江苏南京宁海中学2025届高三期末数学试题

江苏南京宁海中学2025届高三期末数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅第填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知耳,月是双曲线!■-t=1（。>0,6>0）的左、右焦点，若点F?关于双曲线渐近线的对称点A满足

/耳4。=乙4。月（。为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±2xB.y=±43xC.y=±41xD.y=±x

/G）满足氐）匕2卜/,且y=&+/）为奇函数，则），=&）的图象可能是

'••'CD..

3.某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形,则该几何体的体积为

正视图侧视图

俯视图

A.-B.C.1D.2

33

4.如图，矩形A5C。中，A6=l,8C=&，E是4。的中点，将AABE沿HE折起至AA'BE，记二面角/V-的一。

的平面角为直线AE与平面〃CDE所成的角为夕，4E与8C所成的角为有如下两个命题：①对满足题意的

任意的4的位置，二十/工乃；②对满足题意的任意的4的位置，a+y<7T,贝i］（

A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立

C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立

5.如图，长方体旦GA中，24B=3A4]=6,AP=2PB1点T在棱A4上，若7P_L平面则

UUUUU

TPB[B=()

C.2D.-2

6.已知〃A〃是两条不重合的直线，％户是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）

A.若机IIa,m\\ptn//a,〃〃/，则a|R

B.若机〃叫mLa,，则a||分

C.若机_L〃，mua,nuR,则

D.若加_L〃，m\\atn1/3,则。_1_4

7.已知函数/.（力=；：：[],若不等式〃-刈对任意的xwR恒成立，则实数A的取值范围是（）

A.B.[h+oo）C.[0,1）D.（-1,0]

8.已知尸是双曲线C:依2+y2=4|%|a为常数）的一个焦点，则点尸到双曲线。的一条渐近线的距离为（）

A.2kB.4kC.4D.2

9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物

不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关

的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，

则该数列各项之和为（）

A.56383B.57171C.59189D.61242

10.己知全集为实数集K,集合4={*8+射书>0},B={x\log2X<\\t贝U（aA）c3等于（）

A.[-4,2]B.[-4,2)C.(-4,2)D.(0,2)

11.关于函数/*)=sin|x|+|cos.Y|有下述四个结论：()

①是偶函数；②/(X)在区间,千。)上是单调递增函数；

③〃力在R上的最大值为2；④/(“在区间[一2匹2句上有4个零点.

其中所有正确结论的编号是()

A.①®@B.①®C.①④D.②④

12.小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在.起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作

业本的概率为()

12-118

A.—B.-C.-D.—

77335

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(可的定义域为凡导函数为r(x),^/(x)=cosx-/(-x),且r(x)+詈＜o,则满足

+的x的取值范围为.

14.正方体ABC。—A,4GA中，E是棱的中点，尸是侧面SAG上的动点，且同尸//平面ABE,记印与产

的轨迹构成的平面为

①开，使得与尸"LC"；

②直线与/与直线8c所成角的正切值的取值范围是?占；

③a与平面所成锐二面角的正切值为2夜；

④正方体ABC。-4旦GA的各个侧面中，与a所成的锐二面角相等的侧面共四个.

其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号)

15.在平面直角坐标系xQy中，已知点4—3,0),仅-1,-2),若圆*-2)2+52=/(r＞0)上有且仅有一对点M”，

使得AMAS的面积是AM43的面积的2倍，贝"的值为.

2

16.已知两动点A3在椭圆。3+丁=1(。＞1)上，动点2在直线3%+4丁-10=0上，若NAPB恒为锐角，则椭圆

C的离心率的取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在多面体八BCDE1下中，四边形是菱形，EF//AC,EF=1,ZABC=60%CEJ■平

（I）求证：平面ACG//平面跳产；

（II）求直线AO与平面AB厂所成的角的正弦值.

18.（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大

市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的

部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、

乙健身时间不超过1小时的概率分别为y,健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为?，且两人健

身时间都不会超过3小时.

（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量4（单位：元），求J的分布列与数学期望E（J）；

（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预

测此次促销活动后健身馆每天的营业额.

19.（12分）在底面为菱形的四棱柱ABC。—AMGR中，AB=AAi=ZA]B=A}D,ZBAD=（）O\ACBD=O,AO

面AM

（1）证明:旦C〃平面AB。；

（2）求二面角的正弦值.

20.（12分）如图，在平面直角坐标系工。），中，椭圆C：W+g=l（〃＞力＞°）的离心率为;，且过点（0，退卜

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知WMN是椭圆。的内接三角形，

①若点8为椭圆C的上顶点，原点。为的垂心，求线段MN的长；

②若原点0为/\BMN的重心，求原点。到直线MN距离的最小值.

2

21.(12分)已知椭圆C:5+y2=i的右焦点为产，直线/：戈=2被称作为椭圆C的一条准线，点P在椭圆C上(异于

椭圆左、右顶点)，过点P作直线加：〉=依+，与椭圆C相切，且与直线/相交于点Q.

(1)求证：PF1QF.

(2)若点P在不轴的上方，当△P。产的面积最小时，求直线〃?的斜率h

附：多项式因式分解公式：r6-3r4-5r-1=(/2+l)(r4-4r-1)

22.(10分)已知函数〃x)=|x./|+k+2l，记〃”的最小值为”

(I)解不等式〃短w5；

(H)若正实数"隅足，、后求证：，为2加

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】

先利用对称得,根据/片4。=乙4。£可得A耳=c,由几何性质可得NA£O=60,即NMO鸟=60,

从而解得渐近线方程.

【题目详解】

由对称性可得：M为AF?的中点，且A/^_LOM,

所以耳A_LAg,

因为N耳40=440M，所以AG=^O=c,

故而由几何性质可得NA^O=60,即NMO6=60,

故渐近线方程为y=±后，

故选B.

【题目点拨】

本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出NM。6二60是解题的关键，属于中档

题.

2、D

【解题分析】

根据〃=&+/）为奇函数，得到函数关于（人0）中心对称，排除.48,计算!〃5）1＜后排除C,得到答案.

【题目详解】

'=&+/）为奇函数，即禽+/）=・/（・x+/）,函数关于0,0）中心对称，排除」氐

以/.5）1«2"5"=也，排除c.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了函数图像的识别，确定函数关于9。）中心对称是解题的关键.

3、C

【解题分析】

由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，三棱锥的高为百，所以该几何体的体积

V=—x—x2x2x-^x>/3=1»故选C.

322

4、A

【解题分析】

作出二面角a的补角、线面角夕、线线角/的补角，由此判断出两个命题的正确性.

【题目详解】

①如图所示，过大作AO_L平面8CDE,垂足为0,连接0E,作OM_L3E,连接A'M.

由图可知NAMO=;r—a,ZAEO=ft<Z.AMO=7r—a,所以a+£W乃，所以①正确.

②由于BCHDE,所以4七与8。所成角7二乃一/4&)4/4知。=万一仪,所以二+/4乃，所以②正确.

综上所述，①②都正确.

故选：A

【题目点拨】

本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

5、D

【解题分析】

根据线面垂直的性质，可知TP上PB;结合4尸=2尸4即可证明△尸进而求得7A•由线段关系及平

UUUUU

面向量数量积定义即可求得

【题目详解】

长方体ABCO-A旦CQ中，2AB=3AAi=6,

点了在棱AA上，若7P_L平面P8C.

则7P_LP3，"=2PB\

则ZPLAj=NBPB1,所以AP%=MPB[,

则%=%=1,

uiruuulUiTiiuuur

所以7PgB=7PB|Bcos/PZ4

=+1、x2xI———I=—2,

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.

6、B

【解题分析】

根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.

【题目详解】

A选项，若m\\ptn〃a,,则。11万或。与夕相交；故A错；

B选项，若加〃〃，则〃_La,又〃，夕，夕是两个不重合的平面，则。"，故B正确；

C选项，若〃z_L〃，mua,则〃ua或〃〃0或〃与。相交，又〃u夕，a,用是两个不重合的平面，则a夕或a

与月相交；故C错;

D选项，若〃z_L〃，根1a,则，7ua或，〃。或〃与a相交，又〃_L〃，a,P是两个不重合的平面，则a||〃或a与

夕相交；故D错；

故选B

【题目点拨】

本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.

7、A

【解题分析】

先求出函数“X)在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数/("={和g(x)=k-K的图象，

利用数形结合进行求解即可.

【题目详解】

当xNl时，/(x)=lnx,=>/(%)=-=>/(1)=1,所以函数/(x)在(1,0)处的切线方程为：y=x-\f令

g(x)=\x-k\t它与横轴的交点坐标为(Z,0).

/、(0,x<1..

在同一直角坐标系内画出函数/(%)=|坨］］>］和ga)=k-4的图象如下图的所示:

y

利用数形结合思想可知：不等式/（无）4,一«对任意的xcR恒成立，则实数A的取值范围是ZW1.

故选：A

【题目点拨】

本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.

8、D

【解题分析】

分析可得k<0,再去绝对值化简成标准形式，进而根据双曲线的性质求解即可.

【题目详解】

22

当女之0时，等式心+y2=4伏|不是双曲线的方程；当k<0时，履2+9=4|%|=_4攵，可化为上一一—=1，可得虚

-4k4

半轴长6=2,所以点尸到双曲线。的一条渐近线的距离为2.

故选：D

【题目点拨】

本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.

9、C

【解题分析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数％可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前〃项和公式，可得结果.

【题目详解】

被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,

公差为5x7=35的等差数列，记数列｛《J

贝U4=23+35（〃-1）=35〃-12

2

令4=35〃-1242020,解得"458天.

co*57

故该数列各项之和为58x23+——x35=59189.

2

故选：C.

【题目点拨】

本题考查等差数列的应用，属基础题。

10、D

【解题分析】

求解一元二次不等式化简4,求解对数不等式化简8,然后利用补集与交集的运算得答案.

【题目详解】

解：由—+2*<>0,得xV-4或X>2,

・・・4=3/+2代8>0}={工［*<-4或x>2},

由logzxvl,x>0,得0VxV2,

：.B={x\log2X<l}={x|0<x<2},

则aA={/|-4WxK2},

・・・&4）「8=（0,2）.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.

11、C

【解题分析】

根据函数/（X）的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.

【题目详解】

“X）的定义域为R.

由于/（-%）=/（x），所以/（X）为偶函数，故①正确.

,_r（兀、.兀nV3+1/万71yj3+yj2//*g、］“

由于/——=sin—+cos—=--------,/——=sin—+COS—=--------------,f--<f\一-7，所以/（x）在

k6J66214）442I6；I4；'）

区间（一半。）上不是单调递增函数，所以②错误.

当工20时，/(x)=sinx+|cosx\=sinx±cosx=>/2sinx±—<\/2,

士士乃j，万万乃

且rt存在x=二，使.f7=s•m--+cos—3

4⑷44

所以当工之0时，/(x)<V2；

由于/(力为偶函数，所以XER时/(%)工血,

所以/(x)的最大值为血，所以③错误.

依题意，/(0)=sin|0|+|cos0|=l,当0<xW2"时,

・八/兀-p3乃,c

sinx+cos苞0<xW—,或——<X<2TT

“加.—‘

smx—cosx,一<x<—

22

所以令sinx+cosx=0,解得x二子，令sinx-cosx=0,解得丫=苧,所以在区间(0,2句，/(x)有两个零点.

由于/(力为偶函数，所以〃力在区间［-2%,0)有两个零点.故在区间［-2乃,2句上有4个零点.所以④正确.

综上所述，正确的结论序号为①

故选：C

【题目点拨】

本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

12、A

【解题分析】

利用P=%计算即可，其中〃，表示事件A所包含的基本事件个数，〃为基本事件总数.

n

【题目详解】

从7本作业本中任取两本共有C；种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有C；种不同结果，

C21

由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为T=一.

C；7

故选：A.

【题目点拨】

本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、一二■，田

L2)

【解题分析】

CCSX✓

构造函数晨x)=〃x)-一片，再根据条件确定g(x)为奇函数且在R上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简

不等式，解得结果.

【题目详解】

—\COSXr/\cos(-x)

依题意，/(X)一一—=-/(-%)+—4，

令g(x)=/(x)-差之贝11且(/)=-8(-1),故函数g(x)为奇函数

P1，

g'G)=/(X)--=广(司+包丝<()，故函数g")在R上单调递减，

22

则/(x+/)+/(x)V0=>/(x+/)_cos(j+%)+/(x)_g^v0

og(x+7T)+g(x)W0og(x+乃)W-g(x)=g(-x),即X+TTN-X,故xN,则X的取值范围为一］，+8)・

故答案为：一耳，+8)

【题目点拨】

本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.

14、①@@④

【解题分析】

取C。中点G,GR中点M,CG中点N,先利用中位线的性质判断点F的运动轨迹为线段仞V,平面BMN即为平面

a，画出图形，再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断;②直线BF与直线3C所成角即为直线BF与直线B©

所成角，设正方体的棱长为2,进而求解;③由MNHEG跟F为MN中点，则MN1C、F,MN1用尼则Zfi.FC,即为a

与平面CDAG所成的锐二面角，进而求解；④由平行的性质及图形判断即可.

【题目详解】

0

取。中点G,连接EG,则EG//CD}，所以EG//A兄所以平面ABE即为平面ABGE,

取GR中点M,CG中点N,连接则易证得qM〃BG4N//AE,

所以平面gMN〃平面A3GE,所以点F的运动轨迹为线段MN,平面片“V即为平面。.

①取/为MN中点，因为△用MN是等腰三角形，所以四尸J.MN,又因为MN//CR,所以用尸_LCR,故①正确：

②直线印「与直线BC所成角即为直线B}F与直线5G所成角，设正方体的棱长为2,当点F为MN中点时，直线B.F

与直线B©所成角最小，此时C、F=旦八an/C\B、F=^=乌;

24cl4

当点F与点M或点N重合时，直线与直线4G所成角最大，此时tanZC,B,F=i,

所以直线与直线BC所成角的正切值的取值范围是[¥，g],②正确；

③a与平面a)RG的交线为EG,且MN//EGMF为MN中点，则MN±C,F,MN_Lq£，NB尸G即为。与平

面CDD.C,所成的锐二面角,tan=照=2&，所以③正确；

C\F

④正方体ABCD-A^C^的各个侧面中，平面A8CD,平面平面BCC.B,，平面ADDiA,与平面a所成的角

相等,所以④正确.

故答案为:①@③④

【题目点拨】

本题考查直线与平面的空间位置关系，考查异面直线成角，二面角，考查空间想象能力与转化思想.

15、—

6

【解题分析】

写出A3所在直线方程，求出圆心到直线的距离，结合题意可得关于「的等式，求解得答案.

【题目详解】

解：直线AB的方程为与2=毛言，即x+y+3=0.

—2—0—1+3

圆“-2）2+y2=/（/>0）的圆心（2,0）

到直线AB的距离d=|1X^31=平，

V22

由AM48的面积是的面积的2倍的点M,N有且仅有一对,

可得点M到AB的距离是点N到直线AB的距离的2倍，

可得A/N过圆的圆心，如图：

由竽+「=2（乎一「），解得「=平.

故答案为：述.

6

【题目点拨】

本题考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题.

/I。闸3J

【解题分析】

根据题意可知圆/+产=〃2+i上任意一点向椭圆c所引的两条切线互相垂直，乙APB恒为锐角，只需直线

3%+4），-10=0与圆/+/="+［相离，从而可得/+1</=4,解不等式，再利用离心率。=£即可求解.

a

【题目详解】

根据题意可得，圆Y+y2=/+1上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直,

因此当直线3%+4y-10=0与圆/+丁=々2+|相离时，N4P3恒为锐角，

2

[0+0-10「

故/+1=4,解得\<a2<3

【题目点拨】

本题主要考查了椭圆的几何性质，考查了逻辑分析能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（I）详见解析；（II）姮.

5

【解题分析】

试题分析：（I）连接8。交AC于O,得OG//BE,所以OG〃面BEF,又EFHAC,得AC//面8防，

即可利用面面平行的判定定理，证得结论；

（II）如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面A3b的一个法向量而，利用向量A力和向量〃z夹

角公式，即可求解AO与平面A8厂所成角的正弦值.

试题解析：

（I）连接交AC于O,易知。是30的中点，故OGMBE,BE^BEF,OG在面SEW外，所以OG〃

面BEF；

又EFHAC,AC在面尸夕卜，AC/他BEF,又AC与OG相交于点。，面ACG有两条相交直线与面8£尸

平行，故面ACG〃面//为/；

（II）如图，以O为坐标原点，分别以OC、OD、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A（-l,0,0）,8（0,—g,0）,

£）（0,^,0）,尸（0,0词,AD=（l,V3,0）,通

(〃也°)(1,-6,0)=。_屏=0

tnlAB

设面A3尸的法向量为m二（4,A,C）,依题意有＜令a=，b=l,

mlAF9(a,/?,c).(1,0，6)=a+6c=0

c=-l,根,cos(AD,tn)=,

')\/V4xV4+l5

直线AD与面AB尸成的角的正弦值是叵.

5

18、（1）见解析，40元（2）6000元

【解题分析】

（1）甲、乙两人所付的健身费用都是。元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情

况，分情况计算即可

（2）根据（1）结果求均值.

【题目详解】

解：（1）由题设知J可能取值为0,20,40,60,80,则

P(^=0)=-xl=—；

'74624

P(£=20)=-x-^-x-=-.

'743624

P(i=40)=—x—+—x—+—x—=—

'746236412

p(^=60)=-xl+ix-=l；

726434

=80)=-xl=—.

'74624

故4的分布列为:

自020406080

1J_5\_1

p

244n424

所以数学期望E（J）=0x（+20x；+40xi1+60x；+80x^=40（元）

⑵此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：40x300x1=6000（元）

【题目点拨】

考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.

19、(1)证明见解析；(2)巫

7

【解题分析】

(1)由已知可证玛。〃A£),即可证明结论；

(2)根据已知可证4。-L平面ABCD,建立空间直角坐标系，求出4A,仇。坐标,进而求出平面A.AB和平面A.AD

的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.

【题目详解】

方法一：(D依题意，AB也AB,且AB&CD,：,AB也CD,

・・・四边形A"。。是平行四边形，・・・用。〃4。，

・.・800平面AOu平面480,

・・・4。/平面48。.

(2)・・・40_1平面4/。，・・・4。，4。，

・・・48=4。且。为BO的中点，・・・4。，8£),

VAO.BOu平面ABCD且AOBD=O,

・•・4。，平面A3CO,

以。为原点，分别以OAO氏04,为x轴、)轴、二轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系O-gz,

则A(6,o,o),8(0,1,0),D(0,-l,0),A(。，。』),

:.M=(->/3,0,l),AB=(-^,l,0),AD=(->/3,-l,0),

设平面4AB的法向量为〃=(x,y,z),

则发例，,・」一*+"°,取I,则〃=",研

\nlAB|-岳+y=0'7

设平面4AD的法向量为6二（x，y,zj,

…n_LAA—\/3x+z=04一/,A/r\

则（f,・•・〈厂，取x=l,则，"二（L一点K）.

h±AD[-^x-y=o\）

m-n11

,cos<m,n>=7—FT=—p=----,==—

••耐.忖>/7XV77，

设二面角8-⑨一。的平面角为。，则sina=Jl—（J=竽,

，二面角B-AA.-D的正弦值为苧.

方法二：（D证明：连接A4交于点。，

因为四边形4MB4为平行四边形，所以。为A片中点，

又因为四边形ABCD为菱形，所以。为AC中点，

，在VAB]。中，OQ〃4。,且OQ=g8C，

•・・OQu平面A3。，四。二平面AB。，

・・・丹。1平面ABD

（2）略，同方法一.

【题目点拨】

本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养,

属于中档题.

20、（1）[+]=1；⑵①②也.

【解题分析】

（1）根据题意列出方程组求解即可；

（2）①由原点。为△BMN的垂心可得BO1.MN,MN〃x轴，设M（x,y）,则N（—x,y）,x2=4-1/,根据

8M-ON=0求出线段MN的长；

②设中点为。，直线OO与椭圆交于A,8两点，。为ZX^MN的重心，则80=200=04,设MN：y=kx+mf

M（x，yJ,N（w，%），则4（%+Z，y+必），当MN斜率不存在时，则。到直线MN的距离为1,

y="+加

（4&2+3）1七十4mk（A）十人2）+4〃/+6=0,则（4/十3b2+8〃血+4〃,-12=0,

3/+4丁=12'

-Smk4m2-1?大求解即可・

玉+%2xx=——；----,得出4m2=4k2+3，根据d=

-4F+3i12-4/+3

【题目详解】

a2=4

解:（1）设焦距为2c,由题意知:从=3

因此，椭圆C的方程为：—+^-=1；

43

（2）①由题意知：BO工MN,故MN//X轴，设“（x,y）,贝!JN（—x,y）,x2=4-^y2,

222

BMON=-x+y-43y=-y-y/3y-4=0f解得：y=g或-延，

3,7

B，Al不重合，故），=一生8,x2=-^7»故MN=2|H=&g^;

,749117

②设MN中点为。，直线QD与椭圆交于A,4两点，

O为/\BMN的重心,则8O=2QD=Q4,

当MN斜率不存在时，则。到直线MN的距离为1；

设MN：y=kx+mt则A（%+%,%+%）

工+£=名+近=5+置+。+垃43中2+4”2=-6

434343

3%%+4（何+根）（5+m）=-6

（4&2+3卜超+4加〃（玉+为）+4机2+6=0

{32^4^]2,贝”（4"2+3）r+8mAx+4m2-12=。

△=48（442+3-也＞0,丁二）2）3（4产+3一也

4k2+3

r,一8mk4m2-17

则：…=E'中2，代入式子得:

1-4公+3

32m2k2

8〃z~-6—=0,4>=4r+3

必2+3

设。到直线MN的距离为d,则/=)㈣一4T_+3

4公+4

攵=0时，d=也；

min2

综上，原点。到直线MN距离的最小值为立.

2

【题目点拨】

本题考查椭圆的方程的知识点，结合运用向量，韦达定理和点到直线的距离的知深，属于难题.

21、(1)证明见解析(2)-/当匚

【解题分析】

x~21

万+'=|得（2二+i）（2k1

(1)由《f+4奴r+2f2—2=0令△=（）可得*=2^+1，进而得到尸——,同理

y=kx+t

。(2,2&+。，利用数量积坐标计算万./Q即可;

(2)5”3=?+2左一上，分2之0，k<0两种情况讨论即可.

【题目详解】

(1)证明：点厂的坐标为(1，0).

X2—

+y

联立方程~2=,消去），后整理为（23+1）/+4依+2/一2=0

y=kx+t

有A=16公产-4（2公+1）（2/-2）=0,可得/=2二+],x=.,^_2kt2k