存在且唯一确定,求条件①:sinA=条件②:2acos条件③:▵ABC的周长是2注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.20.(本小题12分)图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中,小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本,获得数据如下表(单位:张):识别结果真实性别男女无法识别男902010女106010假设用频率估计概率,且该程序对每张照片的识别都是独立的.(1)从这200张照片中随机抽取一张,已知这张照片的识别结果为女性,求识别正确的概率;(2)在新一轮测试中,小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试,每张照片至多测一次,当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕,则停止测试.设X表示测试的次数,估计X的分布列和数学期望EX;(3)为处理无法识别的照片,该小组同学提出上述程序修改的三个方案:方案一:将无法识别的照片全部判定为女性;方案二:将无法识别的照片全部判定为男性;方案三:将无法识别的照片随机判定为男性或女性(即判定为男性的概率为50%,判定为女性的概率为50%).现从若干张不同的人脸照片(其中男性、女性照片的数量之比为1:1)中随机抽取一张,分别用方案一、方案二、方案三进行识别,其识别正确的概率估计值分别记为p1,p2,p21.(本小题12分)已知函数f(x)=ln(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)≤x−1a对x∈(0,+∞)恒成立,求(3)若x2lnx1+参考答案1.A
2.D
3.C
4.B
5.B
6.C
7.C
8.B
9.B
10.B
11.4312.0,2∪13.−114.−13x15.②③
16.解:(Ⅰ)因为AB//CD,cosA=63,cos∠ADB=13,
所以角A,和∠ADB均为锐角,
所以sinA=1−cos2A=33,
sin∠ADB=1−cos2∠ADB=223,
所以cos∠BDC=cos∠ABD=cos[π−(A+∠ADB)]=−17.(1)因为fx=2sinxcosx+acos2x,f(2)由(1)fx=2sin所以fx所以函数fx的最小正周期T=由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π所以函数fx的单调递增区间为kπ−5π12(3)由fx≥f0,可得2sin2x+π3+由对于任意的x∈0,m,总有fx≥f0可得
18.(1)当a=0时,fx=e所以f0=−1,所以曲线y=fx在0,f0处的切线方程为(2)由题意得f′x=e所以当x∈−∞,a时,f′x<0当x∈a,+∞时,f′x>0(3)由(2)得,①当a>1时,fx在0,1上单调递减,f②当0<a≤1时,fx在0,a单调递减,在a,1单调递增,f③当a≤0时,fx在0,1上单调递增,f
19.(1)因为a2+b可得cosC=且C∈0,π,所以C=(2)因为C=π4,c=2可得a=4sin若选条件①:因为C=π4,sinA=可得A∈π4,若选条件②:因为2acos由正弦定理可得2sin且A∈0,π,则sinA≠0,可得则A=π3,因为两角和两边均已确定,根据三角形全等可知三角形存在且唯一,又因为sinB=所以▵ABC的面积S▵ABC若选条件③:因为▵ABC的周长是2则a+b+c=a+b+22=2由余弦定理可得c2=a整理可得a2−2可知方程a2−26a+8且a1+a2=2即边a不唯一,不合题意.综上,只有选条件②符合题意.
20.(1)根据题中数据,共有20+60=80张照片被识别为女性,其中确为女性的照片有60张,所以该照片确为女性的概率为6080(2)设事件A:输入男性照片且识别正确.根据题中数据,PA可估计为90由题意知X的所有可能取值为1,2,3.PX=1所以X的分布列为X123P331所以EX(3)由题可知,调查的200张照片中,其中女生共有80个,男生共有120个,程序将男生识别正确的频率为90120=34,识别为女生的频率为程序将女生识别正确的频率为6080=34,识别为男生的频率为由频率估计概率得p1p2p3所以p
21.解:由已知得函数定义域为(0,+∞),f′(x)=1−lnxax2,
(Ⅰ)令f′(x)=0得x=e,因为a>0,
f′(x)>0⇒0<x<e,f′(x)<0⇒x>e,
所以f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞);
(Ⅱ)结合a>0,由已知得lnx−ax2+x≤0在x∈(0,+∞)恒成立,
即a≥lnx+xx2在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=lnx+xx2(x>0),g′(x)=−2lnx−x+1x3,显然g′(1)=0,
再令ℎ(x)=−2lnx−x+1,ℎ′(x)=−2x−1<0,故ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减,
结合ℎ(1)=0,
当0<x<1时,ℎ(x)>0,即g′(x)>0,当x>1时,ℎ(x)<0,即g′(x)<0,
即
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