2024-2025学年高中数学选择性必修 第三册人教A版（2019）教学设计合集

2024-2025学年高中数学选择性必修第三册人教A版（2019）教学设计合集目录一、第六章计数原理 1.16.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.26.2排列与组合 1.36.3二项式定理 1.4本章复习与测试二、第七章随机变量及其分布 2.17.1条件概率与全概率公式 2.27.2离散型随机变量及其分布列 2.37.3离散型随机变量的数字特征 2.47.4二项分布与超几何分布 2.57.5正态分布 2.6本章复习与测试三、第八章成对数据的统计分析 3.18.1成对数据的相关关系 3.28.2一元线性回归模型及其应用 3.38.3列联表与独立性检验 3.4本章复习与测试第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：高中数学选择性必修第三册人教A版（2019）第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2023年10月15日

4.教学时数：1课时核心素养目标分析本节课的核心素养目标旨在培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。通过学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理，学生能够理解和运用基本的计数方法，提高解决实际问题的能力。同时，通过问题探究和数学建模，学生将发展数据分析观念，培养解决复杂问题的策略，以及运用数学知识进行推理、证明和解决问题的高级思维能力。学习者分析1.学生已经掌握了基本的数学运算规则和简单的逻辑推理方法，对初中阶段的排列组合有了初步的认识，能够解决一些基础计数问题。

2.高一学生具有较强的学习兴趣，对新鲜事物充满好奇，具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力。他们倾向于通过实际问题来理解和学习数学知识，喜欢互动式和探究式的学习方式。

3.学生在学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理时可能遇到的困难和挑战包括：对于原理的理解不够深刻，容易混淆分类与分步的概念；在实际应用中，对于复杂问题的分析能力不足，难以准确识别分类或分步的情况；以及在解决问题时，对于如何运用原理进行逻辑推理和计算存在障碍。教学资源-人教A版高中数学选择性必修第三册教材

-教学PPT

-数学练习册

-黑板和粉笔

-白板和可擦笔

-投影仪

-教学模型或实物道具（如计数棒等）

-学生小组讨论指南

-课堂反馈问卷教学流程1.导入新课（5分钟）

详细内容：以一个生活中的实例引入，比如询问学生如果他们要组织一个包括篮球、足球、排球三个项目的运动会，每个项目都需要多少支球队参加，以此来激发学生对分类加法计数原理的兴趣。通过这个实例，引导学生思考如何计算总共有多少支球队。

2.新课讲授（15分钟）

详细内容：

-讲解分类加法计数原理，通过几个简单的例子，如集合的并集计数，让学生理解当事件之间是互斥时，如何计算总的可能情况数。

-介绍分步乘法计数原理，通过举例说明当一个事件的发生可以分成几个步骤，且每个步骤之间是独立的，如何计算总的可能情况数。

-对比分类加法计数原理和分步乘法计数原理，强调它们之间的区别和适用条件。

3.实践活动（10分钟）

详细内容：

-让学生独立完成一些基础练习题，巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解。

-提供一些实际问题，让学生尝试应用这两个原理来解决问题，如计算组合旅行路线的可能数量。

-让学生讨论并解答一些涉及多个步骤或分类的计数问题，如计算一场比赛中所有可能的得分组合。

4.学生小组讨论（10分钟）

详细内容举例回答：

-让学生分组讨论以下问题：“如何区分分类加法计数原理和分步乘法计数原理的使用场景？”每组分享一个实际例子，并解释为什么选择使用该原理。

-讨论问题：“在解决实际计数问题时，可能会遇到哪些困难？如何克服？”每组列出至少两个困难点，并提出解决策略。

-讨论问题：“如果遇到一个问题同时需要使用分类加法和分步乘法计数原理，应该如何操作？”每组提供一个复合问题的例子，并展示解题步骤。

5.总结回顾（5分钟）

详细内容：回顾本节课的重点，即分类加法计数原理和分步乘法计数原理的定义、适用条件和如何应用。通过一个简短的问题来检验学生的理解，例如：“如果我们要计算一个包含四个不同项目的运动会的总参赛队伍数，我们应该使用哪个原理？为什么？”最后强调这两个原理在解决实际问题中的重要性，并鼓励学生在日常生活中尝试应用这些原理。教学资源拓展1.拓展资源：

-拓展阅读：介绍《离散数学》中与计数原理相关的章节，让学生了解计数原理在更广泛数学领域中的应用。

-在线课程：推荐一些优质的在线教育资源，如MOOC平台上的《概率论与数理统计》课程，其中包含了对计数原理的深入讲解。

-数学竞赛题目：提供一些历届数学竞赛中的计数问题题目，这些题目往往具有挑战性，能够帮助学生提升解题能力。

-数学软件工具：介绍如Mathematica、MATLAB等数学软件中与计数原理相关的功能，这些工具可以帮助学生更直观地理解计数问题。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读《离散数学》中关于排列组合的章节，以加深对计数原理的理解，并探索其在计算机科学中的应用。

-建议学生参与在线课程的学习，通过视频讲解和在线练习，巩固和扩展课堂所学知识。

-鼓励学生尝试解决数学竞赛中的计数问题，这些问题往往需要创造性的思考和深入的理解，能够有效提升学生的逻辑推理能力。

-推荐学生使用数学软件工具来模拟和解决复杂的计数问题，这些工具可以帮助学生更直观地看到计数过程，并验证自己的计算结果。

-建议学生收集生活中的计数问题实例，尝试应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理来解决，将理论知识与实际应用相结合。

-鼓励学生组成学习小组，定期讨论计数原理的相关问题，通过合作学习，共同提高解题技巧和思维能力。

-提醒学生在学习过程中注意总结和归纳，形成自己的知识体系，以便在解决新问题时能够快速准确地应用相关原理。

-建议学生关注数学相关的学术期刊和杂志，了解计数原理在最新科学研究中的应用和发展趋势。板书设计①分类加法计数原理

-重点知识点：互斥事件、分类计数

-重点词汇：互斥、分类、总数

②分步乘法计数原理

-重点知识点：独立事件、分步计数

-重点词汇：独立、分步、乘积

③原理应用与区别

-重点知识点：原理适用条件、原理转换

-重点词汇：适用条件、转换、区别课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《离散数学导论》中关于排列组合的章节，深入了解排列组合的基本概念和性质。

-视频资源：在线教育平台上的“计数原理在实际问题中的应用”系列视频，观看后能够理解计数原理在现实生活中的应用。

2.拓展要求：

-学生在课后选择阅读材料中的相关章节，重点理解排列组合的概念，如排列数、组合数、多重集合的排列组合等，并尝试解决课后习题。

-观看视频资源，记录下视频中提到的计数原理在实际问题中的具体应用案例，思考这些案例如何与课堂所学知识相结合。

-鼓励学生自主寻找生活中的计数问题，尝试运用本节课学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行解答，并撰写解题报告。

-教师在课后提供线上答疑时间，学生可以在此期间提出在自主学习过程中遇到的问题，教师提供必要的指导和帮助。

-学生在完成拓展阅读和视频学习后，应向教师提交一份学习总结，包括对阅读材料的理解、视频内容的收获以及在实际问题中应用计数原理的体会。

-教师可根据学生的学习总结，提供个性化的学习建议，帮助学生进一步提升数学素养和解决问题的能力。反思改进措施（一）教学特色创新

1.引入实际生活中的案例，让学生能够将抽象的计数原理与具体情境相结合，增强学习的直观性和实用性。

2.采用小组合作学习的方式，鼓励学生在讨论中互相学习，培养团队合作精神和批判性思维能力。

（二）存在主要问题

1.在教学组织方面，课堂时间分配不够合理，导致学生在实践活动中的时间不足，难以充分消化吸收知识。

2.在教学方法上，可能过于依赖讲授，学生的参与度和互动性有待提高，以更好地促进学生的主动学习。

3.在教学评价方面，评价方式较为单一，未能充分考虑到学生的个性化差异，评价结果可能不够全面。

（三）改进措施

1.优化课堂时间分配，确保实践活动的时间充足，让学生有足够的时间进行操作和实践，加深对计数原理的理解。

2.多采用互动式和探究式的教学方法，如提问、讨论、案例研究等，激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和互动性。

3.多元化评价方式，结合学生的课堂表现、作业完成情况、小组讨论贡献等方面进行全面评价，以更客观地反映学生的学习成果。

4.针对不同学生的学习风格和需求，提供个性化的辅导和支持，如课后辅导、在线答疑等，帮助学生克服学习中的困难。

5.加强与学生的沟通，了解他们在学习过程中的困惑和需求，及时调整教学策略，提高教学效果。

6.探索与实际生活的更多结合点，让学生能够将所学知识应用到实际生活中，提高学生的数学应用能力和解决问题的能力。第六章计数原理6.2排列与组合授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容高中数学选择性必修第三册人教A版（2019）第六章计数原理6.2排列与组合，主要包括以下内容：

1.排列的概念和排列数的计算公式。

2.组合的概念和组合数的计算公式。

3.排列与组合的区别与联系。

4.排列与组合的应用实例，包括但不限于：

-容斥原理在排列与组合中的应用。

-抽屉原理在排列与组合中的应用。

-排列与组合在实际问题中的应用，如事件的可能性分析、概率计算等。核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要包括：

1.逻辑推理能力的培养，通过排列与组合的概念理解及计算公式的推导，训练学生的逻辑推理和数学抽象能力。

2.数学建模能力的提升，通过实际问题中的排列与组合问题分析，培养学生的数学建模和问题解决能力。

3.数据分析观念的形成，通过排列与组合在实际问题中的应用，培养学生的数据分析观念和运用数学知识解决实际问题的能力。

4.数学应用意识的增强，通过排列与组合的应用实例，提高学生将数学知识应用于生活和科学研究中的意识。教学难点与重点1.教学重点

-排列数和组合数的计算公式：理解排列数公式\(A_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}\)和组合数公式\(C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)是本节课的核心内容。教师需要通过实例讲解，让学生掌握如何根据问题情境选择合适的公式进行计算，例如计算从5名球员中选出3名首发球员的不同排列方式数量，以及选出3名球员的不同组合方式数量。

-排列与组合的应用：将排列与组合的概念应用于实际问题中，如计算彩票中奖概率、安排比赛日程等，是本节课的教学重点。教师应通过具体的案例演示如何将抽象的排列与组合理论转化为解决具体问题的工具。

2.教学难点

-区分排列与组合：学生容易混淆排列与组合的概念，不清楚何时用排列数公式，何时用组合数公式。例如，在计算班级学生站队拍照的不同站法时，如果顺序重要，则使用排列数公式；如果顺序不重要，则使用组合数公式。

-容斥原理的应用：容斥原理在排列与组合问题中的应用是学生理解的难点，尤其是在处理包含多个条件的问题时，如何正确使用容斥原理来避免重复计数和遗漏计数是学生需要克服的难点。例如，计算一个班级中不参加篮球、足球、排球中至少一项运动的学生人数，需要用到容斥原理。

-复杂问题的建模：在实际问题中，如何将问题转化为排列与组合的数学模型，是学生面临的另一个难点。例如，计算在一个有多个约束条件的复杂情况下，如何构建排列与组合模型来求解问题，需要学生具备较强的建模能力。教学资源准备1.教材：确保每位学生都配备了《高中数学选择性必修第三册人教A版（2019）》教材，以便于学生跟随课堂进度自主学习。

2.辅助材料：准备相关的PPT课件，包含排列与组合的基本概念、公式推导、例题演示及练习题，以及相关的视频资源，帮助学生直观理解排列与组合的应用。

3.实验器材：无需特殊实验器材。

4.教室布置：将教室环境布置为易于学生讨论和分享的布局，无需特殊实验操作台。确保教室内的黑板和投影设备工作正常，以便于展示PPT和板书讲解。教学过程一、导入新课

1.同学们，大家好！今天我们将继续学习计数原理这一章的内容。在前一节课中，我们学习了排列的概念和排列数的计算公式。那么，什么是组合呢？它与排列有什么不同之处呢？今天我们就来学习排列与组合的相关知识。

二、探究排列与组合的概念

1.首先，我们来看排列的概念。请大家翻开教材第88页，阅读排列的定义。排列指的是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列的过程。请大家思考一下，排列中的顺序重要吗？为什么？

2.现在，我们来讨论组合的概念。请大家阅读教材第89页组合的定义。组合指的是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，但与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。请大家举例说明排列与组合的区别。

三、学习排列数和组合数的计算公式

1.现在我们来学习排列数的计算公式。请大家看教材第90页的公式6.2.1。排列数公式为\(A_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}\)。这里，n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。请大家跟着我在黑板上推导一下这个公式的来源。

2.接下来，我们学习组合数的计算公式。请大家看教材第91页的公式6.2.2。组合数公式为\(C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)。这个公式与排列数公式相似，但多了一个r!的除数。请大家思考一下，为什么要有这个r!？

3.现在，我们来做一些练习题，巩固一下排列数和组合数的计算方法。请大家完成教材第92页的练习题1和2。

四、排列与组合在实际问题中的应用

1.我们已经学习了排列数和组合数的计算方法，那么在实际问题中如何应用呢？请大家看教材第93页的例题6.2.1。这是一个关于排列的实际问题，请大家跟随我在黑板上一起分析并解答这个问题。

2.现在，我们来看一个关于组合的实际问题。请大家看教材第94页的例题6.2.2。这个问题涉及到组合数的应用，请大家尝试独立解答，并在解答过程中思考：为什么这个问题要用组合数公式来解决？

3.接下来，我们来进行一些小组讨论。请大家分成小组，完成教材第95页的练习题3和4。在讨论过程中，注意理解排列与组合在实际问题中的应用，并尝试总结一些解题技巧。

五、突破教学难点

1.在学习排列与组合的过程中，同学们可能会遇到一些难点。首先，我们来讨论如何区分排列与组合。请大家回顾一下我们之前学习的定义，以及排列数和组合数公式的区别。通过对比，我们可以更好地理解排列与组合的区别。

2.另一个难点是容斥原理在排列与组合问题中的应用。请大家看教材第96页的例题6.2.3。这个问题涉及到容斥原理的应用，我将带领大家一步一步地分析并解答这个问题。解答过程中，注意理解容斥原理的思路和步骤。

3.最后，我们来讨论复杂问题的建模。请大家看教材第97页的例题6.2.4。这个问题要求我们将实际问题转化为排列与组合的数学模型。我将指导大家如何进行建模，并解答这个问题。

六、总结与反思

1.经过今天的学习，我们掌握了排列与组合的概念、排列数和组合数的计算公式，以及它们在实际问题中的应用。现在，请大家回顾一下我们今天学习的内容，并分享一下你的收获和感悟。

2.在学习过程中，你是否遇到了什么困难？如果有，请提出来，我们一起来讨论解决方法。

3.最后，我想请大家思考一个问题：排列与组合的知识在日常生活中有哪些应用？请大家课后收集一些相关的例子，下节课我们一起分享。

七、布置作业

1.请大家完成教材第98页的练习题5和6，巩固排列与组合的计算方法。

2.收集一些关于排列与组合在实际问题中应用的例子，下节课分享。

3.预习教材第99页的内容，了解排列与组合的进一步应用。

今天的课程就到这里，希望大家能够在课后认真复习，加强练习，不断提高自己的数学素养。下节课我们将继续学习计数原理这一章的内容。谢谢大家！教学资源拓展1.拓展资源

-本节课我们学习了排列与组合的基本概念和计算方法，为了加深同学们对这部分内容的理解，可以拓展学习以下内容：

-排列与组合在概率论中的应用，如概率的计算、事件的独立性等。

-容斥原理的更多应用实例，包括多集合反向问题和复杂事件的计数问题。

-排列与组合在实际生活中的应用，如密码设置、抽奖概率计算、任务分配等。

-数学建模中排列与组合的应用，如何将实际问题转化为数学模型并进行求解。

-数学竞赛中常见的排列与组合问题，以及解题策略和技巧。

2.拓展建议

-阅读拓展材料：鼓励同学们课后阅读与排列组合相关的数学书籍或文章，如《概率论与数理统计》、《离散数学》中关于排列组合的章节，以加深理论知识的理解。

-实际案例分析：收集一些实际生活中的案例，如彩票中奖概率分析、运动会比赛日程安排等，尝试运用排列组合的知识进行求解。

-练习题目汇编：整理一些数学竞赛或高考中出现的排列组合难题，组织同学们进行讨论和解答，提高解题能力。

-小组研究项目：分组进行排列组合相关的小组研究项目，如研究特定类型问题的解题策略、探索排列组合在特定领域的应用等，培养团队合作和探究能力。

-观看教学视频：推荐同学们观看一些在线教育平台上的排列组合教学视频，如KhanAcademy、Coursera等，以不同的教学方式巩固知识点。

-数学日记：鼓励同学们写数学日记，记录自己在学习排列组合过程中的思考、困惑和感悟，促进自我反思和知识内化。

-学术讲座：如果有条件，可以组织同学们参加大学或研究机构的数学学术讲座，了解排列组合在更高层次数学研究中的应用和发展。

-学术竞赛：鼓励对数学有浓厚兴趣的同学参加数学竞赛，如全国中学生数学奥林匹克竞赛、美国数学竞赛等，通过竞赛锻炼自己的数学思维能力。

-日常生活应用：在日常生活中，鼓励同学们尝试用排列组合的知识解决实际问题，如安排假期旅行计划、设计实验方案等，将数学知识应用到实际生活中。课堂1.课堂评价

-提问环节：在课堂教学中，我会通过提问的方式来检查学生对排列与组合概念的理解程度。例如，我会随机挑选学生，让他们解释排列与组合的区别，或者推导排列数和组合数的计算公式。通过学生的回答，我可以判断他们对知识点的掌握情况。

-观察环节：在小组讨论或练习时，我会观察学生的参与程度和合作效果。我会注意学生是否能够正确运用排列与组合的知识解决问题，以及他们是否能够有效地与同伴交流思路和方法。

-测试环节：在课程结束时，我会安排一次小测验，以测试学生对本节课内容的掌握程度。测验将包括一些选择题、填空题和解答题，涵盖排列与组合的基本概念、计算方法以及实际应用。

-问题解决：如果发现学生在理解或应用上存在困难，我会及时进行个别辅导或小组讲解，确保每个学生都能够跟上教学进度。

2.作业评价

-批改作业：我会认真批改学生的作业，检查他们对排列与组合知识点的运用是否准确，是否存在常见的错误，如混淆排列与组合的概念、错误使用计算公式等。

-点评反馈：在批改作业后，我会对学生的作业进行点评，指出他们的优点和需要改进的地方。我会特别强调正确的解题步骤和思路，以及如何避免常见的错误。

-鼓励进步：对于作业完成得好的学生，我会给予表扬和鼓励，以激励他们继续保持学习的热情。对于作业有进步的学生，我也会给予肯定，鼓励他们继续努力。

-反馈交流：我会定期与学生进行作业反馈交流，了解他们在完成作业过程中的困惑和问题，并提供相应的指导和帮助。

-个性化建议：针对每个学生的具体情况，我会提供个性化的学习建议，如加强练习、参与课外学习小组、观看教学视频等，帮助他们提高学习效果。内容逻辑关系①排列与组合的概念区分

-重点知识点：排列与组合的定义、区别和联系。

-重点词：排列、组合、顺序、无顺序。

②排列数和组合数的计算公式

-重点知识点：排列数公式\(A_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}\)和组合数公式\(C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)的推导和记忆。

-重点词：阶乘、分子、分母、减法原理。

③排列与组合在实际问题中的应用

-重点知识点：排列与组合在实际问题中的识别、建模和求解。

-重点词：实际问题、模型、求解、应用。教学反思与总结今天我们完成了排列与组合这一节课的教学，我对整个教学过程进行了深入的反思，也对学生的学习效果进行了总结。

在教学方法上，我觉得有一些成功的地方。我尽量通过提问和互动来激发学生的思考，让他们在实际问题中发现排列与组合的应用。比如，我在讲解排列数和组合数的计算公式时，引导学生通过实际例子来理解公式背后的原理，这样的教学方法让学生更容易理解和接受。同时，我也鼓励学生进行小组讨论，这样可以提高他们的合作能力和沟通能力。

然而，在教学策略上，我也发现了一些不足。例如，在讲解排列与组合的区别时，我觉得可能没有讲得足够透彻，导致部分学生在理解上还存在困惑。此外，我在课堂上的提问可能还不够广泛，没有覆盖到所有学生，这可能使得一些学生没有机会参与到课堂互动中来。

在课堂管理方面，我觉得整体上是有效的。学生们都能遵守纪律，积极参与讨论。但是，我也注意到，在小组讨论环节，有些小组的讨论声音过大，可能会影响到其他小组的学习。我需要加强对课堂纪律的管理，确保每个学生都能在良好的学习环境中学习。

在教学总结方面，我认为学生们在知识上有了明显的收获。他们能够理解排列与组合的概念，掌握了排列数和组合数的计算方法，并且能够将这些知识应用到实际问题中。在技能上，学生的逻辑思维能力和问题解决能力也有所提高。在情感态度上，学生们对数学学习的兴趣和积极性有所增强，他们能够主动参与到课堂活动中来。

尽管如此，我也发现了一些需要改进的地方。首先，我需要更加深入地讲解排列与组合的区别，可能需要更多的实例来帮助学生理解。其次，我需要调整提问的方式，确保每个学生都有机会参与到课堂互动中来。最后，我需要加强对课堂纪律的管理，确保课堂环境对每个学生都是友好的。

针对这些问题和不足，我计划采取以下改进措施：首先，我会在下一节课中专门安排时间来复习排列与组合的区别，并通过更多的实例来加深学生的理解。其次，我会调整课堂提问的策略，确保每个学生都能被涉及到。最后，我会更加注重课堂纪律的管理，确保课堂环境对每个学生都是有益的。课后作业1.某班有5名男生和4名女生，要从中选出3名学生参加数学竞赛，求不同的选法数量。

答案：这是一个组合问题，选法数量为\(C_{9}^{3}=84\)种。

2.从5个不同的红球和3个不同的蓝球中，任取2个红球和1个蓝球，求不同的取法数量。

答案：这是一个排列问题，取法数量为\(A_{5}^{2}\timesA_{3}^{1}=30\)种。

3.某城市有8条公交线路，一个人要乘坐这8条线路中的任意3条线路，求不同的乘坐路线数量。

答案：这是一个组合问题，乘坐路线数量为\(C_{8}^{3}=56\)种。

4.从5个不同的字母中，任选3个字母组成一个三位数，求不同的三位数数量。

答案：这是一个排列问题，三位数数量为\(A_{5}^{3}=60\)种。

5.某班级有6名男生和4名女生，要从中选出3名男生和2名女生参加文艺演出，求不同的选法数量。

答案：这是一个组合问题，选法数量为\(C_{6}^{3}\timesC_{4}^{2}=120\)种。第六章计数原理6.3二项式定理授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：高中数学选择性必修第三册人教A版（2019）第六章计数原理6.3二项式定理

2.教学年级和班级：高二年级（10班）

3.授课时间：2023年10月20日，第3节

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标分析本节课旨在培养学生的逻辑思维能力和数学抽象能力，通过理解和运用二项式定理，发展学生的问题解决能力和数学建模素养。学生将学会运用二项式定理解决实际问题，提高推理和证明能力，同时培养数据分析观念，能够在复杂的数学问题中发现规律，形成系统的数学思维方法。重点难点及解决办法重点：

1.二项式定理的基本公式及其推导过程。

2.二项展开式中各项系数的计算方法。

3.二项式定理在实际问题中的应用。

难点：

1.理解二项式定理的推导过程，尤其是组合数的引入和运用。

2.二项展开式中项的排列规律和系数的快速计算。

解决办法：

1.通过直观的例子引入二项式定理，如展开式的具体实例，让学生观察并发现规律。

2.详细讲解组合数的概念，通过实例说明组合数与二项式系数的关系，引导学生理解二项式定理的推导。

3.利用多媒体教学工具，展示二项展开式的动态生成过程，帮助学生理解项的排列规律。

4.通过练习题巩固学生对二项式定理的理解，指导学生使用数学软件或手工计算方法，提高计算效率。

5.针对应用题，引导学生分析问题，建立模型，运用二项式定理解决问题，培养实际应用能力。教学方法与策略1.采用讲授与引导发现相结合的方法，通过讲解二项式定理的基本概念和公式，引导学生发现和总结规律。

2.设计小组讨论活动，让学生合作解决二项式定理的应用问题，增强互动和合作能力。

3.利用案例研究，分析经典例题，让学生在实际问题中运用二项式定理，培养解决问题的能力。

4.教学媒体使用上，结合PPT展示和板书教学，以及在线计算工具，提高教学效率和学生的学习兴趣。教学过程1.导入（约5分钟）

激发兴趣：通过提出一个有趣的问题，如“你能预测一枚硬币连续抛掷多次得到正面和反面的概率吗？”来吸引学生的注意力。

回顾旧知：回顾之前学过的组合数公式和多项式乘法，为引入二项式定理打下基础。

2.新课呈现（约30分钟）

讲解新知：详细讲解二项式定理的定义、公式及其推导过程，强调二项式系数与组合数的关系。

举例说明：通过具体的数值例子，如展开式的计算，展示二项式定理的应用。

互动探究：引导学生通过小组讨论，探究二项式定理在不同问题中的应用，如概率计算、多项式展开等。

3.巩固练习（约10分钟）

学生活动：让学生独立或小组完成一些练习题，包括直接应用二项式定理计算展开式的特定项、系数等。

教师指导：在学生练习过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，确保学生对知识的理解和掌握。

4.应用拓展（约15分钟）

案例分析：给出一些实际问题的案例，让学生尝试运用二项式定理解决问题，如市场调查中的概率计算等。

小组讨论：学生分组讨论案例解决方案，分享思路和计算过程，互相学习。

5.总结反馈（约5分钟）

总结知识：教师总结本节课的主要知识点，强调二项式定理在实际应用中的重要性。

反馈评价：教师收集学生的反馈，评价学生的学习效果，鼓励学生在课后继续学习和探索。

6.作业布置（约5分钟）

布置作业：根据学生的学习情况，布置适量的作业，包括理论题和实际问题题，以巩固课堂所学。

作业指导：教师提供作业完成的建议和指导，帮助学生更好地完成作业。拓展与延伸1.推荐阅读材料：

-《高等数学》中关于多项式定理的进一步讨论。

-《组合数学》中关于组合数和二项式系数的深入分析。

-《概率论与数理统计》中二项式定理在概率计算中的应用案例。

2.课后自主学习和探究建议：

-研究二项式定理在数学竞赛中的应用，分析竞赛题目中的解题技巧。

-探索二项式定理在物理学、计算机科学等领域的应用实例，如量子计算中的概率分布。

-尝试编写程序或使用数学软件，如Mathematica或MATLAB，来模拟二项式定理的应用，如模拟抛硬币实验。

-分析二项式定理在经济学中的运用，例如在预测市场变化或消费者行为时。

-深入研究二项式系数的性质，如对称性、递推关系等，并尝试证明这些性质。

-阅读和研究相关数学期刊中的论文，了解二项式定理的最新研究进展和应用案例。

-参加数学俱乐部或研讨会，与其他同学交流二项式定理的学习心得和应用经验。

-通过网络资源，如在线教育平台或数学论坛，寻求更多关于二项式定理的学习材料和问题解答。

-结合实际生活中的问题，设计一些小项目，运用二项式定理进行数据分析和预测。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在教学过程中，我尝试通过实际案例引入二项式定理，让学生感受到数学与生活的紧密联系，增强了学生的学习兴趣。

2.利用信息技术，如在线计算工具和多媒体教学，使得抽象的二项式定理变得直观易懂，提高了教学效率。

3.设计小组合作活动，鼓励学生互相交流，通过讨论和探究加深对二项式定理的理解。

（二）存在主要问题

1.在教学管理上，课堂纪律维护有待加强，部分学生参与度不高，影响了整体的教学效果。

2.在教学方法上，可能过于依赖讲授，学生的主动参与和探索不足，导致学生对知识点的理解不够深入。

3.在教学评价上，评价方式较为单一，未能充分反映学生的实际学习情况。

（三）改进措施

1.对于教学管理，我将采取更有效的课堂管理策略，如设置课堂规则，及时给予学生反馈，提高学生的课堂参与度。

2.在教学方法上，我会增加学生动手操作的机会，如通过实验、游戏等形式，让学生在实践中学习二项式定理，提高学生的参与度和兴趣。

3.对于教学评价，我将采用多元化的评价方式，包括课堂表现、作业完成情况、小组讨论表现等，以更全面地评估学生的学习效果。

4.我还会定期反思自己的教学方法和学生的学习情况，根据反馈调整教学策略，确保教学内容与学生的实际需求相匹配。

5.加强与学生的沟通，了解他们的学习困惑和需求，提供个性化的辅导和支持，帮助学生更好地理解和掌握二项式定理。课后作业1.题目：利用二项式定理展开下列多项式，并找出展开式中项的次数最高的项。

(a)(x+3)^4

(b)(2x-y)^5

答案：

(a)展开式为x^4+12x^3*3+90x^2*3^2+270x*3^3+405*3^4

其中项的次数最高的项是x^4。

(b)展开式为32x^5-80x^4*y+80x^3*y^2-40x^2*y^3+10x*y^4-y^5

其中项的次数最高的项是32x^5。

2.题目：计算下列二项式展开式中x^2的系数。

(a)(x+2)^5

(b)(x-1/2)^6

答案：

(a)x^2的系数为C(5,3)*2^3=10*8=80

(b)x^2的系数为C(6,4)*(-1/2)^4=15*1/16=15/16

3.题目：使用二项式定理计算(3+4i)^4展开式中的实部和虚部。

答案：展开式为(3+4i)^4=81+216i+540-640i+960i^2-256i^3+256i^4

实部为81+540+960=1581

虚部为216-640-256=-380

4.题目：已知(1+x)^10的展开式中，x^3的系数是a，求(1-x)^10展开式中x^3的系数。

答案：由二项式定理，(1+x)^10展开式中x^3的系数为C(10,3)=a

则(1-x)^10展开式中x^3的系数为C(10,3)*(-1)^3=-a

5.题目：利用二项式定理证明下列恒等式：

(a)(1+2)^5=1+5*2+10*2^2+10*2^3+5*2^4+2^5

(b)(1-3)^6=1-6*3+15*3^2-20*3^3+15*3^4-6*3^5+3^6

答案：

(a)左边=(1+2)^5=3^5=243

右边=1+5*2+10*2^2+10*2^3+5*2^4+2^5=243

左边=右边，恒等式成立。

(b)左边=(1-3)^6=(-2)^6=64

右边=1-6*3+15*3^2-20*3^3+15*3^4-6*3^5+3^6=64

左边=右边，恒等式成立。第六章计数原理本章复习与测试学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计思路本节课旨在通过梳理与整合高中数学选择性必修第三册人教A版（2019）第六章计数原理的核心内容，帮助学生巩固理解排列组合的基本概念和计数原理，提高解题能力和逻辑思维。课程设计将围绕本章重点、难点进行，通过实例讲解、课堂互动、练习巩固等环节，使学生能够熟练掌握计数原理的应用，为后续学习打下坚实基础。同时，结合课本例题和测试题，检验学生的学习效果，指导学生进行有效复习。核心素养目标重点难点及解决办法重点：理解排列组合的概念、掌握计数原理的应用、灵活运用排列数和组合数的计算公式。

难点：区分排列与组合的区别、解决实际问题时正确运用计数原理、复杂问题的解题策略。

解决办法：

1.通过具体实例讲解排列组合的定义，帮助学生直观理解概念。

2.利用图形、表格等形式展示排列数和组合数的计算过程，强化公式应用。

3.通过课堂互动，引导学生讨论实际问题，培养其运用计数原理解题的能力。

4.对复杂问题进行分解，逐步引导学生分析问题、列出解题步骤，培养逻辑思维。

5.设计针对性练习题，帮助学生巩固知识点，及时发现并解决学生在解题中的疑惑。教学资源准备1.教材：确保每位学生配备《高中数学选择性必修第三册人教A版（2019）》教材。

2.辅助材料：准备计数原理相关的PPT课件、例题练习题及答案。

3.教学工具：准备黑板、粉笔、投影仪等基本教学工具，以及用于展示例题的幻灯片。

4.教室布置：合理安排座位，确保学生能清晰看到投影内容，预留足够空间进行小组讨论。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对计数原理的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们在生活中有没有遇到过需要计数的情况？计数原理是什么？”

展示一些关于排列组合的实际应用图片或视频片段，让学生初步感受计数原理在实际生活中的应用。

简短介绍计数原理的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.计数原理基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解计数原理的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解计数原理的定义，包括排列、组合的概念。

详细介绍排列数和组合数的计算公式，使用板书或PPT展示公式推导过程。

3.计数原理案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解计数原理的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的计数原理案例进行分析，如彩票中奖概率、实验设计等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解计数原理的应用领域。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用计数原理解决实际问题。

小组讨论：让学生分组讨论计数原理在实际应用中的发展或改进方向，并提出创新性的想法或建议。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与计数原理相关的实际问题进行深入讨论。

小组内讨论该问题的解决方法，如何运用计数原理进行有效计算。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对计数原理的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括问题的解决方法和计数原理的应用。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调计数原理的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括计数原理的基本概念、案例分析等。

强调计数原理在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用计数原理。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于计数原理在实际生活中的应用的短文或报告，以巩固学习效果。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）拓展排列组合的概念，介绍排列组合在计算机科学、统计学等领域中的应用。

（2）介绍排列数和组合数的计算公式推导过程，以及它们在解决实际问题时的作用。

（3）分享一些经典的计数原理问题，如错位排列、抽屉原理等，让学生感受计数原理的趣味性和实用性。

（4）介绍计数原理在现实生活中的应用，如彩票中奖概率、排队论等。

2.拓展建议：

（1）鼓励学生阅读相关书籍，如《计数原理与应用》、《概率论与数理统计》等，以加深对计数原理的理解。

（2）引导学生参加数学竞赛，如数学奥林匹克竞赛、高中数学联赛等，提高学生运用计数原理解决问题的能力。

（3）让学生关注计数原理在生活中的应用，尝试用计数原理解释现实生活中的现象，提高学生的实践能力。

（4）鼓励学生参加数学建模活动，将计数原理应用于实际问题中，锻炼学生的团队协作和创新能力。

（5）引导学生利用网络资源，如在线教育平台、数学论坛等，与他人交流学习计数原理的心得体会，拓宽知识视野。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在导入新课时表现出较高的兴趣，能够积极参与开场提问。在基础知识讲解环节，学生能够认真听讲，跟随教师的思路理解排列组合的概念和计数原理。在案例分析环节，学生能够积极思考，尝试将所学知识应用于实际问题。

2.小组讨论成果展示：

各小组在讨论环节能够积极合作，针对所选择的主题进行深入讨论。在成果展示环节，大部分小组能够清晰、有条理地表达自己的观点和解决方案，展示了良好的团队协作和表达能力。

3.随堂测试：

随堂测试题目设计合理，能够有效检验学生对本节课知识的掌握程度。测试结果显示，大部分学生对排列组合的基本概念和计数原理有了较好的理解，但部分学生在复杂问题的解答上仍存在困难。

4.课后作业：

学生完成的课后作业质量参差不齐。部分学生能够结合生活实际，运用计数原理进行深入分析；但也有部分学生作业完成情况较差，未能充分运用所学知识。

5.教师评价与反馈：

针对学生的课堂表现和作业完成情况，教师进行以下评价与反馈：

（1）对学生在课堂上的积极参与表示肯定，鼓励学生继续保持；

（2）对小组讨论成果展示中表现优秀的小组给予表扬，同时指出不足之处，提出改进建议；

（3）针对随堂测试结果，对成绩优秀的学生表示祝贺，对成绩不理想的学生进行个别辅导，帮助他们解决学习中遇到的问题；

（4）对课后作业完成情况进行总结，表扬优秀作业，对存在的问题提出改进意见；

（5）强调计数原理在实际生活中的应用价值，鼓励学生将所学知识应用于实际问题，提高实践能力。内容逻辑关系①计数原理的基本概念

-重点知识点：排列数、组合数的定义与区别

-重点词汇：排列、组合、事件、样本空间

②计数原理的计算公式

-重点知识点：排列数和组合数的计算公式推导及其应用

-重点词汇：排列数公式、组合数公式、阶乘

③计数原理在实际问题中的应用

-重点知识点：计数原理在解决实际问题时的策略与技巧

-重点词汇：实际问题、模型构建、解题步骤课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《概率论与数理统计》中关于排列组合的章节，以及《数学通报》等杂志上发表的相关论文。

-视频资源：网易公开课、腾讯课堂等平台上关于排列组合的教学视频，以及相关的数学讲座。

2.拓展要求：

-鼓励学生在课后阅读《概率论与数理统计》中关于排列组合的章节，以加深对排列组合基本概念的理解，并掌握相关的计算方法。

-观看教学视频，通过视频中的例题讲解，学习如何将排列组合的知识应用于实际问题中。

-学生可以选择阅读一篇相关的学术论文，了解排列组合在数学研究中的应用和最新进展。

-教师提供必要的指导和帮助，如推荐阅读材料、解答学生在自主学习和拓展过程中遇到的疑问。

-学生需撰写一篇短文，总结课后拓展学习的心得体会，以及在阅读材料和观看视频中的收获。

-鼓励学生将所学知识应用于解决实际问题，如设计一个简单的概率实验，运用排列组合原理进行分析和计算。

-学生之间可以相互交流学习心得，分享在拓展学习中的经验和技巧，以促进共同进步。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在导入环节，我尝试采用生活实例来引起学生的兴趣，例如通过讨论彩票中奖概率问题，让学生感受到计数原理的实际应用。

2.在案例分析环节，我引入了小组合作学习，鼓励学生通过团队协作来解决问题，这样可以提高学生的合作能力和解决问题的能力。

（二）存在主要问题

1.教学组织方面，我发现课堂时间分配不够合理，导致学生在小组讨论环节的时间紧张，无法深入探讨问题。

2.教学评价方面，随堂测试题目设计较为简单，未能充分检验学生对复杂问题的解决能力。

3.教学方法方面，我在讲解过程中可能过于侧重理论推导，而忽略了实际应用能力的培养。

（三）改进措施

1.对于教学组织的问题，我将在今后的课程中更加合理地规划课堂时间，确保小组讨论环节有充足的时间，让学生能够充分交流。

2.针对教学评价的问题，我将调整随堂测试题目的难度，增加一些综合性和应用性较强的题目，以更全面地评估学生的掌握情况。

3.在教学方法上，我将更多地结合实际应用案例进行教学，让学生在理解理论的同时，也能够掌握将理论应用于实际问题的方法。

4.我还将鼓励学生参与数学建模竞赛，通过解决实际问题来提高他们的计数原理应用能力。

5.为了增强学生的自主学习能力，我计划在课后提供更多拓展资源，引导学生进行自主学习，并在下一次课堂上分享他们的学习成果。

6.我将定期收集学生的反馈，了解他们在学习中的困惑和需求，以便及时调整教学策略，更好地满足学生的学习需求。第七章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教材分析高中数学选择性必修第三册人教A版（2019）第七章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式，主要介绍条件概率的定义、性质及计算方法，以及全概率公式的应用。本节课内容是概率论的基础知识，对于理解随机变量及其分布具有重要意义。通过学习本节课，学生能够掌握条件概率的计算方法和全概率公式的运用，为后续学习随机变量的分布打下基础。核心素养目标培养学生数据分析观念，提高逻辑思维能力和数学抽象能力。通过条件概率与全概率公式的学习，使学生能够运用数学语言描述现实世界中的不确定性现象，发展学生的数学建模素养，提高解决实际问题的能力。同时，培养学生独立思考、合作交流的意识，养成良好的学习习惯和数学思维品质。教学难点与重点1.教学重点

①条件概率的定义及其计算方法。

②全概率公式的理解与应用。

2.教学难点

①条件概率的理解，特别是在实际问题中如何确定条件概率的计算公式。

②全概率公式在不同类型问题中的具体应用，尤其是在复合事件中的运用。

③条件概率与全概率公式在实际生活中的实际意义，如何将理论应用到具体情境中。

④培养学生运用条件概率与全概率公式解决实际问题的能力，提高学生的数学建模水平。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的方式，先由教师讲解条件概率和全概率公式的概念，然后引导学生进行讨论，加深理解。

2.设计实际案例研究，让学生通过解决具体问题来应用条件概率和全概率公式，促进知识的内化。

3.使用多媒体工具展示概率模型，增强直观性，同时引入角色扮演和游戏活动，提高学生的学习兴趣和参与度。教学过程设计1.导入环节（5分钟）

-教师通过展示一个实际生活中的概率问题，例如：“一个袋子里有红球和白球，已知从中随机抽取一个球是红球的概率是1/2，如果已经知道第一次抽取的是红球，那么第二次抽取还是红球的概率是多少？”

-学生思考并尝试回答，教师引导学生提出条件概率的概念。

-教师总结导入，引出本节课的主题“条件概率与全概率公式”。

2.讲授新课（15分钟）

-教师讲解条件概率的定义，通过公式和实际例子让学生理解条件概率的计算方法。

-教师通过板书和多媒体展示全概率公式，并解释其应用场景。

-教师给出几个典型例题，逐步引导学生在实际问题中应用条件概率和全概率公式。

3.巩固练习（10分钟）

-教师给出几个练习题，让学生独立完成，以检验他们对新知识的理解和掌握。

-学生完成练习后，教师邀请几位学生上台展示解题过程，并对学生的解答进行点评和指导。

-教师针对学生的解答情况，进行针对性讲解，强化知识点。

4.课堂提问与师生互动（10分钟）

-教师提出问题：“在什么情况下我们会使用全概率公式？请举例说明。”

-学生分组讨论，每组选择一个场景进行说明，并分享给全班同学。

-教师总结学生的回答，强调全概率公式在解决实际问题中的重要性。

5.创新环节：案例分析（5分钟）

-教师提供一个复杂的实际问题，要求学生运用条件概率和全概率公式进行解决。

-学生分小组进行讨论，尝试建立模型并解决实际问题。

-教师邀请小组代表分享解决方案，并对学生的创新思路和模型建立给予评价。

6.总结与布置作业（5分钟）

-教师对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

-教师布置作业，要求学生在课后进一步练习条件概率和全概率公式的应用。

整个教学过程设计注重学生的参与和互动，通过实例分析和创新环节，激发学生的学习兴趣，同时紧扣实际学情，确保教学重难点的解决和核心素养能力的拓展。教学资源拓展1.拓展资源

-概率论的发展历史：介绍概率论的产生和发展过程，以及其在各个领域的应用。

-条件概率与全概率公式的实际应用案例：搜集生活中、工程中、经济学中的实际案例，展示条件概率与全概率公式的实际应用。

-概率论与统计学的关系：解释概率论与统计学之间的联系和区别，以及它们在数据分析中的作用。

-随机变量的概念扩展：介绍随机变量的定义、性质和分类，为后续学习随机变量的分布打下基础。

-概率论相关的数学软件应用：介绍如MATLAB、R语言等数学软件在概率论中的应用，以及如何使用这些软件进行概率计算和模拟。

2.拓展建议

-阅读拓展：推荐学生阅读《概率论及其应用》等经典教材，以及相关的数学杂志和论文，以加深对概率论的理解。

-实践拓展：鼓励学生参与概率论的实际应用项目，如数据统计分析、风险建模等，将理论知识与实践相结合。

-研究拓展：引导学生关注概率论在科学研究中的应用，如物理学、生物学、经济学等领域的研究，了解概率论如何帮助解决实际问题。

-网络资源：建议学生利用网络资源，如在线教育平台和数学论坛，与其他学习者交流和讨论概率论的相关问题。

-软件学习：鼓励学生学习使用概率论相关的数学软件，如MATLAB、R语言等，通过软件进行概率计算和模拟实验，增强对概率论的理解和应用能力。

-参加竞赛：鼓励学生参加数学竞赛或概率论相关的竞赛，如数学建模竞赛，通过竞赛锻炼自己的数学思维和解决问题的能力。板书设计①条件概率的定义与计算公式

-条件概率的定义

-条件概率的计算公式

②全概率公式

-全概率公式的内容

-全概率公式的应用场景

③实际案例分析

-案例描述

-应用条件概率和全概率公式解题的步骤

-解题结果与思考课堂1.课堂评价

-提问：在课堂讲解过程中，教师通过提问的方式检验学生对条件概率和全概率公式的理解程度，以及他们在实际问题中应用这些知识的能力。问题应设计成由浅入深，以便于不同水平的学生都能参与其中。

-观察：教师观察学生在课堂活动中的参与度，包括小组讨论、案例分析等，以及他们在解决问题时是否能够正确运用所学知识。

-测试：在课堂结束前，教师可以设计简短的测试，以选择题或填空题的形式，快速检测学生对本节课知识点的掌握情况。

2.作业评价

-批改：教师对学生的作业进行认真批改，关注学生对条件概率和全概率公式的运用是否准确，是否能独立完成作业，以及作业的整洁度和逻辑性。

-点评：在作业批改完成后，教师选择具有代表性的作业进行点评，指出学生的优点和不足，以及改进的方向。

-反馈：教师及时将作业评价反馈给学生，对于做得好的地方给予鼓励，对于需要改进的地方提出具体建议，帮助学生明确下一步的学习目标。

-鼓励：对于学生的进步和努力，教师应给予积极的鼓励，增强学生的自信心和学习的积极性。

-追踪：对于作业中反映出的问题，教师应进行追踪，通过后续的教学活动针对性地解决这些问题，确保学生能够真正掌握知识点。

3.定期评价

-阶段测试：在一段时间的学习后，教师应组织阶段测试，全面评估学生对条件概率和全概率公式的掌握程度，以及他们在解决实际问题中的能力。

-综合评价：教师结合学生的课堂表现、作业完成情况和阶段测试结果，给出综合评价，为学生的期末成绩评定提供依据。课后作业1.已知某地区有两种型号的手机A和B，其中型号A的手机占60%，型号B的手机占40%。在型号A的手机中，有70%是黑色，30%是白色；在型号B的手机中，有50%是黑色，50%是白色。如果从该地区随机抽取一部手机，发现是黑色的，求这部手机是型号A的概率。

答案：设事件A为抽取到型号A的手机，事件B为抽取到型号B的手机，事件C为抽取到黑色手机。根据全概率公式，P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.6*0.7+0.4*0.5=0.58。根据条件概率公式，P(A|C)=P(A)P(C|A)/P(C)=(0.6*0.7)/0.58≈0.724。

2.一个袋子里有5个红球和4个白球，随机取出两个球，第一次取出的是红球，不放回，求第二次取出仍然是红球的概率。

答案：设事件A为第一次取出红球，事件B为第二次取出红球。根据条件概率公式，P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。第一次取出红球的概率P(A)=5/9，第一次取出红球后第二次取出红球的概率P(A∩B)=4/8，所以P(B|A)=(4/8)/(5/9)=9/10。

3.一个工厂生产的产品中有10%是次品，90%是合格品。在合格品中有80%是一等品，20%是二等品。如果从工厂随机抽取一件产品，发现是合格品，求这件产品是一等品的概率。

答案：设事件A为抽取到合格品，事件B为抽取到一等品。根据条件概率公式，P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。合格品的概率P(A)=0.9，合格品中的一等品概率P(A∩B)=0.9*0.8=0.72，所以P(B|A)=0.72/0.9=0.8。

4.一个班级有男生和女生，男生占40%，女生占60%。已知男生中有70%喜欢打篮球，女生中有50%喜欢打篮球。如果随机选取一个喜欢打篮球的学生，求这个学生是男生的概率。

答案：设事件A为选取的学生是男生，事件B为选取的学生喜欢打篮球。根据全概率公式，P(B)=P(A)P(B|A)+P(¬A)P(B|¬A)=0.4*0.7+0.6*0.5=0.58。根据条件概率公式，P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)=(0.4*0.7)/0.58≈0.483。

5.有两个盒子，第一个盒子中有3个红球和2个蓝球，第二个盒子中有4个红球和1个蓝球。现在随机选择一个盒子，然后从该盒子中随机抽取一个球，发现是红球，求这个红球来自第一个盒子的概率。

答案：设事件A为选择第一个盒子，事件B为选择第二个盒子，事件C为抽取到红球。根据全概率公式，P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=(1/2*3/5)+(1/2*4/5)=0.5。根据条件概率公式，P(A|C)=P(A)P(C|A)/P(C)=(1/2*3/5)/0.5=3/5。第七章随机变量及其分布7.2离散型随机变量及其分布列主备人备课成员教学内容教材：高中数学选择性必修第三册人教A版（2019）

章节：第七章随机变量及其分布

节次：7.2离散型随机变量及其分布列

内容：

1.离散型随机变量的定义及性质；

2.离散型随机变量分布列的概念；

3.离散型随机变量分布列的求解方法；

4.常见的离散型随机变量分布列：两点分布、二项分布、泊松分布等；

5.离散型随机变量期望与方差的计算方法；

6.离散型随机变量分布列的应用实例。核心素养目标1.让学生理解离散型随机变量的概念，培养数据分析观念；

2.通过求解分布列，提高学生的逻辑推理能力；

3.培养学生运用数学模型解决实际问题的能力；

4.通过计算离散型随机变量的期望与方差，培养学生的数学抽象与数学建模素养；

5.增强学生对概率统计知识的兴趣，激发学生主动探究的精神。学情分析本节课的对象是高中选择性必修数学课程的学生，他们已经具备了一定的数学基础知识和逻辑思维能力。在知识方面，学生已经学习了随机事件的概率和简单的概率分布，对概率的基本概念有了初步的了解。在能力方面，学生具备了一定的计算能力和问题解决能力，但可能对抽象的概率模型理解不够深入。

学生在素质方面表现出较强的学习兴趣和求知欲，但在面对复杂问题时，可能会出现解题策略不当和耐心不足的情况。行为习惯方面，学生已经形成了良好的课堂纪律和学习习惯，但个别学生可能需要在课堂参与和主动思考方面进一步加强。

在课程学习方面，学生对于离散型随机变量及其分布列的概念可能较为陌生，需要通过具体实例和练习来加深理解。此外，学生在解决实际问题时，可能需要更多的引导和启发，以培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采用多样化的教学方法和手段，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源1.硬件资源：多媒体教室、投影仪、计算机

2.软件资源：数学教学软件（如几何画板、数学实验室等）

3.课程平台：学校教学管理系统

4.信息化资源：网络教学资源、电子教案、教学视频

5.教学手段：小组讨论、问题驱动、案例分析、练习题教学流程1.导入新课（5分钟）

详细内容：通过一个简单的抛硬币实验引入，让学生观察并记录连续抛掷多次硬币正面朝上的次数，引导学生思考如何用数学语言描述这种随机现象，进而引入离散型随机变量的概念。

2.新课讲授（15分钟）

详细内容：

（1）介绍离散型随机变量的定义和性质，通过具体例子（如抛骰子出现的点数）来阐述离散型随机变量的特点；

（2）讲解离散型随机变量分布列的概念，通过例题展示如何构建一个随机变量的分布列；

（3）介绍常见的离散型随机变量分布列，如两点分布、二项分布和泊松分布，并给出各自的概率计算方法。

3.实践活动（10分钟）

详细内容：

（1）让学生独立完成几个离散型随机变量分布列的构建练习，如计算某项任务的完成概率；

（2）给出一个具体的实际问题，如一个产品的合格率问题，让学生尝试建立二项分布模型，并计算相关概率；

（3）引导学生通过计算离散型随机变量的期望和方差，理解这两个统计量的意义和应用。

4.学生小组讨论（10分钟）

详细内容举例回答：

（1）让学生分组讨论如何将一个实际问题的数据转化为离散型随机变量，并构建其分布列；

（2）每组选取一个代表分享他们构建的分布列，并解释其概率计算的依据；

（3）讨论如何利用离散型随机变量的期望和方差来分析问题的风险和不确定性。

5.总结回顾（5分钟）

详细内容：回顾本节课的重点内容，包括离散型随机变量的定义、分布列的构建方法以及期望和方差的计算。通过一个简短的总结性例题，让学生再次体会离散型随机变量在实际问题中的应用，并强调本节课的重难点。同时，提醒学生课后复习相关概念和公式，为下一节课的学习打下基础。学生学习效果学生学习效果体现在以下几个方面：

1.理解了离散型随机变量的概念，能够区分离散型随机变量与连续型随机变量，并能够根据实际情况判断一个随机变量是否为离散型。

2.掌握了离散型随机变量分布列的构建方法，能够根据给定的概率模型或实际数据，正确地写出随机变量的分布列。

3.通过对常见离散型随机变量分布列（如两点分布、二项分布和泊松分布）的学习，学生能够理解这些分布列的特点和应用场景，并能够计算相关的概率。

4.学生能够运用离散型随机变量的期望和方差来描述随机变量的平均水平和波动情况，通过计算实例加深了对这两个统计量的理解。

5.在实践活动环节，学生能够独立或合作完成离散型随机变量分布列的构建和概率计算，提高了实际操作能力和解决问题的能力。

6.学生在小组讨论中积极参与，通过讨论和分享，不仅加深了对离散型随机变量知识的理解，还提升了团队合作和沟通能力。

7.学生能够将所学知识应用到实际问题中，如产品合格率的分析、市场调查数据的处理等，提高了学生运用数学知识解决实际问题的能力。

8.通过本节课的学习，学生增强了对概率统计的兴趣，激发了进一步学习和探索相关数学知识的欲望。

9.学生在课堂互动和练习中表现出良好的逻辑思维能力和分析问题的能力，能够有效地将理论知识与实际情境相结合。

10.学生在学习过程中逐渐培养了数据分析观念，能够在日常生活和学习中更加注重数据的收集、整理和分析。

总体来说，学生在本节课的学习中，不仅掌握了离散型随机变量及其分布列的基本概念和计算方法，还提升了数学应用能力和团队协作能力，为后续相关课程的学习打下了坚实的基础。教学反思今天在讲授“离散型随机变量及其分布列”这一课时，我感到整体的教学效果还是不错的，但也存在一些需要改进的地方。

首先，我觉得导入环节的设计很成功。通过抛硬币实验，学生能够直观地感受到随机现象，并且对离散型随机变量有了初步的认识。这个实验不仅激发了学生的兴趣，也为引入新概念做了很好的铺垫。

在教学过程中，我发现学生对离散型随机变量的概念理解得比较快，但在构建分布列时，部分学生还是感到有些困难。我意识到，可能是因为我没有提供足够具体的实例来帮助学生理解。下次我会尝试用更多贴近学生生活的例子来讲解，看看是否能够提高他们的理解力。

在讲解二项分布和泊松分布时，我觉得自己可能讲得太快了，没有留给学生足够的时间去消化和吸收。我注意到有些学生在计算概率时显得有些迷茫。以后我会适当放慢讲解的速度，确保每个学生都能跟上课程的进度。

在实践活动环节，我让学生独立完成了一些练习题，这个设计我觉得很好，因为它让学生有机会立即应用所学的知识。但是，我也发现有些学生在遇到问题时不知道如何寻求帮助。我应该在课堂上更加鼓励他们相互讨论，这样可以提高他们的合作能力，同时也能促进他们对知识点的深入理解。

在小组讨论环节，学生的参与度很高，他们能够积极地分享自己的思路和计算结果。但我也发现，有些小组的讨论焦点偏移了，没有紧紧围绕课程内容。我需要在讨论环节结束时，对学生进行适当的引导和总结，确保讨论的内容与课程目标保持一致。

最后，在总结回顾环节，我觉得自己可能没有强调重点和难点，导致学生可能没有完全意识到哪些内容是必须掌握的。下次我会更加明确地指出本节课的核心知识点，并强调它们的重要性。课堂小结，当堂检测课堂小结：

在本节课中，我们学习了离散型随机变量及其分布列的相关知识。我们首先通过抛硬币实验引出了离散型随机变量的概念，然后详细讲解了如何构建一个随机变量的分布列。通过具体的例子，我们学习了二项分布和泊松分布这两种常见的离散型随机变量分布列，并探讨了如何计算它们的期望和方差。大家积极参与，课堂氛围良好，对于离散型随机变量的理解有了明显的提升。

当堂检测：

为了检验大家对本节课内容的掌握情况，下面我将提供几个练习题目，请大家独立完成。

1.构建分布列

假设随机变量X表示在一次考试中，一名学生答对的题目数量。已知这名学生答对每道题的概率是0.8，考试共有5道题目。请构建随机变量X的分布列。

2.计算概率

某产品的合格率为90%，现在随机抽取10件产品进行检验。请计算恰好有8件合格的概率。

3.计算期望和方差

已知某离散型随机变量X的分布列为：

X=1,2,3

P(X)=0.2,0.5,0.3

请计算随机变量X的期望和方差。

4.应用题

一家公司生产的产品中有5%的概率存在缺陷。现在随机抽取20件产品进行检验。请计算以下概率：

（1）恰好有2件产品存在缺陷；

（2）至少有1件产品存在缺陷。

请将你们的答案和计算过程写在纸上，我将逐一进行批改和反馈。完成这些练习后，我们应该能够更好地理解离散型随机变量及其分布列的概念，并能够将其应用于实际问题中。希望大家能够认真对待这次检测，通过检测发现自己的不足，为下一节课的学习做好准备。课后作业1.构建分布列

假设随机变量Y表示在一场足球比赛中，一支球队进球的数量。已知这支球队每场比赛进球的概率分布如下：进球0个的概率为0.2，进球1个的概率为0.4，进球2个的概率为0.3，进球3个的概率为0.1。请构建随机变量Y的分布列。

答案：Y的分布列为：

Y=0,1,2,3

P(Y)=0.2,0.4,0.3,0.1

2.计算二项分布概率

某项技能测试中，一名学生答对每道题的概率是0.7。假设测试共有10道题目，请计算这名学生恰好答对7道题目的概率。

答案：P(X=7)=C(10,7)*0.7^7*0.3^3≈0.1201

3.计算泊松分布概率

一家商店每天平均售出3台电视机。请计算在一天内恰好售出5台电视机的概率（使用泊松分布公式）。

答案：λ=3，P(X=5)=(e^-λ*λ^5)/5!≈0.1008

4.计算期望和方差

已知某离散型随机变量Z的分布列为：

Z=-1,0,1

P(Z)=0.2,0.5,0.3

请计算随机变量Z的期望和方差。

答案：E(Z)=(-1)*0.2+0*0.5+1*0.3=0.1，Var(Z)=(-1-0.1)^2*0.2+(0-0.1)^2*0.5+(1-0.1)^2*0.3=0.39

5.实际应用题

一家工厂生产的零件中有10%的概率存在缺陷。现在随机抽取10件零件进行检验。请计算以下概率：

（1）恰好有2件零件存在缺陷；

（2）至少有1件零件存在缺陷。

答案：

（1）P(X=2)=C(10,2)*0.1^2*0.9^8≈0.1937

（2）P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C(10,0)*0.1^0*0.9^10≈0.6513

请同学们在完成作业时，注意理解离散型随机变量的概念，熟练掌握分布列的构建方法，以及二项分布和泊松分布的概率计算。同时，通过计算期望和方差，深入理解随机变量的统计特性。作业完成后，请认真检查，确保计算过程和结果准确无误。第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征主备人备课成员教学内容《高中数学选择性必修第三册人教A版（2019）》第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征，主要包括以下内容：

1.离散型随机变量的数学期望的定义及性质；

2.离散型随机变量的方差的定义及性质；

3.常见离散型随机变量的数学期望和方差的计算方法；

4.利用数学期望和方差分析随机现象的规律性。核心素养目标1.培养学生运用数学语言表达随机现象的能力；

2.发展学生运用概率统计方法解决实际问题的思维；

3.提升学生数据分析观念，理解随机变量的数字特征在现实中的应用；

4.增强学生逻辑推理能力，通过数学期望和方差的计算，推理随机变量的规律。重点难点及解决办法重点：

1.离散型随机变量的数学期望和方差的定义与计算方法。

2.理解数学期望和方差在实际问题中的应用。

难点：

1.离散型随机变量数学期望和方差的计算过程，尤其是涉及复杂概率分布的情况。

2.利用数学期望和方差进行数据分析时的逻辑推理。

解决办法：

1.通过实际例题讲解，引导学生逐步掌握数学期望和方差的计算步骤，强调理解其背后的数学原理。

2.使用多媒体工具展示离散型随机变量的分布图，帮助学生直观理解数学期望和方差的含义。

3.设计课堂练习题，让学生在解决具体问题的过程中，运用所学知识，逐步突破计算难点。

4.通过小组讨论，让学生相互交流解题思路，促进逻辑推理能力的提升。

5.对难点内容进行分步教学，先讲解基本概念，再逐步过渡到复杂情况，确保学生能够逐步掌握。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时步骤师生互动设计二次备课教学资源1.硬件资源：计算机、投影仪、白板。

2.软件资源：数学教学软件（如GeoGebra）、PPT演示文稿。

3.课程平台：校园网络教学平台。

4.信息化资源：在线数学题库、数学教学视频。

5.教学手段：小组讨论、课堂练习、案例分析。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：以一个简单的抛硬币实验引入，让学生观察并记录正面朝上的次数，提出问题：“如何量化这个