第02讲 探索三角形相似的条件（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-A4

第页第02讲探索三角形相似的条件1.掌握平行线等分线段及平行线分线段成比例定理的内容；2.了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；3.进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力；知识点1平行线分线段成比例类型1平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.几何语言：图一拓展：.如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；.经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；图二3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。图三类型2平行线分线段成比例定理（1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.图四图五（2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例知识点2相似三角形的相关概念在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.注意：

(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.知识点3相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

【题型1平行线分线段成比例定理及其推论基本应用】【典例1】（2022秋•惠安县期末）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝3，BC＝6，DE＝2，则DF的长是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：∵根据l1∥l2∥l3，∴，∴，解得EF＝4，∴DF＝DE+EF＝2+4＝6，故选：C．【变式1-1】（2023•武侯区校级模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝4，AC＝9，EF＝4，则DE的长为（）A． B． C．5 D．9【答案】A【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝4，AC＝9，EF＝4，∴BC＝5，∴，解得：DE＝，故选：A．【变式1-2】（2023春•张店区期末）如图，直线a∥b∥c，直线a，b，c分别交直线m，n于点A，C，E，B，D，F，若AC＝2，CE＝4，BD＝1，则DF＝（）A．2 B．3 C． D．【答案】A【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，∵AC＝2，CE＝4，BD＝1，∴＝，解得：DF＝2，故选：A．【典例2】（2023春•任城区期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝3，∴BC＝3CE，∴CE＝BE＝×12＝3，故选：A．【变式2-1】（2023春•罗定市校级期中）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝2：3，若CE＝6，则BC的长为（）​A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴BC＝4．故选：B．【变式2-2】（2023•宁化县模拟）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（）A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4【答案】C【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，即＝，解得，DE＝3.6，故选：C．【典例3】（2023•市中区一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC＝2，∴AC＝AE+EC＝4+2＝6；故选：C．【变式3-1】（2022秋•西岗区校级期末）如图，已知D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，AE＝2k，EC＝k，DE＝4，那么BC等于（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解答】解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴ED：CB＝AE：AC设DB＝AE＝x∵AE＝2k，EC＝k，DE＝4，∴4：BC＝2k：（2k+k），解得BC＝6．故选：C．【变式3-2】（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝＝＝．故选：A．【变式3-3】（2023•三明模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，AC＝10，则AE的长为（）A． B．4 C．6 D．【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴，∵AC＝10，∴，∴AE＝4．故选：B．【题型2相似三角形的概念】【典例4】（2022秋•郯城县校级期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝，BC＝2，在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和，因为＝，所以A选项中的三角形与△ABC相似．故选：A．【变式4】（2023春•梁溪区校级期末）下列两个三角形不一定相似的是（）A．两个等边三角形 B．两个顶角是120°的等腰三角形 C．两个全等三角形 D．两个直角三角形【答案】D【解答】解：A、两个等边三角形，所有的角都是60°，相等，可以判定两三角形相似，故本选项错误；B、两个顶角是120°的等腰三角形，两个底角一定都是30°，可以判定两三角形相似，故本选项错误；C、全等是相似的特殊情况，两个全等三角形一定相似，故本选项错误；D、两个直角三角形，只有一个直角对应相等，无法判定相似，故本选项正确．故选：D．【题型3三边对应成比例，两三角形相似】【典例5】如图，已知．求证：．【解答】证明：，在中，，,在中，在△ABC和△DEF中，三边对应成比例,．【变式5】（2023•瑶海区三模）如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC＝135°，BC＝2；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：∠ABC＝90°+45°＝135°，BC＝＝＝2；故答案为：135°；2．（2）△ABC∽△DEF．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC＝135°，∠DEF＝90°+45°＝135°，∴∠ABC＝∠DEF．∵AB＝2，BC＝2，FE＝2，DE＝∴＝＝，＝＝．∴△ABC∽△DEF．【题型4两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【典例6】（2022秋•铜仁市期末）如图，D，E分别为AB，AC边上两点，且AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6．求证：△ADE∽△ACB．【答案】见解析．【解答】证明：∵AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6，∴AB＝AD+BD＝8，AC＝AE+CE＝10，∴，，∴，又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．【变式6-1】（2022秋•泉州期末）如图，AB、CD相交于点O，已知OA＝3，OD＝4，OB＝2，OC＝1.5．求证：△AOD∽△COB．【答案】见解析．【解答】证明：∵，，∴，又∵∠AOD＝∠COB，∴△AOD∽△COB．【变式6-2】（2023•海淀区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝8，EC＝2．求证：△ADE∽△ACB．【答案】见解析．【解答】解：∵AB＝12，AC＝8，BD＝8，EC＝2．∴AD＝AB﹣BD＝12﹣8＝4，AE＝AC﹣CE＝8﹣2＝6，∴，，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．【变式6-3】（2022秋•商南县期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝3，AC＝12．（1）求CD的长．（2）求证：△ABE∽△ACB．【答案】（1）18；（2）见解析．【解答】（1）解：∵AE＝3，AC＝12∴CE＝AC﹣AE＝12﹣3＝9；∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE；∴＝，∴CD＝＝＝18；（2）证明：∵＝，＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB【题型5两角对应相等，两三角形相似】【典例7】（2023•平潭县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC．【变式7-1】（2023•凤庆县二模）如图，AC为菱形ABCD的对角线，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC．求证：△ACD∽△ABE．​【答案】见解析．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠D，又∠E＝∠ABC，∴∠D＝∠E，∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠BAC＝∠DAC，∴△ACD∽△ABE．【变式7-2】（2023•涵江区一模）如图，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，BD相交于点O，OB＝OC，求证：△ABC∽△DCB．【答案】见解析．【解答】证明：∵BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，∴∠A＝∠D，又∵∠AOB＝∠DOC，∴∠ABO＝∠DCO，又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠DCB，∴△ABC∽△DCB．【变式7-3】（2023•越秀区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上的点（不与点B，点C重合），连接DE并延长，交AB的延长线于点F．求证：△CDE∽△AFD．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AF，∠C＝∠A，∴∠CDE＝∠F，∴△CDE∽△AFD．1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝＝＝．故选：A．2．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：∵CD∥OB，∴，∵AC：OC＝1：2，∴，∵C、D两点纵坐标分别为1、3，∴CD＝3﹣1＝2，∴，解得：OB＝6，∴B点的纵坐标为6，故选：C．3．（2022•临沂）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴，∴，∴EC＝．故选：C．4．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．【答案】．【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，故答案为：．5．（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是△MCB．【答案】△MCB．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折叠的性质可知，∠BMN＝∠A＝90°，∴∠DMN+∠CMB＝90°，∴∠DNM＝∠CMB，∴△NDM∽△MCB，故答案为：△MCB．6．（2023•岳阳）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，则的长是π（结果保留π）；（2）若＝，则＝．【答案】（1）π；（2）．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵∠A＝30°，AB＝6，∴∠BOC＝60°，OB＝3，∴的长＝＝π；故答案为：π；（2）如图，连接OC，∵点C为的中点，∴＝，∴OC⊥BD，又∵EC是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∴EC∥BD，∵＝，∴，设EB＝x，则AB＝3x，BO＝OC＝x，EO＝x，AE＝4x，∴EC＝＝＝2x，∴＝＝．故答案为：．7．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为5．【答案】5．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，设AD＝DC＝a，则AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案为：5．1．（2023秋•西安期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形的顶点都在格点（网格线的交点）上，则与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，A：三角形三边分别为：3，，2，B：三角形三边分别为：，3，2，C：三角形三边分别为：2，4，2，D：三角形三边分别为：4，，，根据如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．∴C中的三角形与△ABC相似．故选：C．2．（2023秋•西安期中）如图，DE∥BC，AD：DB＝1：2，EC＝6，则AE的长是（）A．3 B．4 C．6 D．10【答案】A【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝3．故选：A．3．（2023•桂林一模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1，l2，l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是（）A．2 B．4.5 C．7.5 D．6【答案】B【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AB＝4，BC＝6，DE＝3，∴，∴EF＝4.5，故选：B．4．（2022秋•顺德区期末）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵a∥b∥c，∴，，，，∴选项A、C、D正确，故选：B．5．（2023秋•成都期中）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，当蜡烛火焰的高度AB为1.6cm时，所成的像A′B'的高度为（）A．0.8cm B．2.4cm C．3.2cm D．4.8cm【答案】C【解答】解：如图：∵AB∥A′B′，∴△AOB∽△A′OB′，∴AB：A′B′＝OM：OM′，∵OM：OM′＝1：2，∴AB：A′B′＝1：2，∵AB＝1.6cm，∴A′B′＝2×1.6＝3.2cm，故答案选：C．6．（2023秋•晋江市期中）如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，E，F分别是OC，OD的中点，连接EF，若AO：AD＝2：7，AB＝4，则EF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABO∽△DCO，∴，∵AO：AD＝2：7，∴AO：OD＝2：5，∴CD＝10，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF＝CD＝5，故选：B．7．（2022秋•路南区校级期末）如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC C．AC2＝BC•CD D．【答案】C【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；②＝；故选：C．8．（2023秋•莱西市期中）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，请添加一条件使△BCD∽△BAC，则下列条件中不正确的是（）A．AC2＝AD•AB B．BC2＝BD•BA C．∠A＝∠BCD D．∠ADC+∠BCA＝180°【答案】A【解答】解：由AC2＝AD•AB，∠CBD＝∠ABC，不能判定△BCD∽△BAC，故A符合题意；∵BC2＝BD•BA，∴＝，又∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，故B不符合题意；∵∠A＝∠BCD，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，故C不符合题意；∵∠ADC+∠BCA＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝∠BCA，又∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，故D不符合题意；故选：A．9．（2023秋•包河区校级期中）如图，，下列添加的条件不能使△ABC∽△ADE的是（）A．∠BAD＝∠CAEB．C．D．∠ABD＝∠ACE【答案】D【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵＝，∴＝，∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；∵＝，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；∵＝，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，又＝，∴△ABC∽△ADE，故C不符合题意；由＝，∠ABD＝∠ACE，不能判定△ABC∽△ADE，故D符合题意；故选：D．10．（2023秋•泗县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝15，P，Q分别是BC，CD上的点，CQ＝4，若△ABP与△PCQ相似，则BP的长为（）A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或【答案】D【解答】解：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝9，BC＝AD＝15，∵△ABP与△PCQ相似，∴分△ABP∽△PCQ与△ABP∽△QCP两种情况求解：①当△ABP∽△PCQ时，设BP＝x，则PC＝15﹣x，∴，即，解得：x＝3或x＝12，②当△ABP∽△QCP时，设BP＝x，则PC＝15﹣x，∴，即，解得：，综上所述，BP的长为3或12或．故选：D．11．（2022秋•西湖区校级期末）两个相似三角形的相似比是4：9，则它们的面积比是（）A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．1：3【答案】B【解答】解：∵相似三角形的相似比是4：9，∴面积比为：，故选：B．12．（2023秋•西安期中）如图，点C，F在线段BD上，AB∥DE，，求证：△ABC∽△EDF．【答案】见解析过程．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠D，∵，∴△ABC∽△EDF．13．（2023秋•西安期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EB⊥AB，垂足为点B，交AC于点E．（1）求证：．（2）若AE＝6，AB＝5，求EC的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC，∵EB⊥AB，∴∠EOB＝∠EBA，∵∠OEB＝∠BEA，∴△EOB∽△EBA，∴＝，∵AB＝BC，∴＝；（2）解：∵∠AOB＝∠ABE＝90°，∠OAB＝∠BAE，∴△AOB∽△ABE，∴＝，∵AE＝6，AB＝5，∴＝，解得：OA＝，∴EC＝2OA﹣AE＝﹣6＝．14．（2023秋•城关区校级期中）如图，DE∥BC，且∠ABE＝∠C．（1）求证：AE2＝AD•AB；（2）如果AE＝4，BD＝6，求AD．【答案】（1）见解析；（2）AD＝2．【解答】（1）证明：∵∠ABE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB，∴，∴AC＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，整理得：AE2＝AD•AB；（2）解：∵BD＝6，∴AB＝BD+AD＝6+AD，由（1）知，AE2＝AD•AB，∴42＝AD（6+AD），解得：AD＝2或AD＝﹣8（不合题意，舍去），∴AD＝2．15．（2023秋•拱墅区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵AC2＝AB•AD，∴＝，∴△ADC∽△ACB；（2）解：由（1）知：△ADC∽△ACB，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵点E为AB的中点，∴CE＝AE＝AB＝，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠DAC＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD，∴＝＝＝，∴＝．16．（2023秋•鹿城区校级期中）我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．在如下9