数学教案：圆的标准方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o(\s\up7（）,\s\do5（整体设计)）教学分析本节内容是学习圆的起始课，由于圆是学生比较熟悉的曲线,在初中已学习了圆的几何性质,所以学习本节的难度不大．教材利用两点间距离公式推导出了圆的标准方程，并讨论了点与圆的位置关系．在教学中，应引导学生自己探究,避免教师直接给出圆的标准方程．三维目标1．使学生掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．2．会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成用代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力．重点难点教学重点:圆的标准方程．教学难点:会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．课时安排1课时eq\o（\s\up7()，\s\do5(教学过程）)导入新课设计1.如左下图,已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶．一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能安全驶入这个隧道？如右上图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴,建立直角坐标系，问题可以转化为求圆上的点的纵坐标，这就需要建立圆的方程．为此我们学习圆的标准方程．设计2.同学们，我们知道直线可以用一个方程表示，那么，圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容，教师板书本节课题：圆的标准方程．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题））eq\a\vs4\al(1回顾圆的定义.,2怎样确定一个圆？,3圆C的圆心Ca，b，半径为r，点Mx，y是圆C上的任意一点，那么x，y满足什么等式？，4怎样判定点与圆的位置关系?)讨论结果:（1)平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．定点是圆心，定长是圆的半径．（2)只要圆心和半径确定了,就可以确定一个圆．(3）如果点M在⊙C上，则｜CM|＝r,反之，如果|CM｜＝r，则点M在⊙C上．如下图所示．由两点间的距离公式，得x，y满足的等式,eq\r（x－a2＋y－b2）＝r。两边平方,得（x－a）2＋（y－b)2＝r2。①显然，⊙C上任意一点M的坐标(x，y)适合方程①；如果平面上一点M的坐标（x，y）适合方程①，可得｜CM|＝r，则点M在⊙C上．因此方程①是以点C（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．特别地，如果圆心在坐标原点(如下图)，这时a＝0，b＝0,圆的标准方程就是x2＋y2＝r2.（4)容易看出，如果点M1（x1，y1)在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径r，即(x1－a)2＋（y1－b）2>r2。如果点M2（x2，y2）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径r，即（x2－a）2＋(y2－b）2〈r2.如果点M3（x3,y3)在圆上，则点到圆心的距离等于圆的半径r,即（x3－a)2＋(y3－b）2＝r2。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(应用示例））思路1例1根据下列条件，求圆的方程:（1)圆心在点C（－2，1)，并过点A(2,－2）；(2）圆心在点C（1,3)，并与直线3x－4y－6＝0相切；（3）过点(0,1）和点（2，1），半径为eq\r（5)。分析:圆心和半径是圆的两要素,只要确定圆心坐标和半径就可以写出圆的方程．解:（1)所求圆的半径r＝|CA|＝eq\r(2＋22＋－2－12）＝5。因为圆的圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25.（2)因为直线3x－4y－6＝0是所求圆的切线，所以圆心(1，3)到这条直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式，有r＝eq\f(|3×1－4×3－6|，\r(32＋42）)＝eq\f（15,5)＝3.所以，所求圆的方程为(x－1）2＋（y－3）2＝9.（3）设圆心坐标为(a,b)，则圆的方程为（x－a）2＋(y－b)2＝5.已知圆过点(0，1)，(2，1)，代入圆的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＋1－b2＝5，，2－a2＋1－b2＝5，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＝1，,b1＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，，b2＝3，))因此,所求圆的方程为（x－1)2＋（y＋1)2＝5,或（x－1)2＋（y－3）2＝5。点评:求圆的方程时，关键是确定圆心坐标和半径．变式训练1．求以C(4，－6）为圆心，半径等于3的圆的方程．解:将圆心C(4，－6）、半径等于3代入圆的标准方程,可得所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋6）2＝9。2.已知两点M1（4，9)和M2（6，3)．求以M1M2为直径的圆的方程．解：根据已知条件，圆心C（a，b）是M1M2的中点，那么它的坐标为a＝eq\f（4＋6,2）＝5，b＝eq\f(9＋3，2）＝6.根据两点间距离公式，得圆的半径r＝|CM1|＝eq\r（4－52＋9－62）＝eq\r（10）.因此,所求圆的方程是(x－5)2＋(y－6)2＝10。例2求过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上的圆的方程（如下图）．分析:由题意得，圆心在线段AB的垂直平分线m上,又在直线l上，所以圆心是直线m与l的交点．将直线l和m的方程联立,解方程组，可以求出圆心坐标，再由圆心和圆上一点的坐标可以求出圆的半径．解法一：直线AB的斜率k＝eq\f(5－0,1－6）＝－1，所以AB的垂直平分线m的斜率为1.AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x＝eq\f(6＋1，2)＝eq\f（7，2),y＝eq\f（0＋5，2)＝eq\f（5，2)，因此，直线m的方程为y－eq\f（5，2）＝1（x－eq\f(7，2）)，即x－y－1＝0。又圆心在直线l上,所以圆心是直线m与直线l的交点．解方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－y－1＝0，，2x－7y＋8＝0，)）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，，y＝2。)）所以圆心坐标为C(3,2）,又半径r＝|CA｜＝eq\r(13)，则所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝13。解法二:设所求圆的方程为(x－a)2＋（y－b）2＝r2.由题意，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（6－a2＋0－b2＝r2,，1－a2＋5－b2＝r2，，2a－7b＋8＝0,)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝3，，b＝2，，r2＝13。))所以所求圆的方程为（x－3)2＋(y－2）2＝13.点评:解法一是利用圆的几何性质，求出圆心坐标和半径，直接写出圆的方程，此法称为直接法．解法二是设出圆的标准方程,列方程解出圆心坐标和半径,此法称为待定系数法．变式训练1.2008山东高考，文11若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．（x－3)2＋（y－eq\f（7，3)）2＝1B．（x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3）2＝1D．(x－eq\f（3,2))2＋(y－1）2＝1解析：设圆心C(a，b)，由条件可得b＝1，eq\f（｜4a－3b|,5）＝1，解得a＝2或a＝－eq\f（1，2)。∵圆心在第一象限．∴a＝2。∴圆的标准方程为（x－2）2＋(y－1）2＝1。∴选B.答案：B2．△ABC的三个顶点的坐标是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8),求它的外接圆的方程．分析：从圆的标准方程(x－a）2＋（y－b）2＝r2入手,要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数．另外可利用直线AB与AC垂直平分线的交点确定圆心，从而得半径，圆的方程可求．解法一：设所求圆的标准方程为（x－a）2＋(y－b)2＝r2,因为A（5，1），B(7，－3)，C（2，－8）都在圆上，它们的坐标都满足方程（x－a）2＋（y－b)2＝r2，于是eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(5－a2＋1－b2＝r2，，7－a2＋－3－b2＝r2，,2－a2＋－8－b2＝r2.))解此方程组得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝2,,b＝－3，,r＝5.）)所以△ABC的外接圆的方程为(x－2)2＋（y＋3)2＝25.解法二:线段AB的中点坐标为(6,－1)，斜率为－2，所以线段AB的垂直平分线的方程为y＋1＝eq\f（1，2)（x－6），即x－2y－8＝0.①同理，线段AC的中点坐标为（eq\f（7，2)，－eq\f（7，2)），斜率为3，所以线段AC的垂直平分线的方程为y＋eq\f（7,2）＝－eq\f（1，3)（x－eq\f（7，2)），即x＋3y＋7＝0。②解由①②组成的方程组得x＝2，y＝－3，所以圆心坐标为(2，－3），半径r＝eq\r（5－22＋1＋32）＝5，所以△ABC的外接圆的方程为(x－2）2＋(y＋3)2＝25.例3赵州桥的跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程（精确到0.01m)．解:左下图是拱桥的示意图．以AB的中点为原点,x轴通过AB建立直角坐标系．如右下图．根据已知条件,B，C的坐标分别为(18。51,0），（0，7。2），设圆心的坐标为（0,b），则圆的方程为x2＋（y－b）2＝r2.下面用待定系数法求b和r2的值．因为B，C都在圆上，所以它们的坐标都满足这个方程，于是得到方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(18。512＋b2＝r2，,7。2－b2＝r2,）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(b≈－20.19，，r2≈750。21。))因此，圆拱桥的拱圆的方程近似为x2＋（y＋20。19）2＝750。21。点评：解决本题的关键是建立适当的直角坐标系．本题中由于圆心位置不确定，所以建立坐标系时,以AB的中点为原点能使圆心位置落在坐标轴上．变式训练1.已知圆的方程为(x－3)2＋(y－4）2＝25.设该圆过点（3,5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10eq\r(6）B．20eq\r（6)C．30eq\r(6)D．40eq\r（6)解析:圆心记作M（3，4)，半径为5。记E(3,5）．则过E(3，5）的最长弦AC为圆的直径，最短弦BD的中点为E.如下图所示，SABCD＝eq\f(1,2）AC·BD＝eq\f(1,2）×10×2×eq\r（24）＝20eq\r（6)。答案：B2．下图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m）．解：建立坐标系如图，圆心在y轴上，由题意，得P（0,4），B（10，0)．设圆的方程为x2＋（y－b）2＝r2，因为点P(0，4)和B（10,0)在圆上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（02＋4－b2＝r2,，102＋0－b2＝r2.））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－10。5，,r2＝14。52.))所以这个圆的方程是x2＋(y＋10。5）2＝14。52.设点P2（－2，y0)，由题意y0〉0，代入圆方程，得(－2）2＋（y0＋10.5)2＝14.52,解得y0＝eq\r(14.52－22）－10.5≈14.36－10.5＝3。86(m)．即支柱A2P2的长度约为3.86m。思路2例4圆(x－1）2＋(y＋2）2＝9关于直线x－y＝0对称的圆的标准方程是________．解析:圆心(1，－2)关于直线x－y＝0的对称点是(－2,1），则对称圆的方程是（x＋2）2＋(y－1）2＝9.答案：（x＋2)2＋（y－1）2＝9点评：圆关于点或直线对称的圆,其半径不变,只是圆心位置发生了变化．本题利用点关于直线对称点求得对称圆的圆心．变式训练1．圆x2＋（y＋3）2＝7关于原点对称的圆的方程是________．答案：x2＋(y－3)2＝72．圆x2＋y2＝4与圆(x－a)2＋y2＝4关于直线x＝6对称，则a＝________.答案：123．直线l与圆(x＋1）2＋（y－2）2＝5－a(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为(0,1），则直线l的方程为________．解析：圆心为（－1,2）．弦中点与圆心连线的斜率为eq\f（2－1，－1－0）＝－1，由圆的性质知，弦AB所在直线即l的斜率为k＝1.故l的方程为x－y＋1＝0.答案:x－y＋1＝0例5写出圆心为A（2,－3），半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5，－7)，M2（－5，－1)是否在这个圆上．解：圆的方程为（x－2)2＋(y＋3)2＝25。∵（5－2）2＋（－7＋3)2＝25,∴点M1在圆上．∵(－5－2)2＋（－1＋3)2＝53>25,∴点M2在圆外．点评：本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看点在不在圆上——从代数到几何．变式训练1．经过圆（x＋1）2＋y2＝1的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是________．解析：圆心(－1，0）．与直线x＋y＝0垂直的直线斜率为1，∴所求的方程为y＝x＋1。答案：x－y＋1＝02．已知两点P1（4，9）和P2(6,3)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(6,9)，Q(5，3)是在圆上、圆外，还是圆内？解：由已知条件可得圆心坐标为C(5,6)，半径为r＝eq\f（1,2）|P1P2｜＝eq\f(1,2）eq\r（4－62＋9－32)＝eq\r(10）。所以以P1P2为直径的圆的方程为(x－5）2＋（y－6)2＝10.因为｜CM|＝eq\r（5－62＋6－92)＝eq\r（10）＝r,｜CQ|＝eq\r（5－52＋6－32)＝3〈eq\r（10）＝r，∴点M在圆上,点Q在圆内．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能训练））1．已知圆C与圆(x－1）2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程是（）A．（x－1)2＋y2＝1B．x2＋y2＝1C．x2＋(y＋1)2＝1D．x2＋(y－1)2＝1解析：圆C与圆(x－1）2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，其半径不变，只求出圆心即可，而关于直线y＝－x对称，则横、纵坐标交换位置，并取相反数,由圆（x－1）2＋y2＝1的圆心为（1，0），知对称的圆心为（0，－1)．答案：C2．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为（)A．（x－2)2＋（y＋1）2＝3B．(x＋2）2＋（y－1)2＝3C．（x－2)2＋（y＋1)2＝9D．（x＋2）2＋（y－1）2＝9解析：r＝eq\f（｜3×2－4×－1＋5｜,\r（32＋42）)＝3。答案：C3．已知直线5x＋12y＋a＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则a的值为________．解析：圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1,0），半径为1.由已知可得eq\f(｜5＋a｜，13）＝1｜5＋a|＝13,所以a的值为－18或8。答案：－18或84．已知圆(x－2）2＋y2＝8的圆心是点P,则点P到直线x－y－1＝0的距离是________．解析:由已知得圆心为P（2，0)，由点P到直线距离公式,得d＝eq\f（|2－0－1｜,\r（1＋1））＝eq\f（\r（2），2）。答案：eq\f（\r（2)，2）5。已知圆C:(x＋1）2＋(y＋eq\f(a,2))2＝4＋eq\f（a2，4）（a为实数）上任意一点关于直线l:x－y＋2＝0的对称点都在圆C上,则a＝__________。解析:圆心C(－1，－eq\f(a，2）)由题意知圆心C在直线l上即－1＋eq\f(a,2）＋2＝0,解得a＝－2.答案：－26．已知圆心为C的圆经过点A(1,1）和B（2，－2),且圆心在直线l：x－y＋1＝0上,求圆心为C的圆的标准方程．分析:(1)利用圆的标准方程(x－a)2＋（y－b）2＝r2，只要能构造三个方程求出a、b、r便可．(2）确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．圆心为C的圆经过点A（1，1)和B（2，－2），由于圆心C与A，B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上,因此圆心C是直线l与直线m的交点,半径长等于｜CA|或|CB｜.解法一：设所求的圆的标准方程为(x－a）2＋(y－b）2＝r2,将点A（1，1)和B（2，－2）代入得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1－a2＋1－b2＝r2,，2－a2＋－2－b2＝r2。))又圆心在l：x－y＋1＝0上，所以a－b＋1＝0。联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1－a2＋1－b2＝r2，，2－a2＋－2－b2＝r2，,a－b＋1＝0，）)解得a＝－3，b＝－2，r＝5.所以所求的圆的标准方程为(x＋3)2＋（y＋2）2＝25.解法二：因为A（1,1）和B（2，－2),所以线段AB的中点坐标为（eq\f(3，2），－eq\f(1,2）），直线AB的斜率为kAB＝eq\f(－2－1,2－1）＝－3，故线段AB的垂直平分线方程为y＋eq\f(1，2)＝eq\f（1，3)（x－eq\f(3，2）),即x－3y－3＝0.由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y－3＝0，,x－y＋1＝0，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－3，，y＝－2。))因此圆心C的坐标为（－3,－2)，半径r＝｜AC|＝eq\r（1＋32＋1＋22)＝5，所以所求的圆的方程为（x＋3）2＋（y＋2)2＝25。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升）)已知直线l1：mx－y＝0，l2：x＋my－m－2＝0，且l1⊥l2.求证:对m∈R，l1与l2的交点P在一个定圆上．证明：∵l1与l2分别过定点(0,0)、(2,1）,且两直线垂直，∴l1与l2的交点必在以（0,0）、(2,1）为一条直径的圆上．∴圆心为(1，eq\f（1，2)）,半径为eq\f（\r(5）,2）,(x－1）2＋(y－eq\f(1，2））2＝(eq\f（\r(5）,2））2.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))本节课学习了：1．圆的标准方程．2．求圆的标准方程的方法：直接法和待定系数法；3．判定点与圆的位置关系；eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作业）)本节练习B1,2题．eq\o(\s\up7（)，\s\do5（设计感想））圆是学生比较熟悉的曲线,求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此本节布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点．利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生应用数学的意识．另外，为了培养学生的理性思维，在例题中，设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，利用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成．eq\o(\s\up7（）,\s\do5（备课资料