2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高三（上）质检数学试卷（9月份）一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若正数m、n、a均不为1，则下列不等式中与“m>n”等价的是(

)A.logam>logan B.logm2.已知双曲线Γ1：x2a12−y2A.实轴长 B.虚轴长 C.焦距 D.离心率3.下列用递推公式表示的数列中，使得n→+∞liman=A.an=12(an−1+24.《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF，其中AB//DC//EF，“羡除”形似“楔体”.“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a、b、c，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n(如图).羡除的体积公式为V=(a+b+c)mn6，过线段AD，BC的中点G，H及直线EF作该羡除的一个截面α，已知α刚好将羡除分成体积比为5：4的两部分.若AB=4、DC=2，则EF的长为(

)

A.2 B.3 C.4 D.6二、填空题：本题共12小题，共54分。5.集合A={1,2}，B={2,3}，则A∪B=______．6.函数y=3−17.若α∈(π2,π),cos(π−α)=38.若复数z满足3z+z=1+i，其中i是虚数单位，则z=______．9.有8位同学在一次考试中的数学成绩如下：95，45，62，78，53，83，74，88，则该小组本次考试数学成绩的第60百分位数为______．10.已知函数f(x)=x3−2lnx，那么f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

11.向量n=(a,2)为直线x−2y+2=0的法向量，则向量a=(1,1)在n=(a,2)12.对于独立事件A，B，若P(A)=34，P(B)=23，则P(13.学生食堂采用了自助的形式，受到了学生的大力追捧，每位学生都可以从8道菜中任意选择搭配，每位学生至少打1道菜，则总共可以形成______种不同的搭配．14.已知(x+a)(x−1)7=a0+a115.已知定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)，且f(x)=sinx,x∈(0,π2]f′(x−16.向量集合S={a|a=(x,y),x,y∈R}，对于任意α，β∈S，以及任意λ∈(0,1)，都有λα+(1−λ)β∈S，则称S为“C类集”，现有四个命题：

①若S为“C类集”，则集合M={μa|a∈S,μ∈R}也是“C类集”；

②若S，T都是“C类集”，则集合M={a+b|a∈S,b∈T}也是“C类集”；

③若A1，A2都是“C类集”，则A1∪三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，四棱锥P−ABCD中，等腰△PAB的边长分别为PA=PB=5，AB=6，矩形ABCD所在的平面与平面PAB垂直．

(1)如果BC=3，求直线PC与平面PAB所成的角的大小：

(2)如果PC⊥BD，求BC的长．18.(本小题14分)

记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn=an2+n2+1，n∈N19.(本小题14分)

已知向量a=(3sinx,cosx),b=(sin(x+π2),cosx)，设f(x)=a⋅b．

(1)求函数f(x)=a⋅b的单调增区间；

(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a20.(本小题18分)

已知直线x−2y+2=0经过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=103分别交于M，N两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)求线段MN的长度的最小值；

(3)当线段MN21.(本小题18分)

已知函数y=f(x)的定义域为D，导函数为y=f′(x)，若对任意的x∈D，均有f(x)<f′(x)，则称函数y=f(x)为D上的“M一类函数”．

(1)试判断f(x)=sinx是否为其定义域上的“M一类函数”，并说明理由；

(2)若函数g(x)=ax+a−1，x∈(0,π)为其定义域上的“M一类函数”，求实数a的取值范围．

(3)已知函数ℎ(x)=sinx+ax+a−2,x∈[0,π2]为其定义域上的“M一类函数”，求实数a参考答案1.C

2.D

3.D

4.B

5.{1,2,3}

6.(−∞,0)∪[13，7.=−48.149.78

10.x−y=0

11.(−112.11213.255

14.2

15.643

16.①②④

17.解：(1)因为矩形ABCD所在的平面与平面PAB垂直，且平面ABCD∩平面PAB=AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PAB，

所以∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角，且tan∠CPB=BCPB=35，

故∠CPB=arctan35．

(2)根据题意，以A为坐标原点，垂直于AB做出x轴，AB，AD所在直线为y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设BC=a，则P(4,3,0)，C(0,6,a)，B(0,6,0)，D(0,0,a)，

则PC=(−4,3,a),BD=(0,−6,a)，且PC⊥BD，18.解：(1)当n=1时，S1=a1=a12+12+1，解得a1=4，

当n=2时，S2=a1+a2=a22+22+1，解得a2=2，

所以a1+a2=6；

由Sn=an2+n2+1，得2Sn=an+2n2+2，则2Sn+119.解：(1)因为a=(3sinx,cosx)，b=(sin(x+π2),cosx)=(cosx,cosx)，

则f(x)=a⋅b=3sinxcosx+cos2x

=32sin2x+1+cos2x2=sin(2x+π6)+12，

令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，

得−π320.解：(1)由已知得，椭圆C的左顶点为A(−2,0)，

上顶点为D(0,1)，∴a=2，b=1

故椭圆C的方程为x24+y2=1

(2)依题意，直线AS的斜率k存在，且k>0，故可设直线AS的方程为y=k(x+2)，从而M(103,16k3)，由y=k(x+2)x24+y2=1得

(1+4k2)x2+16k2x+16k2−4=0

设S(x1,y1)，则(−2)×x1=16k2−41+4k2得x1=2−8k21+4k2，从而y1=4k1+4k2

即S(2−8k21+4k2,4k1+4k2)，

又B(2,0)由y=−14k(x−2)x=103得x=103y=−13k，

∴N(103,−13k)，

故|MN|=|16k3+13k|

又k>0，∴|MN|=16k3+13k≥216k3⋅13k=83当且仅当16k3=13k，即k=14时等号成立．21.解：(1)函数f(x)=sinx不是其定义域上的“M一类函数”．

理由如下：

f(x)=sinx的定义域为R，f′(x)=cosx，存在x=π3，使得f(π3)>f′(π3)，

故f(x)=sinx不是其定义域上的“M一类函数”

(2)g(x)=ax+a−1，所以g′(x)=a．

若函数g(x)=ax+a−1在x∈(0,π)上为“M一类函数”，

则ax+a−1<a在x∈(0,π)上恒成立，

即a<1x在x∈(0,π)上恒成立．

因为y=1x在x∈(0,π)上的值域为(1π,+∞)，

所以a≤1π，

所以实数a的取值范围为(−∞,1π]；

(3)ℎ′(x)=cosx+a，

依题意有sinx+ax+a−2<cosx+a对作意的x∈[0,π2]恒成立，

即ax<2+cosx−sinx对任意的x∈[0,π2]恒成立，

当x=0时，a⋅0<3，