第02讲 矩形的性质和判定（知识解读+达标检测）（原卷版）-A4

第页第02讲矩形的性质和判定【题型1矩形的概念和性质】【题型2矩形和垂直平分线的综合应用】【题型3直角三角形斜边上的中线】【题型4矩形的判定】【题型5矩形的性质与判定综合】考点1：矩形的性质※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）对角线相等（3）四个角都是直角。注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）【题型1矩形的概念和性质】【典例1】（2023秋•兴宁市期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行 D．对角相等【变式1-1】（2023秋•禅城区期末）如图，矩形ABCD两条对角线相交于点O，若∠AOD＝60°，BC＝1，则BD的长是．【变式1-2】（2023秋•辽中区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．在边AD上取一点E，使BE＝BC．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为．【变式1-3】（2023秋•清远期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝．【题型2矩形和垂直平分线的综合应用】【典例2】（2023•呼和浩特）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（）A． B．3 C． D．【变式2-1】（2023春•海口期末）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CE垂直平分DO，AB＝4，则BE等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【变式2-2】（2023春•新昌县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，则EF的长为（）A． B． C． D．5【变式2-3】（2023春•环翠区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE＝（）A．3 B．3.5 C．2.8 D．2.5考点2：直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【题型3直角三角形斜边上的中线】【典例1】（2023秋•榆阳区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝4，则BC＝（）A．6 B．8 C．9 D．10【变式1-1】（2023秋•双桥区校级期末）如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接CD．若CD＝2，则AB的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【变式1-2】（2023秋•城固县期中）如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（）A．50° B．48° C．55° D．25°【变式1-3】（2023秋•建湖县期中）如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的中点，则MN的最小值为（）A．2 B．3 C．3.5 D．4考点3：矩形的判定※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）四个角都相等的四边形是矩形。【题型4矩形的判定】【典例4】（2023秋•兰州期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形．【变式4-1】（2023秋•清远期末）木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（）A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等 C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直【变式4-2】（2023秋•白银期末）如图，建筑公司验收门框时要求是矩形．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列验算方法错误的是（）A．AD⊥DC B．OA＝OB C．AC＝BD D．OA＝OC【变式4-3】（2023秋•凤城市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．AB∥DC，AB＝CD B．AB∥CD，AD∥BC C．AC＝BD，AC⊥BD D．OA＝OB＝OC＝OD【变式4-4】（2023秋•子洲县期末）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．求证：四边形OCED是矩形．【题型5矩形的性质与判定综合】【典例5】（2023秋•振兴区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E，BD＝BE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ABD＝60°，AC＝4，求矩形ABCD的面积．【变式5-1】（2022秋•焦作期末）如图，在▱ABCD中，连接BD，E为边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接BD，AF，已知∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积．【变式5-2】（2023•大庆）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．（1）求证：四边形ACFD是矩形；（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．【变式5-3】（2023春•中山市期中）如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长．一．选择题（共12小题）1．（2022秋•禅城区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．若∠AOB＝60°，AC＝8，则AB的长为（）A．4 B． C．3 D．52．（2023秋•乌当区月考）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．6 B．3 C．2 D．13．（2023秋•新郑市校级月考）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数为（）A．36° B．27° C．18° D．9°4．（2023春•澧县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（）A．12 B．6 C．4 D．35．（2023春•高邮市期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，若添加一个条件，使四边BEFD为矩形，则下列添加的条件可以是（）A．AB＝AC B．AB＝BC C．∠B＝90° D．∠C＝90°6．（2023春•七星区校级期中）下列条件中，不能判定四边形为矩形的是（）A．对角线相等且互相平分的四边形 B．有一组邻角相等的平行四边形 C．对角线相等且垂直的四边形 D．有一组对角互补的平行四边形7．（2023•衡水二模）依据所标数据，下列一定为矩形的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．③8．（2023春•康巴什期末）为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（）①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B、D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变．A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④9．（2023春•贵州期末）如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E．若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠EAC的度数是（）A．18° B．36° C．45° D．72°10．（2023春•寻乌县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，连接EF，若AB＝6，BC＝8，则EF的长是（）A．5 B．2 C．2.5 D．311．（2023•南开区一模）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC长为（）A． B． C．5 D．412．（2023春•和县校级期末）如图，若正五边形ABCDE和矩形AFCG按如图方式叠放在一起，则∠DCG的度数为（）A．8° B．18° C．24° D．28°二．填空题（共4小题）13．（2023秋•佛山期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为．14．（2023秋•清远期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝．15．（2023秋•射洪市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD上一点，把△ADE沿直线AE翻折，D点恰好落在BC边上的F点处，则CE＝．16．（2023秋•莲湖区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是．三．解答题（共3小题）17．（2023•平南县一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．18．（2022秋•楚雄州期末）如图，在四边形AB