第十七章 勾股定理 单元能力提升测试卷（解析版）-A4

第页第二单元勾股定理能力提升测试卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．下列是勾股数的是（）A．12，15，18 B．6，10，7 C．12，16，20 D．【答案】C【解答】解：A、122+152≠182，不是勾股数，不符合题意；B、62+72≠102，不是勾股数，不符合题意；C、122+162＝202，是勾股数，符合题意；D、不是整数，所以不是勾股数，不符合题意．故选：C．2．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知AC＝6km，BC＝8km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（）A．2km B．3km C．4km D．5km【答案】C【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6km，BC＝8km，∴AB＝＝＝10（km），∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（km），即打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为4km，故选：C．3．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（）A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺【答案】C【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+82＝（x+2）2，解得：x＝15，所以x+2＝17．即：这个芦苇的高度是17尺．故选：C．4．如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D，已知AC＝13，BC＝11，AD＝12，则AB的长度为（）A．15 B．16 C．18 D．20【答案】D【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠D＝90°，在Rt△ACD中，AC＝13，AD＝12，∴CD＝，∵BC＝11，∴BD＝BC+CD＝11+5＝16，在Rt△ABD中，AB＝，故选：D．5．如图，在数轴上点A，B所表示得数分别是﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（）A． B．﹣1 C． D．2﹣【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1，由勾股定理得，AC＝，则点D表示的数为﹣1．故选：B．6．如图，在高为3m，斜坡长为5m的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝4（米），故可得地毯长度＝AC+BC＝7（米），故选：C．7．如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a+b的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解答】解：∵大正方形的面积是29，小正方形的面积是9．∴一个小三角形的面积是×（29﹣9）＝5．三角形的斜边为．∴＝5．a2+b2＝29．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝49．∴a+b＝7．故选：C．8．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2的值为（）A．40 B．38 C．36 D．32【答案】A【解答】解：∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝90°，∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2，AD2＝OA2+OD2＝22＝4，BC2＝OC2+OB2＝62＝36，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+BC2＝4+36＝40，故选：A．9．小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是1m，1m，2m，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（）A．3m B．2.4m C．2.1m D．2m【答案】B【解答】解：如图：根据勾股定理：AB2＝12+12＝2，AC2＝AB2+BC2＝2+4＝6，故AC＝≈2.4，故选：B．10．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AC＝3，则BC长是（）A．3.5 B． C．4 D．5【答案】B【解答】解：以AC为直径的半圆的面积＝×π×＝π，同理：以BC为直径的半圆的面积＝π，以AB为直径的半圆的面积＝π，∴S1+S2＝π+π+△ABC的面积﹣π，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝△ABC的面积＝AC•BC＝7，∵AC＝3，∴BC＝．故选：B．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB的中点，过D作ED⊥AB交AC于E点，则AE的长为．【答案】．【解答】解：连接BE，∵D为AB的中点，过D做ED⊥AB交AC于E点，∴AE＝BE，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△ECB中，CE2+BC2＝BE2，即x2＝62+（8﹣x）2，解得：x＝，即AE＝，故答案为：．12．如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是2.5m．【答案】2.5．【解答】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，∴四边形BCEF是矩形，△ACB是直角三角形，∴CE＝BF＝1m，∴CD＝CE﹣DE＝1﹣0.5＝0.5（m），设绳索AD的长为xm，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣0.5）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即（x﹣0.5）2+1.52＝x2，解得：x＝2.5（m），即绳索AD的长是2.5m，故答案为：2.5．13．数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，则小正方形的面积为4．【答案】4．【解答】解：∵直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，∴较长直角边长为＝8，∴小正方形的边长为8﹣6＝2，面积为2×2＝4．故答案为：4．14．如图，∠ACB＝90°，AB＝4cm，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为16cm2．【答案】16cm2．【解答】解：由已知可得，阴影部分的面积为＝，∵∠ACB＝90°，AB＝4cm，∴BC2+AC2＝AB2＝42＝16，∴＝＝＝16，故答案为：16cm2．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为8或5或．【答案】8或5或．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，由勾股定理得：BC＝＝8（cm），①当AB＝AP时，如图1所示：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BP，∴PC＝BC＝8（cm），∴BP＝16（cm），∴t＝16÷2＝8（s），②当BP＝BA＝10cm时，如图2所示：∴t＝10÷2＝5（s），③当PA＝PB时，如图3所示：设BP＝xcm，则PC＝（8﹣x）cm，在Rt△ACP中，由勾股定理得：（8﹣x）2+62＝x2，∴x＝，∴BP＝cm，∴t＝÷2＝（s）；综上所述，t的值为8或5或，故答案为：8或5或．16．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为2厘米．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即＝10cm，∴筷子露在杯子外面的长度至少为12﹣10＝2cm，故答案为2．三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板AB往上爬，木板底端距离墙角0.7m，当小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m．求出A1C和这块木板的长度．【答案】A1C的长度是1.5m，木板的长度是2.5m．【解答】解：根据题意得：BC＝0.7m，BB1＝1.3m，AA1＝0.9m，设A1C的长度是xm，在Rt△ABC和Rt△A1B1C中，∠ACB＝90°，AB＝A1B1，∴AB2＝AC2+BC2，A1＝A1C2+B1C2，∴AC2+BC2＝A1C2+B1C2，即（0.9+x）2+0.72＝x2+（1.3+0.7）2，解得：x＝1.5，∴A1C＝1.5m，AC＝0.9+1.5＝2.4（m），∴AB＝＝＝2.5（m），答：A1C的长度是1.5m，木板的长度是2.5m．18．（8分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．（1）求AD的长；（2）求△ABC中BC边上的高．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵BC＝20cm，且CD＝16cm，BD＝12cm，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，设AD＝xcm，则AC＝AB＝（x+12）cm，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，即x2+162＝（x+12）2，解得：x＝，即AD＝cm；（2）AB＝AC＝+12＝（cm），过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高，∵AB＝AC，BC＝20cm，∴BE＝CE＝10（cm），在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE＝＝＝（cm），即△ABC中BC边上的高是cm．19．（8分）如图，把一块Rt△ABC（∠ACB＝90°）土地划出一个△ADC后，测得CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m．（1）试判断△ADC的形状，并说明理由；（2）求图中阴影部分土地的面积．【答案】（1）△ADC是直角三角形，证明过程见解答部分；（2）阴影部分土地的面积为24m2．【解答】解：（1）△ADC是直角三角形，理由：∵∠ACB＝90°BC＝12m，AB＝13m，∴AC＝m，∵在△ADC中，AD＝4m，CD＝3m，∴32+42＝52，即：CD2+AD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，即：△ADC是直角三角形（2）S阴影＝S△ACB﹣S△ADC＝AC•BC﹣AD•CD＝＝30﹣6＝24（m2）．答：阴影部分土地的面积为24m2．20．（8分）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；（2）如图②③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S3＝20，求S2．【答案】（1）证明见解答过程；（2）8．【解答】（1）证明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，S小正方形＝c2﹣4×，即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，∴a2+b2＝c2；（2）解：设正方形EFGH的面积为x，其他八个全等三角形的面积为y，∵S1+S2+S3＝24，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝24，∴x+4y＝8，∴S2＝8．21．（10分）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC•BC＝CD•AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240km，∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为25千米/小时，∴200÷25＝8（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为8小时．22．（10分）如图，已知A（0，m），B（n，0），且m，n满足（m﹣n）2+|n﹣6|＝0．点D是线段AB中点，动点E，F分别在线段OA，OB上运动，且始终有AE＝OF．（1）请直接写出点A和点B的坐标；（2）请判断△DEF的形状并说明理由；（3）下列结论：①四边形OEDF周长为定值；②四边形OEDF面积为定值；③∠OEF+∠DFE为定值．请选择一个正确的结论并说明理由．【答案】（1）A（0，6），B（6，0）；（2）△DEF是等腰直角三角形；（3）②，四边形OEDF面积为，定值为9．【解答】解：（1）∵（m﹣n）2+|n﹣6|＝0，∴m﹣n＝0，n﹣6＝0，即m＝n