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文档简介
三
数
学
总
复
习
知
识
点
主编:杨林森
1
目录
一、高一上
1、数与式的计算.......................................................3
2、集合................................................................6
3、函数及其性质.......................................................8
4、几个基本初等函数..................................................10
5、三角函数...........................................................13
二、高—~下
1、解析几何(I)........................................................................................................14
2、三角函数(II)........................................................................................................18
3、圆.............................................................21
4、平面向量...........................................................23
5、数列...............................................................26
6、不等式.............................................................29
三、高二上
1、命题与逻辑推理....................................................31
2、解析几何(II)........................................................................................................33
3、立体几何..........................................................41
4、复数...............................................................46
四、高二下
1、计数法.............................................................49
2、概率(II).................................................................................................................54
3、统计(II).................................................................................................................56
五、附录
附录(I)..........................................................59
附录(II).....................................................................................................................61
附录(III).....................................................................................................................62
六、附录答案(另附)
2
高三数学总复习知识点
高一数学
(一)高一上学期:
1.数与式的计算
(实数的概念)
(1)常用的数集符号:自然数集:N
整数:Z
有理数集:Q
实数集:R
(2)绝对值:
&当a>丽;
①同=<0,当4=丽;
一a,当。<丽;
②同一网《卜±4《时+设.
③数轴上两点A,B的坐标分别为则A,B之间的距离
I蝴=瓦-乙I
例:化简,一31Tx—2|(1<x<3)
(实数的运算)
(1)实数运算的顺序:先乘方、开方,然后乘除,再加减,有括号先进行
括号内的运算.
(2)指数幕的推广:
①正整数指数幕:•:……正=。"(a为正整数)
n
②分数指数幕:
院"==(。*0,n为正整数)
a
a°=1(ah0)
3
③负整数指数幕、零指数毒:
上("0)
Vm
(3)实数指数毒的运算法则:
例:1.—(-5)+(—2)x(—I)"1-(V2-1)°
2.-12_(%_3.14)限仕]+—―
[2)cos60P
(式的计算)
乘法公式:
平方差公式:(。+勿(。-6)=。2
完全平方公式:(4±勿2=。2±2"+02
立方和、差公式:a3±b3=(a±b)(a2+ab+b2)
例:计算(-3a之产
(分式运算与根式化简)
一、分式.
4
L定义:式转叫做分式,其中48表示两个整式,且B中含有字母,
B丰0.
2.分式的基本性质:(1)4=4次之4=生生(其中加工0).
BBxmBB+m
(2)分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变
其中任何两个,分式的值不变.
个八#/出、一番/1、%八5ga,ba±ba,cad±he
3.分式的运算:(l)加减:①一±-=---;②一±—=------.
ccchdhd
(2)乘除:①@・9=竺;②巴—=处.
bdbdbdbe
⑶乘方:3'=奈
二、二次根式.
I.二次根式的性质:(I)(、/寸=。(«>0);
(2)4ab-~Ja.&(a>0,£»>0)
⑶J14(6?>0,/?>0)
(4)77=H=?(a-0)
1―a(a<0)
2.二次根式的运算.
(I)加减运算的实质是合并同类二次根式,其步骤是先化简,后找“同
类“合并
(2)做乘法时,要灵活运用乘法公式;做除法时,有时要写为分数的形
式,然后进行分母有理化.
(3)化简77时要注意a的正负性,尤其是隐含的正负性.
例:⑴当式子忐三的值为零时,,的值是——
aci~-2aa+1
(2)化简:
a+la~~4a~+3a+2
5
2.集合
(集合及其表示)
(1)集合的中元素的三个特性:
①元素的确定性
②元素的互异性
③元素的无序性
(2)集合的表示法:列举法;描述法;维恩图法.
(3)集合的分类:有限集含有有限个元素的集合
无限集含有无限个元素的集合
空集不含任何元素的集合
例:1.下列四组对象,能构成集合的是()
A.某班所有高个子的学生B.著名的艺术家C.一切很大的书D.倒数等于它
自身的实数
(数集)
(1)基本数集:非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
(2)一般数集:除了基本数集以外的其他数集.
例:用e或位填空
1N-9ZV5Q
7
71+42R
(集合之间的关系)
(1)“包含”关系一子集
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)
A与B是同一集合。
(2)“相等”关系:A=B(525,且5W5,则5=5)
实例:设A={x|x2-l=O}“元素相同贝U
两集合相等”
即:①任何一个集合是它本身的子集。AoA
②真子集:如果A=B,且AHB那就说藁合A是集合B
的真子集,记作A:B(或B」A)
③如果AcB,BcC,那么AcC
④如果A±B同时BqA那么A=B
(3)不含存何元素的窠合叫做空集,记为0
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真
子集。
♦有n个元素的集合,含有2"个子集,2"T个真子集
6
例:1.集合{a,b,c}的真子集共有个
2.若集合M={y|y=x2-2x+l,xeR},N={x|x20},则M与N的关系是.
3.设集合A=kR<x<2/^={x\x<a},若AqB,则a的取值范围是
(集合的运算)
运算交集并集补集
类型
定由所有属于A且属由所有属于集合A或设S是一个集合,A是
义S的一个子集,由S中
于B的元素所组成属于集合B的元素所
所有不属于A的元素组
的集合,叫做A,B的组成的集合,叫做A,B
成的集合,叫做S中子
交集.记作ACB(读的并集.记作:AUB集A的补集(或余集)
作'A交B'),即(读作"并B'),即记作CsA,即
AQB={X|XGA,且AUB={XXGA,或
XGB).XGB}).CsA={x|x€S,KrgA}
韦
恩
图C®)
示图1图2
性A|jA=A
AOA=A(C„A)n(CUB)
AQ①二①AU<t>=A
=Cu(AUB)
ApB=BnAAIJB=BUA
(CA)U(CuB)
Af|B屋AAljBoAU
质AABcBAUB^B=Cu(AflB)
A|J(QA)=U
AQ(C„A)=①.
例:1.已知集合人=收|x2+2x-8=0},B={x|X2-5X+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},
若BCCWO),ADC=①,求m的值.
7
3.函数及其性质
(函数的概念及表示方法)
1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确
定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合
B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A-B
为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),xWA.其
中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与
x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合
(f(x)|x£A}叫做函数的值域.
(函数的定义域与值域)
1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
⑸如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.
那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集
合
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
♦相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和
函薮殖白勺字母无关);②定义域一致(两点必须同时具
备)
2.值域:先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
例:求下列函数的定义域:
(1)尸”上空二!2⑵尸1(士|I
|x+3|-3Vx+1
8
(函数的基本性质)
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某
个区间D内的任意两个自变量x„X2,当xKx?时,都有
f(x.)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D
称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x„xz,当xXx2
时,都有f(x)>f(xz),那么就说/169在这个区间上是减
函数.区间2称为y=f(x)的单调减区间.
注意:函薮的单调性是函数的局部性质;
(2)图象的特点
如果函数在某个区间是增函数或减函数,那么说
函数产在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区
间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左
到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
①任取X”X2^D,且X〈X2;
②作差f(x)—f(xj;
(3)变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断差f(x)—f(xj的正负);
⑤下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数/IgG刀的单调性与构成它的函数u=g(x),
y=f包的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能
把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(-
x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(-
x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
①首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对
称;
9
②确定f(一X)与f(x)的关系;
③作出相应结论:若f(—x)=f(x)或f(―X)—f(X)
=0,则f(x)是偶函数;若f(―x)=-f(x)或f(―x)+
f(X)=0,则f(x)是奇函数.
例:判断函数丫=-丁+1的单调性并证明你的结论.
另附:函数最大(小)值(定义见课本p36页)
①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
②利用图象求函数的最大(小)值
③利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递
减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递
增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
4.几个基本初等函数
(鬲函数)
1、累函数定义:一般地,形如丁=/他6/?)的函数称
为累函数,其中a为常数.
2、基函数性质归纳.
(1)所有的幕函数在(0,+8)都有定义并且图象都过点
(1,1);
(2)a>0时,基函数的图象通过原点,并且在区间[0,+8)
上是增函数.特别地,当a>l时,基函数的图象下凸;当
0<a<l时,毒函数的图象上凸;
(3)a<0时,基函数的图象在区间(0,+8)上是减函数.在
第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限
地逼近y轴正半轴,当尤趋于+8时,图象在x轴上方无限
地逼近x轴正半轴.
例:求下列函数的定义域和值域.
2_3
(1)y=x^(2)y=x^
10
(指数函数及其图象)
1、指数函数的概念:一般地,函数y=优(a>0,且"1)
叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为
R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负
数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>l0<a<l
1
11(1
定义域R定义域R
值域y>0值域y>0
在R上单调在R上单调
递增递减
非奇非偶函非奇非偶函
数数
函数图象都函数图象都
过定点(0,1)过定点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,f(x)=a*(a>0且awl)值域是
[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)];
(2)若XHO,则f(x)71;f(x)取遍所有正数当且
仅当xeR;
(3)对于指数函数f(x)=a,(a>0且a/1),总有
f(D=a;
(对数函数)
1.对数的概念:一般地,如果优=N(a>0,ahl),那么
数x叫做以a为底N的对数,记作:x=log“N(a—底数,
N—真数,log“N一对数式)
说明:①注意底数的限制。>0,且
②a'=N0log“N=x;........""
log.N
11
(3)注意对数的书写格式.
两个重要对数:
①常用对数:以10为底的对数IgN;
②自然对数:以无理数e=2.71828…为底的对数的对数
InN.
♦指数式与对数式的互化
基值真数
t=NolofgN=b
底数
指数对数
(-)对数的运算性质
如果a>0,且awl,M>0,N>0,那么:
①log(;(A/•N)=log“M+log„N;
②log„=logaM-log„N;
③logoM"=nlog,,M(/?£/?).
注意:换底公式
log“b=log。」(a>0,且axl;c>0,且cxl;b>0).
log,a
利用换底公式推导下面的结论
„1
(1)log严夕=一log/;(2)log„b=-------.
mlog,,a
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数y=log«x(a>0,且awl)叫做对
数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+8).
注意:①对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定
义,注意辨别。如:y=21og2x,y=iOg5—都不是对数函
数,而只能称其为对数型函数.
②对数函数对底数的限制:(«>0,且awl).
2、对数函数的性质:
12
a>l0<a<l
J1
•
J
;...0],T01
|/
1
]/书
定义域x>0定义域x>0
值域为R值域为R
在R上递增在R上递减
函数图象都过函数图象都过定点
定点(1,0)(1,0)
例:1.函数y=logi(2x?-3x+l)的递减区间为
2
2.若函数/(x)=log.x(0<a<l)在区间2a]上的最大值是最小值的3倍,则a=
3.已知/“)=]阻虫(”>0且。川(1)求/⑴的定义域⑵求使/⑺>。的x的取值
“]一1
范围
5,三角函数
(注:本章以公式为主!!!!)
sin(a+2%))=sina
cos(a+22乃)=coscir
tan^z+2k兀)=tana(其中ZeZ)
sin(18(P+cr)=-sinasinQr+a)=-sina
cos(l8(P+a)=-cos<zcos(乃+a)=-coscr
sin(-a)=-sina
cos(-a)=cos。
sin(l8(P-a)=sinasin(7一a)=sine
cos(l8(P—a)=-cosacos(»—a)=-cosa
sin(36(F-a)=-sinasin(2"-a)=-sina
cos(36(P一a)=cosacos(21一a)=cosa
sin(90°-a)=cosa,cos(90°-a)=sina.
sin(90°+a)=cosa,cos(90°+a)=-sina.
sin(270°-a)=-cosa,cos(270°-a)=-sina.
sin(270°+a)=-cosa,cos(270°+a)=sina.
13
(二)高一下学期:
1.解析几何(I)
(平面直线)
(1).数轴上两点间的距离公式:|AB|=|X1-X2|.
(2).x轴上两点间的距离公式:|AB|=|X2-X1|,其中
A(X1,O),B(X2,0).
(3).与x轴平行的直线上两点的距离:|AB|=|X1-X2|,其中
A(Xl,y),B(X2,y).
(4).y轴上两点间的距离公式:|AB1=ly2-yl|,其中
A(0,yl),B(0,y2).
(5).与y轴平行的直线上两点的距离:|AB|=|yl-y2|,其中
A(x,yl),B(x,y2).
22
(6).任意两点间的距离公式:|AB|=7(x,-x2)+G,-y2),其中
A(Xl,yl),B(X2,y2).
例:1.求下列各组两点之间的距离
(1)A(-3,9),B(-3,4)
(2)A(4,7),B(1O,7)
(3)A(3,-2),B(4,5)
2.已知A(3,x),B(3,9),|AB|=8,求x的值.
(7).直线与x轴平行时,倾斜角规定为0.
(8).直线的倾斜角的范围时0WaV开.
(9).直线的斜率:直线的倾斜角aa的正切tan是直线的斜率,
通常用k表
示即k=tana(aW工).
2
(10).任何一条直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率.
14
(11).除了a=2(l_Lx轴)外,角与其正切tan是一一对应的,也可用tan表
2
示/的倾斜程度.
(12).倾斜角与斜率之间的关系为:
①当a=0,即直线1平行于x轴时,k=0.
②当0<u<2,即直线1的倾斜角为锐角时,k>0.
2
③当卫VaV乃,即直线1的倾斜角为钝角时,k<0.
2
④当a=工,即直线1平行于y轴时,k不存在,反之亦然.
2
(13).斜率公式:平面上的过两点A(率,yl),B(x2,y2)(xlWx2)的直线
/的斜率
为k=v2-vl(xl^x2)
x2-xl
当xl=x2时,直线/垂直于x轴,/的斜率不存在.
例:1.若三点人(皿),13(-2,3),(:(3,-2)在同一条直线上,求m的值.
2.求经过A(-2,0),B(-5,3)两点的直线斜率、倾斜角.
(平面直线的方程)
(D.点斜式方程
直线1的斜率为k,过已知点A(X0,y0)
设p(x,y)为直线/上任意异于A的一点,已知k得
K=Z
x-K)
即y-yO=k(x-xO)
(2).斜截式方程
在点斜式方程中,如果点A在y轴上,坐标A(0,6),此时直线的点斜式方
程可
化为y=kx+b(b是直线在y轴上的截距)
15
(3).直线方程的一般式
形如Ax+By+C=O(A,B不同时为0)的方程叫做直线的一般式方程.
由Ax+By+C=0(BW0),可求得直线的斜率k=--,截距b=--
BB
注:二元一次方程都是直线的方程,直线方程都是二元一次方程.
例:1.求过M(4,-2),且满足下列条件的直线方程
①斜率k为-3
②且过N(3,T)
③平行于x轴
④平行于y轴
2.求直线3x-y-9=O在x轴、y轴上的截距以及与坐标轴围成的三
角形的面积.
3.直线/过点A(-2,3)且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线/
的方程.
(直线间的位置关系)
(1).两条直线平行
/l『2okl=k2,(kl,k2都存在)
(2).两条直线垂直
Z11/2<»kl=-—,即kl-k2=-l
k2
(3).求相交直线的交点
ll:Alx+B\y+Cl=Q,l2:A2x+B2y+C2=0
16
'41x+Bly+Cl=0
,(方程组的解就是两直线的交点)
'A2x+B2y+C2=0^
(4).点到直线的距离
设点M(xO,yO)为直线/:4彳+为+。=0外一点,过M向AB引垂线,垂足为
D,把线段MD的长d叫点M到直线AB的距离.
改写/的方程为y=-&-C,以x=xO代入,得:
BB
,A八C
yl=--xO-----
BB
即隆阳」丁Q+。
(5).两条平行直线间的距离
/l:Alx+81y+Cl=0,/2:A2x+82y+C2=0
即八拼磊(/1|/2)
例:1.已知直线/l:ax+3y+l>0与直线/2:2x+(a+l)y+l=0平行,求”的值.
2.已知AABC中,A(2,-1),B(4,3),C(3,-2)
求①BC边上的高所在的直线.
②过C与AB平行的直线方程.
3.求/l:2x+3y+6=0和22:过点(7,-2),(5,2)的交点坐标.
17
4.求点p(4,0)关于直线5x+4y+21=0的对称点p'的坐标.
2.三角函数(II)
(两角和与差的三角公式)
正弦:sin(a±/?)=sinacos尸土cosasin/?
余弦:cos(6z±/?)=cosacos^+sinasinf3
正切:tan@+0=tano+tag
l-tan6z«tany?
/八、tana-tan/?
tan@-/?)=----------------
l+tana・tany9
例:1.求证:cos(30'+a)+cos(30'一a)=gcoscr
2.已矢口,sina=—,a£(一,4),求cos(一+a)・
18
3.已知(“<T,O”<jcos4+a)=—|,simt+0=5
求sin(2+尸)的值.
23
3.已知sina=§,cosa=-:,且a,夕都是第二项限角
求tan@-/?);tan@+/?)
(倍角公式)
.,sin2aJ
正弦:sin2<z=2sinacosacosa=--------sinez•cosa=-sin2a
2sina2
余弦:cos2<z=cos2cr-sin2a=2co^a-l=l-2sin2a
2tana
丁1tana=-------z-冗冗
正切:l-tan2a(2aw——hbz且aw——I■攵万,kez)
22
注把asia-fiftcaz化为一个角的一种三角函数为
asina+Z?cosa=J/+/sin(a+。),其中cos(p=—P,sin(p=,
yla2+b2yja2+b2
TTS
例:1.已知s已(x——)=-----,求sin2x的值.
413
19
2cosl£-sin2£
2.求的值.
cos200
3.已知sin(?-x)=K,0<x<7,求cos2x的值.
(正弦定理)
定义:三角形内角的正弦与对边的对应比相等.
公式:三=3=—J=2R(R表示三角形外接圆的圆心)
sinAsinBsinC
公式的适用范围:①已知两夹角一边②已知两边一对角(可能有两个
解)③已知两角一对边
(余弦定理)
定义:三角形任一内角的对边的平方,等于邻边平方和减去邻边同这个
内角余弦乘
积的二倍.
序22
公式:标COSA=--------------—
2bc
,7??八c-b~
b=a-\-c-cosB<=>cosB=--------------
2ac
20
a1+h2-c2
,2=a2+b2-2oZ?・cosCcosC=
lab
公式的适用范围:①已知三边②已知两边夹一角
(三角形的面积公式)
S三角形=^ab•sinC=ac•sinB=^bc•sinA
例:1.已知在"BC中,ZA=45\AB=y[6,BC=2,
解此三角形.
2.在AABC中,已知a=J5,"=四,3=45°,
求A,C和c.
3.圆
(圆的标准方程)
以c(a,b)为圆心,半径为r,|pc|=r时,点p(x,y)在圆上,则
(x-a)2+(y-b)2=r2.
注:当圆心为原点。(0,0)时,x2+/=^2
(xO,yO)在圆上是切点,则切点已知的且现方程为
xOx+yOy=r2
例:1.求过点A(2,-3),B(-2,-5),且圆心在直线
x-2y-3=0上的直线方程.
21
(直线与圆的位置关系)
(1).直线与圆的位置关系的判定:
位置关系示意图像代数方法几何方法
方程组方程组
(1)(2)
d<r
相交二解A>0
相切一解d-r
A=0
相离无解A<0d>r
^_\Ax+By+C\
点(x,y)为圆心
^A2+B2
弦长问题:(用了=户一解
补充:特殊位置的圆的方程
与x轴相切(X—a)2+(b—a)2=b2(b^0)
与y轴相切(x-a)?+(y-b)2二/s二。)
圆上的点到直线的最短距离:d-r
圆上的点到直线的最长距离:d+r
(d为点到直线的距离)
例:1.已知直线/:人一丁+6=0被f+y?=25
截得的弦长为8,求人的值.
(圆与圆的位置关系)
①外离:d>rl+r2(力、「2为两圆的半径)
②外切:d=r\+r2
(3)/日交:r2-r\<d<r2+rl
22
④内切:d=r2-ri
⑤内含:d<r2-r\
判断两个圆的位置关系
求出圆心距:d=^xl-x2)2+(y\-y2)2,再根据概念,判断.
例:1.已知圆C1:%2+y2+2x+8y-8=0,圆
2
C2-+y—4x—4_y—2=0>判断两圆的位置关系.
(圆的一般方程)
(1).公式:x2+y2+Dx+Ey+F^O,圆心为(―§,—g)
半径为,=包三士空
2
例:1.圆/+,2-2%+4丁+2=0的圆心坐标和半径
分别为__________________
4.平面向量
1.向量的概念
(1)向量的基本要素:大小和方向.
(2)向量的表示:几何表示法AB,a;坐标表示法M=xi+W=(x,y).
(3)向量的长度:即向量的大小,记作|。|=々77.
(4)特殊的向量:零向量2=0oIaI=0.单位向量瓦为单位向量oI
«0I=1.
注意区别零向量和零
(5)相等的向量:大小相等,方向相
23
r=i__$=/
同.“=。o(M,y)=。2,%)
[y=为
(6)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作M〃B.
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线
上,故平行向量也称为共线向量.
cos&=-二叱丁
(7)向量的夹角
⑷・网收+靖春+只
夹角的范围是:0°<5<180°
(8)GZ的几何意义:<1>云石等于a的长度与b在。方向上的投影的乘积
<2>在°上的投影为Z,cose=W=单里以
⑼平移:点P(x,y)按a=(4,k)平移得到P(x+h,y+k);
函数y=/(x)按a=(〃,k)平移得到y-k-f(x-h)。
4.向量的运算:向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量积(内积)及其
各运算的坐标表示和性质见下表:
运算类
几何方法坐标方法运算性质
型
1.平行四边形法则
(共起点构造平行四边a+h=a+b=b+a
向量
形)(用+元2,%+为)(a+〃)+c=a+(b+c)
加法
2.三角(多边)形法则AB+BC=AC
(向量首尾相连)
a-h=ci-b=a+(—b)
向量三角形法则
(Xj-X2,yt-y2)AB=-BA
减法(共起点向被减)
OB—OA=AB
24
1.法是一个向量,满足:
数乘2.4>0时,法与之同向;(2+〃)Q=Mi+
Xa-{Ax.Ay)
向量几〈0时,击与2异向;4(。+8)=2。+助
a//ha=Ab(b0)
4=0时,苍=0.
ab=b-a
5名是一个实数
(法)3=5•(戒=4(2历
I.M=0或B=0或五,B
(a+h)c=a-c+b-c
向量的a-b=
时,ab=O
222
数量积a=\a\,|a|=Jx+/
2.170且37。时,
\a-b\^a\\b\
a-b=\a\\b\cos<5,5>
|为一|=«五一切尸+01-h)2
5.重要定理、公式:
(1)平面向量基本定理
①耳,瓦是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有
且仅有一对实数4,%,使G=%©+%&•
②对于基底不,当,有+4
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