高考理科数学必会知识点总结

高考理科数学必会知识点总结

§1集合与简易逻辑

-、集合间的父系和其运算

（1）符号〃3〃是表示元素与集合之间今系的•如立体几何中的体现出

与直线（面）的突系；

符号〃王〃或〃q或.〃等是表示集合与集合之间关系的，立体

几何中的体弧湎与直线（面）的关系。

（2）；A\JB=；Cb,A=.

（3）交、并、补的运算性质：对于任意集合A、B，

C”（An8）=QAU「.田加（AUB）=gACIQB

切记：A^B<=>Ar\B=A<^>A^B<^A<JB=B.

（4）集合中元素的个数的计算：

若集合A中有〃个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2〃,所有真子

集的个数是（2〃-1）­所有非空真子集的个数是（2〃-2）。

二、常用逻辑用语：

1、四种命题：

⑴原命题：若p则q;⑵逆命题：若q则p;⑶否命题：若「p则」q;（4）

逆否命题：若「q则「p

注：1、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时注

意转化。

2、注意命题的否定与否命题的区别：命题〃=,/否定形式是;否命题

是命题"p或夕"的否定是〃-p且r"；"p旦""的否定是"-p或r".

假假假假真

〃或命题〃的真假特点是〃一真即真,要假全假〃；

〃巨命题〃的真假特点是〃一假即假，要真全真〃；

〃非命题〃的真假特点是"一真一假〃

4、充要条件

由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件

是结论成立的必要条件。

5、全称命题与特称命题：

短语〃所有〃在陈述中表示所述事物的全体•逻辑中通常叫做全称量词，并用

符号v表示。含有全体量词的命题•叫做全称命题。

短语〃有一个〃或〃有些〃或〃至少有一个〃在陈述中表示所述事物的个体或

部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号m表示，含有存在量词的命题•叫做

存在性命题。

全称命题p:TxeM,p(x)；全称命题p的否定-<p:°

特称命题p：；特称命题p的否定」p:；

§2函数和导数

一、函数的性质

1•定义域(自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域等)；

2•值域(求值域：分析法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、

判别式法等)；

3•奇偶性(在整个定义域内考虑)，判断方法：

I.定义法——步骤：求出定义域并判断定义域是否关于原点对称；求/(-x)；

比较/(r)与/(幻或/(T)与-7(X)的关系；口.图象法；

常用的结论

①已知：H(x)=f(x)g(x)

若非零函数/(%)超(幻的奇偶性相同,则在公共定义域内”(幻为偶函数；

若非零函数F(x),ga)的奇偶性相反,则在公共定义域内为奇函数；

②若/(幻是奇函数，且Ow定义域，则/,(())=0.

4•单调性(在定义域的某一个子集内考虑)，证明函数单调性的方法：

(1),定义法步骤①：设和芍€A且X]<x2；②作差/a)-/(%2)(一般结果

要分解为若干个因式的乘积•且每一个因式的正或负号能清楚地判断出)；③判

断正负号。

另解:设石同x产9则

(x-x)[/(^)-/te)]>0o”卬-"通)>0o/⑴在上是增函数；

12Xl-X2

(X)-x,)[f(Xy)-/(x,)1<0<=>)""2)<oo/(x)在,,句上是减函数.

'~为一了2

(2).(多项式函数)用导数证明：若在某个区间A内有导数，则

/(x)>0(xGA)«/(x)在A内为增函数；/(x)<0(xeA)<=>f(x)在A内为减函

数.

(3)求单调区间的方法：a.定义法：b.导数法：c.图象法：

d.复合函数)，=/0刈在公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同«

则八冢初为增函数；若f与g的单调性相反,则/卜(划为减函数。注意：先

求定义域，单调区间是定义域的子集.•••・

・(4)二届看甬山法隹.:..........

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

③在公共定义域内：

F(x)(增)=八幻(增)+总)(增)；F(x)(减)=/*)(减)+E)(减);

F(x)(增)=/5)(增)-⑺(减)；F(x)(减)=/*)(减)-g(x)(增);

④一个重要的函数：函数尸小+口。>0/>0)在(_8,飞叵]或庐+s|上单调递

增；在卜,0)或1a用上是单调递减.

5•函数的周期性

(1)定义：若T为非零常数­对于定义域内的任一X，使“x+T)=f(x)恒成

立，则人为)叫做周期函数，T叫做这个函数/(%)的一个周期.T的整数倍都是/*)

的周期。

二、函数的图象

1•基本函数的图象：(1)一次函数、(2)二次函数、(3)反比例函数、(4)

指数函数、(5)对数函数、(6)三角函数、(7)函数y=ax+9(a>o4>o).

x

2•图象的变换

(1)平移变换

①函数y=/(x+〃)(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴向左平移a个单

位得到的；函数y=f(x+a)3v0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴向右平移a

个单位得到的；

②函数y=f(x)+a(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿y轴向上平移〃个单

位得到的；函数十a(a<0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿)，轴向下平移a

个单位得到的；

(2)对称变换

①函数y=f(x)与函数)，=/(一)的图象关于直线X=0对称；

函数y=/(x)与函数y=—/(》)的图象关于直线y=o对称；

函数y="为与函数>的图象关于坐标原点对称；

②如果函数y=f(x)对于一场xeR,都有f(a+x)=f(a-x),则y=7")的图象关

于直线对称；如果函数y=f(x)对于一切xwR,都有f(a+x)+jf(a-x)=2b，则

y=/W的图象关于点3,b)对称°

③函数y=/(a+x)与函数),二f(a-x)的图象关于直线x=〃对称。

④y=尸(x)与y=/(x)关于直y=%对称。

(3)伸缩变换(主要在三角函数的图象变换中)

三、函数的反函数：

1•求反函数的步骤：

(1)求原函数y=/(x)(xwA)的值域B

(2)把)，=/*)看作方程，解出x=<p(y)(注意开平方时的符号取舍)；

(3)互换X、y，得丁=/(幻的页函数为y=ji(x)(x£8).

2•定理：(1)/-'(/?)=«<=>f(a)=b,即点(a,8)在原函数图象上o点(b,〃)在反函

数图象上；

(2)原函数与反函数的图象关于直线y=x对称.

3•有用的结论：原函数)，=/(©在区间［YM］上单调的，则一定存在反函数•目

反函数y=/T(x)也单调的，且单调性相同；但一个函数存在反函数•此函数

不一定单调。

四、函数、方程与不等式

1・〃实系数一元二次方程a?+灰+°=0有实数解〃转化为〃△="—44之0〃.

你是否注意到必须。工0；当〃=0时，〃方程有解〃不能转化为A=b2-4acN0。若

原题中没有指出是〃二次〃方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可

能为零的情形？

2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。

设xPx2为方程f(x)=0,(。>0)的两个实

①若王<m,x2>m,则of(m)<0；

②当在区间(九〃)内有且只有一个实

时，

③当在区间(见〃)内有且只有两个实根时，④若

VA

f(m)>0

f(n)<0

/(P)<0

注意：①根据要求先画出抛物线,然后写出图象成立的充要条件。

②注意端点，验证端点。

五、指数函数与对数函数

1•指数式与对数式：M=N《awR,N>uN=b

对数的三个性质:①N>0；②log/=0；@logfla=l

对数恒等式:①a"*”=N;②嚏2=理也；③嗨M

log,”a优

对数运算性质:①嗨（硼=够“+现”；②log.Ar=〃bg“M；

指数运算性质：①屋②（/），=〃〃③（昉y=。方（a>O,b>O",seQ）

2•指数函数与对数函数

（1）特征图象与性质归纳（列表）

指数函数y=aX(a>0,awl)对数函数y=logax(a>0,a

Hl)

0<a<l0<a<l

a>la>l

特征

图象

定义(-oo•+oo)(0，+8)

域

值域(0•+OO)(-8，+OO)

单调减函数增函数减函数增函数

性

定点(0.1)(l'O)

函数x<0时,x<o时,0<x<l0<x<l

值分布y>i;0<y<l;时，y>0;时，y<0;

x>0时•x>0时，X>1时，X>1时，

0<y<ly>iy<0y>0

（2）有用的结论

①函数y="与y=log〃x（〃>0且〃工0）图象关于直线y=x对称；函数y="

与y=「（4>0且々工1）图象关于y轴对称；函数y=log[%与y=logqX（a>0且。工0）

a

图象关于X轴对称.

②记住两个指数（对数）函数的图象如何区别？

六、导数：

1•几种常见函数的导数

(1)(7=0(C为常数)(2)(x〃)=nx""(〃£Q)⑶(sinx)'=cosx⑷(cosx)'二-sinx⑸

(Inx/=—(6)(logaxy=—log/(7)(ex)'=ex(8)(axY=ax\na

xx

2-导数的运算法则

(1)(«±V)=M±V(2)(wv)=wv+wv(3)(—)=UV(v0).

VV

3-复合函数的求导法则

设函数〃=9(X)在点X处有导数％=Q(X)，函数)；=/(〃)在点x处的对应点U处

有导数以=/(〃)，则复合函数y=/(e(x))在点X处有导数，且”=”•〃；，或写作

f(以制)=/(〃)，*).

4・导数的几何物理意义：

(1)几何意义：k=f/(Xo)表示曲线y=f(x)在点P(Xo,f(Xo))的切线的斜率。

!

曲线在点P(Xo,f(Xo))处的切线方程为：y-f(x0)=f(x0)(x-x0)

(2)V=s/⑴表示即时速度,a=v«t)表示加速度。

5•单调区间的求解过程：已知y=

①分析＞=/(%)的定义域；

②求导数y'=/«)；

③解不等式:(幻＞0，解集在定义域内的部分为增区间；解不等式广(幻＜0，

解集在定义域内的部分为减区间。(或用列表法，见课本)

6•求极大、极小值:已知y=/(x)

①分析y=，x)的定义域；

②求导数旷=/3；

③求解方程f\x)=0(设有根石五…，与)；

④列表判断〃+1个区间内导数的符号，判断了a)j(w),…JK)是否为极值，

如果是，是极大还是极小值。

注：判别了(/)是极大(小)值的方法

当函数/(幻在点X。处连续时，

(1)如果在与附近的左侧:。)＞0•右侧rw＜o，则〃/)是极大值；

(2)如果在与附近的左侧广(幻＜0，右侧/v)＞()«则八与)是极小值.

注意：f/(Xo)=O不能得到当X=Xo时，函数有极值；但是，当X=Xo时，函

数有极值=f(Xo)=0

7-求函数在某闭区间［a,b］上的最大、最小值：

①②③同上;④比较/⑷、/a))(w)，…J®)、7®，最大的为了")2，最

小的为/*濡.

注意：极值H最值；最值问题一般仅在闭区间上研究(实际应用题除外，即

应用题中有开区间问题).

§3数列

-、数列的定义和基本问题

1•通项公式：盘=，(〃)(用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的

特殊性)；

2•前n项和:+；

3•通项公式与前n项和的关系(是数列的基本问题也是考试的热点)：

S],n=\

a„=<

二、等差数列：

1,定义和等价定义:%=3(〃22)0｛〃“｝是等差数列；

2•通项公式：an=ax+(n-\)d=An+B；推广：an=am+(/?-m)d；

3•前n项和公式：5“=生卫.〃=加|+迪二2[=4〃2+8〃；

4・重要性质举例：①a与b的等差中项A="；

2

②若m+〃=p+q,则+4；特别地：若m+〃=2p,则4〃,+。〃=24；

③奇数项"吗吗，…成等差数列*公差为2d；偶数项4MM6，…成等差数列*公

差为2d.

④右有奇数项2〃+1项,则Szn+i=(2〃+1)〃中；S奇-S偶=a中，S杼=n1〃中,S偶=P?'。中,

a=a

(an+l)/

若有偶数项2n项，则s偶-s奇=出，其中d为公差；

⑤设A=S0，B=S2nSn，C=S3nS2n-贝I」有2B=AiC；

⑥当q>0,d<0时，S.有最大值；当q<0,d>0时，S,有最小值.

⑦用一次函数理解等差数列的通项公式；用二次函数理解等差数列的前n项和

公式.

(8)若等差数列｛%｝的前2〃-1项的和为S2“_「等差数列吼｝的前2〃-1项的和为

品”「则会=2

三、等比数列:

1,定义:—=之2当00国工0)=｛4｝成等比数列；

%

nx

2,通项公式:an=axq~；推广；

叫(q=1)

3•前n项和S”=4(1—/)a-aq一；(注意对公比的讨论)

_2_=ZLx__an((q01)

\-q\-q

4•重要性质举例①a与b的等比中项GoG2="=G=±J茄(外。同号);

②若加+〃=〃+g,贝；特别地：若m+〃=2p,则a,〃q=a；；

③设A=S「B=S2n-Sn•C=S3n-S2n*则有出=AC；

④用指数函数理解等比数列(当4>0,夕>0,夕工1时)的通项公式.

四、等差数列与等比数列的关系举例

1•血｝成等差数列o付"｝成等比数列；2•｛叫成等比数列=｛喘可｝成等差

数列.

五、数列求和方法：

1-等差数列与等比数列；2•几种特殊的求和方法

(1)裂项相消法；*=----------5----------=-^(—----------—)

(An+B)(An+C)C-BAn+BAn^-C

(2)错位相减法：其中也｝是等差数列,匕｝是等比数列

记S“=44+30+…+%TC〃T+%C〃；则夕S.=g+……+

(3)通项分解法：an=bH±cn

六、递推数列与数列思想

1•递推数列

(1)能根据递推公式写出数列的前几项；

(2)常见题型：由/,⑸吗)=0♦求4,S”.解题思路：利用%=S〃-S,I，522)

2•数学思想

(1)迭加累加(等差数列的通项公式的推导方法)若可-a”—=/(〃),(〃22)，则……；

(2)迭乘累乘(等比数列的通项公式的推导方法)若&=g(〃)(〃Z2)，则……；

%

(3)逆序相加(等差数列求和公式的推导方法)；

(4)错位相减(等比数列求和公式的推导方法).

§4三角函数

一、三角函数的基本概念

1♦终边相同的角的表示方法(终边在X轴上；终边在y轴上；终边在直线y=x

上；终边在第一象限等)，理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；

2­任意角的三角函数的定义(三个三角函数)、三角函数的符号规律、特殊角

的三角函数值、同角三角函数的关系式(三个：平方关系、商数父系、倒数关

系)sin2<9+cos2^=1•tan^=^^-*l+tan2a=一二诱导公式(奇变偶不变,符号

co3cos-a..................

薄蒙眼；

二、两角和与差的三角函数

1•和(差)角公式

(1)sin(a+/)二；(2)sin(a-p}-.

(3)cos(a+/?)=；(4)cos(a-p)=.

(5)tan(a+/7)=；(6)tan(a一夕)=.

2-二倍角公式：(1)sin2a二；

(2)cos2a===；

(3)tan2a=.

3•有用的公式

(1)升(降)帚公式：sin2a=--8s2a'cos2a=+C0S；sinacos«=—sin2a；

222

(2)辅助角公式：asina+bcosa=\la2+Z?2sin(a+cp)(0由a,。具体的值确定)；

(3)正切公式的变形：

c/C、，、"1tana+tan£

tana+tan/>=tan(a+p)(l-tana-tanp)tan«-tan/>=1----------—

tan(a+ft)

4•有用的解题思路

(1)〃变角找思路，范围保运算〃；(2)〃降鬲——辅助角公式——正弦型

函数〃；

(3)巧用sina±cosa与sincrcosa的关系；(4)巧用二角函数线----数形结

口.

三、三角函数的图象与性质

1•列表综合三个三角函数y=sinx，y=cosx,y=tanx的图象与性质，并挖

掘：

(1)最值的情况；(2)三函数的周期公式：

函数y=Asin(s+0)，XWR和函数y=Acos(©x+0)，XER(A,IO,0为常数，且AHO,

3>0)的周期7=女；若3未说明大于0,则丁=生；函数尸tanQE+p)，

co\co\

xw%笈+乙,2£Z(A,CO,°为常数,且A/0♦3>0)的周期7=2.

2co

(3)会从图象归纳单调性、对称轴和对称中心；

),=sinx的单调递增区间为限乃-工,2就+4级单调递减区间为

_22_

2左万+^,2%乃+葛keZ,对称轴为x=攵/+g(女eZ),对称中心为(攵;r,0)(女wZ)

y=cosx的单调递增区间为[2&乃-%,2左司ZwZ单调递减区间为[2&乃,2攵乃+]]4€2，

对称轴为x=A乃(2EZ),对称中心为(版•+',())(k€Z)

y=tanx的单调递增区间为(％乃-生,2乃+工keZ,对称中心为(七肛0)(keZ)

<22J2

2•了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用"五点法〃画正弦、余

弦函数和函数y=Asin(5+0)的简图,并能由图象写出解析式,

(1)〃五点法〃作图的列表方式；

(2)求解析式〉=4$出(皿r+0)时初相夕的确定方法：代(最高、低)点法、

公式用=-纥

co

3•正弦型函数)，=Asin(3x+o)的图象变换

切记：y=Asin5------->y=Asin(^+(p)

注意图象变换有时用向量表达•注意两者之间的转译.

四、解三角形、

1•三个重要结论

(1)正弦定理：7T=\=2R(2R为三角形ABC的外接圆直径)或

sinAsinBsinC

写成:Z?:c=sinA:sinB:sinC

(2)余弦定理：a2=b2+c2-2abcosA,或写成cosA="+'...—

2ab

(3)二角形ABC面积公式：S=—absinC=-bcsinA=—easinB

222

2・在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：/ABC中,A>B«sinA>sinB

§5平面向量和空间向量

-、向量的基本概念

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向

量.

二、加法与减法运算

1•代数运算

⑴4出+44+…=•

(2)若。=(x,,y,),1=(x2,y2)则。±1二(X,±x29yi±y2),

2•几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量而二Z、而=3为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量

AC=a+1,

BD=b-a,DB=a-k且有%|-|3|W|"±B|4|3|+|B|•

3・运算律

向量加法有如下规律：3+3=3+-交换律);

a+(g+c)=(a+1)+c(结合律)；a+0=aa+(­«)=0.

三、实数与向量的积

实数4与向量「的积是一个向量。1,|Z|=|4|•|5|；

(1)当几>0时7与［的方向相同；当4<0时X3与［的方向相反；当"0

时•2a=0-

(2)若。=(Xpjj)•则Q”=(孙，孙)•

2•两个向量共线的充要条件：

(1)向量B与非零向量［共线的充要条件是：有且仅有一个实数2，使得

b=Za-

(2)若。二(%,以)，3二(九2，%)则〃II30再丫2一工2必二0•

四、平面向量基本定理

1•若I、砥是同一平面内的两个不共线向量•则对于这一平面内的任一向量

a•有且只有一对实数4，丸2，使得白二力石+九最，

2•有用的结论：若冢、窈是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数4，

%2,使得4I+，2I=。，则4二九二。-

五、向量的数量积；

1•向量的夹角：

已知两个非零向量［与否，作苏=zOB=则NA0B=6(0°<6^<180°)叫

做向量"与坂的夹角(两个向量必须有相同的起点)。

2•两个向量的数量积：已知两个非零向量"与B，它们的夹角为。，

则〃•后二IaI•IBICOSO-其中|bICOS夕称为向量B在々方向上的投影•

3•向量的数量积的性质：若£二(王，y),B=(x2,y2)

(1)e-a=a-e=\a\COSO("为单位向量)；

(2)ZJ_(oU=0o再再+%力=0(工',为非零向量)；

(3)IaI=\fa-a=旧+城；

(4)cose=需二,…产.(可用于判定角是锐角还是钝角)

I+H77^-77^7.........................

4•向量的数量积的运算律：

六、点P分有向线段而所成的比

1•定义：设P1'「2是直线/上两个点，点P是/上不同于P1'「2的任意一点，

则存在一个实数4使和二4而，/I叫做点P分有向线段胭所成的比。

2•位置讨论：

(1)当点P在线段陋上时^>0;特别地：点P是线段P1P2的中点是2=1.

(2)当点P在线段而或而的延长线上时，义<0;

3•分点坐标公式：若而=4而；R,P,g的坐标分别为(西，弘)，(x,y)；

v1+42

(乂,为)；则］>="皿•(2/-1)*中点坐标公式：

V=2L±Z2

11+4I2

4.三点共线定理：若3=工丽+必？贝I」A,B,C共线的充要条件是x+y=l

5.点的平移公式."一"o5?=而+而

y=y+k[^=y-k

(图形F上的任意一点P(x-y)在平移后图形F上的对应点为P'(x,y)•且港的

坐标为仇心).

七、空间向量

1.空间两个向量的夹角公式

aQi+ab+/仇

cos(a•b)=22a-(4，出，生)’b=(々，4，4)).

Ja：+g+a；+匕；+b；

2.空间两点间的距离公式若A(』，y,Z|)，B(x2,y2,z2)*则

§6不等式

一、不等式的基本性质与定理

1•实数的大小顺序与运算性质之间的关系:

2•不等式的性质:

(1)a>Z?=bva或avb=Z7>a(反对称性)

(2)a>b^b>c=>a>c5^,a<b,b<c=>a<c(传递性)；

(3)a>b=>a+c>b+c

推论1:a+b>c=>a>c-b(移项法则)；推论2:a>b,c>d=a+c>b+d(同向

不等式相加)；(4)a>b,c>0=>ac>be•a>b,c<0=>ac<bc

推论1:a>b>0,c>d>0ac>bd；推论2:a>b>0-a">b"

(5)a>b>0=>yfa>y/b(neN,n>2)；(6)ab>Oa>b=>—<—(倒数法则)

yab

3•常用的基本不等式和重要的不等式

(1)ae/?,a2^0，H>0，当且仅当a=0取

(2)凡人£氏，则(当且仅当时取〃=〃)

(3)a,bwR+，贝匕2而(当且仅当。=人时取〃=")

注：土也——算术平均数，疯——几何平均数.

2

(4)(当且仅当a=b时取〃=〃)

4'最值定理：设尤,y>0,由%+、之2^^得

(1)如积孙=尸为定值，则当且仅当x=y时x+y有最小值2户；

(2)如和x+y=S为定值，则当且仅当x=y时.)，有最大值§)2.

即：积定和最小，和定积最大.

注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.

5-含绝对值的不等式性质：向±|44〃±444+例(注意等号成立的情况).

二、解不等式

1•一兀一次不等式ax>b(a^Q))(1)a>0^xx>->；(2)a<0,x

2•(1)—兀一次不等式奴?+力x+c>()(或v0)(〃w0,△=/一4ac>0),如果a与

a^+bx+c同号•则其解集在两根之外；如果〃与a^+^+c异号t则其解集在

两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

(2)重要结论：ar?+法+003。0)解集为R(即"?。对丫£尺恒成立)，

则a>0,△<().(注：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证a=0).

3•绝对值不等式：

(1)零点分段讨论一|司=["心°•

11[-aa<0

(2)转化法：|/(x)|>g(x)=>/(%)>g(x)或f(x)v—g(x)；

|/(x)|<g(x)=>一g(%)</(x)<g(x)；

(3)数形结合

4.指数不等式与对数不等式

7a)>o

f(x)

(1)当。>1B寸,a>浦⑴o/(x)>^(x)；log4J/(x)>log“g(x)=•g(x)>0.

/Og(x)

/a)>o

(2)当0vav1时,af(x)>aM=/(x)<g(x)；logJ(x)>log.g(x)o、g(x)>0

/W<g(x)

5•高次不等式、分式不等式——序轴标根法(穿针引线法)

步骤：①形式：四Uo或P(x)Qa)>o(移项，一边化为o，不要轻易去分母);

QM

②因式分解♦化为积的形式(X系数符号>0——标准式)；③序轴标根；④

写出解集.

注意含参数的不等式的解的讨论.

四、一个有用的结论

关于函数)=%+e:

X

1,〃>0时,当x>0时工+4之2〃；当xvO时工+。4-2行.在(0，G]'[-),0)

XX

上是减函数；在转)上是增函数.

2,〃<o时，在（-oo,o）、（0,+8）上为增函数.

§7直线与圆

-、直线的基本量

1•两点间距离公式：若A（X|,y）B（X2，y2），贝=必产

特别地:AB〃x轴，则网=；AB〃y轴>则|阴=.

2•直线/:y=丘+。与圆锥曲线C：f（x,y）=0相交的弦AB长公式

消去y得渥+法+c=0（务必注意A>0）,设A（X]，M）,B（X2，y2）则：

3•直线的倾斜角与斜率

（1）倾斜角ae[0,乃）；当aw•^时,直线的斜率左=tana.

（2）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互化——右图

4-直线在x轴和），轴上的截距：（1）截距非距离；（2）〃截距相等〃的含义.

二、直线的方程：

直线方程的五种形式：

（1）点斜式y-y=%（%-4）（直线/过点6（对K），且斜率为4）,

（2）斜截式y=kx+b[b为直线/在y轴上的截距）.

（3）两点式'"6产%）（耳（知，1）'6（"2，、2）（石，%））・

y2f"不

（4）截距式4+2=1（°为分别为x轴y轴上的截距,且awO,bwO）

ab

（5）一般式Ar+By+C=0（其中A'B不同时为0）.

三、两条直线的位置关系：

（1）右乙：y=4*+々，/2:y=k2）c+h2

⑵若4:Ax+gy+G=0J2：A2x+B2y+C2=0#

五、点到直线的距离

1•点P®,%）到直线Ax+By+C=0的距离：,尸+防+C|

2•平行线间距离：若Ax+B），+G=0、Ax+By+C2=o，则d=⑹一幺.

VA2+B2

注意点：x，y对应项系数应相等.且c产c?

六、圆：1•确定圆需三个独立的条件

（1）标准方程：（x-a）2+（y-b）2=r2'其中圆心为（a,b），半径为r.

（2）一般方程：/+V+以+七y+”=u（二+£2一4”>o）其中圆心为（_/?,_£），

22

半径为〃=包工1-4尸.

2

2-直线4^+仍+。=0与圆(％-〃)2+(5-犷=/的位置关系：

设圆心C到直线I的距离为d,则相切=d=r，相交od<ro，相离od>r;

3•两圆的位置关系：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d•则

外离=d>R+r•夕卜切od=R+r，相交<=>R-r<d<R+r*内切od=R-r，内

含=d<R-r;

§8圆锥曲线

一、椭圆,1・定义

(1)第一定义：若Fi，F2是两定点，P为动

点，且|「耳|+|「闾=勿>|耳闻(。为常数)则P点

的轨迹是椭圆。

(2)第二定义：若Fi为定点，/为定直线,

动点P到h的距离与到定直线/的距离之比为常

数e(0<e<l)，则P点的轨迹是椭圆。

2•标准方程:(1)焦点在x轴上：鸟+马=1(〃”>0);

ab

焦点在)，轴上：工+，=1(4>6>0)。

a-b-

(焦点的位置O标准方程形式)

3•几何性质(以焦点在X轴上为例)：

(1)范围：-a<x<a-b<y<b

(2)对称性：长轴长二2〃，短轴长=2b，焦距=2c

2

(3)离心率e=£，准线方程］=±±

ac

(4)有用的结论：|产用=2々一归周，a-c<\PF\<a+c*

顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与〃也c有欠.

(5)”我心中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段|P周、|P片、

2c，有关角4P尸2结合起来，建立|P£|十|P周、|P图・|尸闾

等关系

二、双曲线

1,定义：

(1)第一定义：若F「F2是两定点，归国-|尸国=2〃<山用(〃为常数)•则动

点P的轨迹是双曲线。(2)第二定义：若动点P到定点F与定直线I的距离之

比是常数e(e>l)-则动点P的轨迹是双曲线。

2・标准方程

(1)焦点在/轴上：1(。>0,10);

a2b

焦点在y轴上：二---7=1(6?>0,Z?>0).

ab

(2)焦点的位置=标准方程形式

3•几何性质(以焦点在x轴上为例)

(1)范围：x>a^x<-a'ye(^o,+oo)

(2)对称性：实轴长二2〃，虚轴长=2b，焦距=2c.

(3)离心率e=£，准线方程工=±J

ac

(4)渐近线方程：4-4=0=>y=±^X,

ab~a

与此有关的结论：若渐近线方程为好±&n±±2=0n双曲线可设为

aab

222222

5_彳=入；若双曲线与.-马=1有公共渐近线,可设为5一4=入(入>0，焦

ababab

点在x轴上；九<0，焦点在y轴上).

(5)当时=离心率6=后=两渐近线互相垂直，分别为y=±x•

此时双曲线为等轴双曲线，可设为，一、2=九；

(6)注意APKK中结合定义|尸制-|尸矶=%与余弦定理

cosN"7",,将有关线段卢司、卢居|、|”勾和角结合|yf勺/CD

起来。Lf

三、抛物线—LL-t____>

1•定义：到定点F与定直线।的距离相等的点的轨

迹是抛物线。

即：到定点F的距离与到定直线I的距离之比是

常数e(e=l)。

2•标准方程(以焦点在x轴的正半轴为例)：y2=2px(p>0)(其中〃为焦点到

准线的距离——焦参数)；

3■几何性质

（1）焦点：（1,0）•通径闷=2〃,准线：x=-1；

（2）焦半径：|cr|=与+]，过焦点弦长|cq—Xj+1+X[+—=X]+匕+P•

（3）几何特征：焦点到顶点的距离二^；焦点到准线的距离二p；通径长=2p

（通径是最短的焦点弦）•顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

（4）抛物线V=2px上的动点可设为P（正,乂）

2P

四、直线与圆锥曲线的关系判断

1•直线与双曲线：当直线与双曲线的渐进线平行时■直线与双曲线仅有一

个交点.

2•直线与抛物线：当直线与抛物线的对称轴平行时•直线与抛物线仅有一

个交占

§9立体几何

一、直线、平面、简单几何体：

1、学会三视图的分析：

2、斜二测画法应注意的地方：

（1先E已知图形中取互相垂直的轴OxOy画直观图时把它画成对应轴。乂、

o'y'、使Nx'o'y'=45°（或135c）；（2）平行于x轴的线段长不变，平行于

y轴的线段长减半•（3）直观图中的45度原图中就是90度，直观图中的9

0度原图一定不是90度•

3、表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧;③体积：V=S底h

⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底;②侧面积：S侧="/；③体积：V=：S底h:

（3）台体①表面积:S=S恻+S上底S下底②侧面积:S侧=]（r+r）/

⑷球体：①表面积：S=4#；②体积：V=g或3

4、位置关系的证明（主要方法）：注意立体几何证明的书写

（1）直线与平面平行：①线线平行n线面平行；②面面平行n线面平行。

（2）平面与平面平行：①线面平行n面面平行。

（3）垂直问题：线线垂直=线面垂直=面面垂直。核心是线面垂直：垂直

平面内的两条相交直线

5、求角：（步骤------1.找或作角；n.求角）

⑴异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形；

⑵直线与平面所成的角：直线与射影所成的角

二、主要思想与方法

1-计算问题：

（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算

异面直线所成的角范围：0。</90。方法：①平移法；②补形法.

直线与平面所成的角范围：0°<^<90°方法：关键是作垂线，找射影.

二面角方法：①定义法；②三垂线定理和其逆定理；③垂面法.

注：二面角的计算也可利用射影面积公式S二父。s分计算

（2）空间距离：两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两

条平行线间的距离、两条异面直线间的距离、平面的平行直线与平面之间的距

离、两个平行平面之间的距离.

七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七

种距离之间有密切联系•有些可以相互转化•如两条平行线的距离可转化为求

点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面

的距离.

在七种