第01讲 变量与函数（知识解读+达标检测）（解析版）-A4

第页第01讲变量与函数【题型1：变量与常量】【题型2：函数定义】【题型3：函数的关系式】【题型4：函数自变量取值范围】【题型5：函数值】【题型6：函数的图像】【题型7：动点问题的函数图像】知识点1：变量与常量定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数．如果当x=a时，y=b，b那么a叫做当自变量x的值为a时的函数值．【题型1：变量与常量】【典例1】（2022秋•武义县期末）笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，下列选项判断正确的有（）A．a是常量时，y是变量 B．a是变量时，y是常量 C．a是变量时，y也是变量 D．无论a是常量还是变量，y都是变量【答案】C【解答】解：根据题意，可知a是变量时，y也是变量，故选：C．【变式1-1】（2023•南海区校级模拟）球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量和常量分别是（）A．变量是V，R；常量是，π B．变量是R，π；常量是 C．变量是V，R，π；常量是 D．变量是V，R3；常量是π【答案】A【解答】解：球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量是V，R；常量是，π故选：A．【变式1-2】（2023•惠来县模拟）某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（）A．数100和n，t都是常量 B．数100和n都是变量 C．n和t都是变量 D．数100和t都是变量【答案】C【解答】解：n＝，其中n、t为变量，100为常量．故选：C．【变式1-3】（2022春•清镇市校级期中）树的高度h随时间t的变化而变化，下列说法正确的是（）A．h，t都是常量 B．t是自变量，h是因变量 C．h，t都是自变量 D．h是自变量，t是因变量【答案】B【解答】解：因为树的高度h随时间t的变化而变化，所以t是自变量，h是因变量；故选：B．知识点3：函数定义像这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式【题型2：函数定义】【典例2】（2023春•淮阳区月考）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，∴只有选项C不符合题意．故选：C．【变式2-1】（2023春•原阳县月考）下列等式中，y不是x的函数的是（）A．3x﹣2y＝0 B．x2﹣y2＝1 C． D．y＝|x|【答案】B【解答】解：∵在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，∴选项By不是x的函数．故选：B．【变式2-2】（2023春•偃师市校级月考）下列图形中，表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意；B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意；C、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故C符合题意；D、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故D不符合题意；故选：C．【变式2-3】（2022秋•余姚市校级期末）如图图象中，表示y是x的函数的个数有（）A．1 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：属于函数的有：∴y是x的函数的个数有3个，故C正确．故选：C．【题型3：函数的关系式】【典例3】（2022秋•晋中期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系：摄氏温度值x/℃01020304050华氏温度值y/℉32506886104122根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（）A． B．y＝x+32 C．y＝x+40 D．【答案】A【解答】解：根据表中的对应关系，可知y＝x+32＝，∴y＝，故选：A．【变式3-1】（2022秋•肇源县期末）一个长方形的周长为30cm，长为xcm，宽为ycm，则用x表示y的关系式为（）A．y＝30﹣x B．y＝ C．x＝15﹣y D．y＝15﹣x【答案】D【解答】解：∵长方形的周长为30cm，长为xcm，宽为ycm，∴2（x+y）＝30，∴y＝15﹣x，故选：D．【变式3-2】（2022秋•沈河区期末）小明一家自驾车到离家500km的某景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了行驶路程x（km）与油箱余油量y（L）之间的部分数据：行驶路程x（km）050100150200…油箱余油量y（L）4541373329…下列说法不正确的是（）A．该车的油箱容量为45L B．该车每行驶100km耗油8L C．油箱余油量y（L）与行驶路程x（km）之间的关系式为y＝45﹣8x D．当小明一家到达景点时，油箱中剩余5L油【答案】C【解答】解：∵当x＝0时y＝45，∴该车的油箱容量为45L，∴选项A不符合题意；∵由表格可得该车每行驶100km耗油8L，∴选项B不符合题意；∵由题意可得油箱余油量y（L）与行驶路程x（km）之间的关系式为y＝45﹣0.08x，∴选项C符合题意；∵由45﹣0.08×500＝5（L），即当小明一家到达景点时，油箱中剩余5L油，∴选项D不符合题意；故选：C．知识点3：自变量取值范围和函数值初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况：函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；函数关系式为分式形式：分母0函数关系式含算术平方根：被开方数0；（4）函数关系式含0指数：底数0。【题型4：函数自变量取值范围】【典例4】（2023春•鹿城区校级月考）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞2 C．x≥2 D．x＞0【答案】C【解答】解：由题意，得x﹣2≥0且x≠0，解得x≥2，∴函数自变量x的取值范围是x≥2．故选：C．【变式4-1】（2022秋•桂平市期末）函数y＝，自变量x的取值范围是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x取任意实数 D．x≠0的一切实数【答案】D【解答】解：∵函数为反比例函数，∴自变量x的取值范围是：x≠0的一切实数，故选：D．【变式4-2】（2023•惠山区校级模拟）函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≥2【答案】D【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：D．【变式4-3】（2022秋•贵池区期末）函数中，自变量x的取值范围是（）A． B．x≠﹣3 C．且x≠﹣3 D．且x≠﹣3【答案】C【解答】解：∵1﹣2x≥0，x+3≠0，∴且x≠﹣3，故C正确．故选：C．【题型5：函数值】【典例5】（2022秋•沙坪坝区校级期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为1，则输出y的值为2；若输入x的值为﹣2，则输出y的值为（）A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8【答案】A【解答】解：∵由题意得：把x＝1，y＝2，代入y＝ax2+2bx中可得：a+2b＝2，把x＝﹣2入y＝﹣ax2+4bx中可得：y＝﹣4a﹣8b＝﹣4（a+2b）＝﹣4×2＝﹣8，故选：A．【变式5-1】（2023•奉贤区一模）已知，那么f（﹣1）的值是．【答案】﹣1【解答】解：将x＝﹣1代入，得f（﹣1）＝＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式5-2】（2022秋•隆回县期末）如图，若输入x的值为﹣5，则输出的结果为（）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6【答案】D【解答】解：当x＝﹣5时，y＝﹣x+1＝﹣（﹣5）+1＝5+1＝6．故选：D．【变式5-3】（2023•灞桥区校级自主招生）f（x）＝，求f（﹣1）＝．【答案】【解答】解：f（﹣1）＝﹣1＝﹣1＝﹣1＝+1﹣1＝．故答案为：．知识点4：函数的图像对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。理解图像：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点【题型6：函数的图像】【典例6】（2022秋•海淀区校级期末）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示．根据如图回答下列问题：（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？（2）小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？（3）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？【解答】解：（1）食堂离小明家0.6（km），小明从家到食堂用了8（min）；（2）小明吃早餐用的时间为25﹣8＝17（min），在图书馆停留的时间为58﹣28＝30（min）；（3）图书馆离小明家0.8（km），小明从图书馆回家的平均速度是0.8÷（68÷58）＝0.08（km/min）．【变式6-1】（2023春•沙坪坝区校级月考）周末，小陈出去购物；如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系图象，根据图示信息：下列说法正确的是（）A．小陈去时的速度为6千米/小时 B．小陈在超市停留了15分钟 C．小陈去时花的时间少于回家所花的时间 D．小陈去时走下坡路，回家时走上坡路【答案】A【解答】解：∵小陈去时的路程为2千米，时间为20分钟＝小时，∴小陈去时的为＝6（千米/小时），故A选项正确，符合题意；小陈在超市停留的时间为30﹣20＝10（分钟），故B选项错误，不符合题意；小陈去超市所花的时间为20分钟，回家所花的时间为40﹣30＝10（分钟），∵20＞10，∴小除去时花的时间多于回家所花的时间，故C选项错误，不符合题意；∵函数图象表示的是距离和时间的关系，∴不能判断出小陈去时走下坡路，回家时走上坡路，故D选项错误，不符合题意．故选：A．【变式6-2】（2022秋•肇源县期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系．（1）小明从家到学校的路程共米，从家出发到学校，小明共用了分钟；（2）小明修车用了多长时间？（3）小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？【解答】解：（1）由图象可得，小明从家到学校的路程共2000米，从家出发到学校，小明共用了20分钟，（2）小明修车用了：15﹣10＝5（分钟），小明修车用了5分钟；（3）由图象可得，小明修车前的速度为：1000÷10＝100米/分钟，小明修车后的速度为：（2000﹣1000）÷（20﹣15）＝200米/分钟．【变式6-3】（2022春•织金县期中）如图是某汽车从A地去B地（行驶过程中，速度相同），再返回行驶过程中路程与时间的关系，回答下列问题：（1）A地与B地之间的距离是千米；汽车中途共休息了小时；（2）在前3小时汽车的行驶速度是多少？汽车在返回时的平均速度是多少？【解答】解：（1）由图可知：图像上纵坐标最大为60，∴A地与B地之间的距离是60千米；∵行驶过程中，速度相同，在0﹣3时行驶了40千米，则速度为千米/小时，3﹣6小时之间，路程不变，此时汽车休息了6﹣3＝3小时，从6小时开始，汽车从40千米行驶到60千米共用了＝1.5小时，∴汽车从6+1.5＝7.5小时开始休息了9﹣7.5＝1.5小时，∴汽车一共休息了3+1.5＝4.5小时；故答案为：60，4.5；（2）由（1）可得：在前3小时汽车的行驶速度是千米/小时，从9小时开始返回，12小时到达A地，∴返回时速度为：＝20（千米/小时）【题型7：动点问题的函数图像】【典例7】（2022春•牡丹区校级期中）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则长方形ABCD的周长是（）A．24 B．18 C．20 D．40【答案】B【解答】解：由y关于x的函数图象可知，BC＝4，CD＝9﹣BC＝9﹣4＝5，∴长方形ABCD的周长是：2×（4+5）＝18；故选：B．【变式7-1】（2022春•朝阳区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：当点P由点A向点D运动，即0＜x≤4时，y的值为0；当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大；当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变；当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小．故选：B．【变式7-2】（2022春•东营区校级月考）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的面积为（）A．50 B．60 C．65 D．70【答案】B【解答】解：根据图2中的曲线可知：当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，图1中的AC＝BC＝13，当点P运动到AB中点时，此时CP⊥AB，根据图2点Q为曲线部分的最低点，得CP＝12，所以根据勾股定理得，此时AP＝＝5，所以AB＝2AP＝10，所以△ABC的面积为×10×12＝60．故选：B．【变式7-3】（2022秋•涡阳县校级月考）如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀速运动至点A停止．已知点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于x的函数图象如图2所示，则长方形ABCD面积为（）cm2A．20 B．28 C．48 D．24【答案】C【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，当点P在点B，C之间运动时，△ABP的面积随时间x的增大而增大，由图2知，当x＝6时，点P到达点C处，∴BC＝1×6＝6（cm）；当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，由图2可知，点P从点C运动到点D所用时间为14﹣6＝8（s），∴CD＝1×8＝8（cm），∴长方形ABCD面积＝BC×CD＝6×8＝48（cm2），故选：C．一．选择题（共8小题）1．（2023秋•潍坊期末）小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化．则下列判断正确的是（）A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．7.76和31是常量 D．金额是数量的函数【答案】D【解答】解：单价是常量，金额和数量是变量，金额是数量的函数，故选项D符合题意．故选：D．2．（2023秋•溧阳市期末）苹果熟了，从树上落下来．下面可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况的图象是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：苹果在下落的过程中，速度由0开始，随时间的增大速度越来越大．故选：C．3．（2022秋•莱阳市期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值都有唯一的函数值y相对应，所以B、C、D错误．故选：A．4．（2023•成武县校级一模）函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＞﹣1且x≠2 C．x≠2 D．x≥﹣1且x≠2【答案】D【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥﹣1且x≠2．故选：D．5．（2023•蕉城区校级开学）一只兔子和一条小狗同时从同一地点向相同方向出发，它们的运动距离与时间关系图象如图所示，则关于该图象下列说法正确的是（）A．小狗的速度始终比兔子快 B．在前5秒内，小狗比兔子快 C．图中BC段表明小狗的速度是4m/s D．整个过程中小狗和兔子的平均速度相同【答案】D【解答】解：由分析得：在前5秒，兔子在相同时间内通过的路程比小狗的路程多，所以兔子的运动速度大于小狗的运动速度．由此判断选项B错误；图中的BC段表示兔子处于静止状态，由此判断选项C是错误的；在4到8秒的时间段，兔子在相同时间内通过的路程比小狗的路程多，所以兔子的运动速度大于小狗的运动速度．整个过程中，小狗和兔子运动路程相同，运动时间相同，所以它们的平均速度相同，选项D正确；故选：D．6．（2022秋•港北区校级期末）如图①，在矩形MMPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（）A．当x＝6时，y＝10 B．当y＝5时，x＝2 C．y的最大值是10 D．矩形MNPQ的周长是18【答案】B【解答】解：由图象可知，四边形MNPQ的边长，PQ＝MN＝5，QM＝NP＝4，A、当x＝6时，点R在线段PQ上，，此选项正确，不符合题意；B、当y＝5时，点R在线段PN或QM上，x＝2或x＝11，此选项答案不全，符合题意；C、y的最大值是10，此选项正确，不符合题意；D、矩形MNPQ的周长是5+4+5+4＝18，此选项正确，不符合题意；故选：B．7．（2023•五华区校级开学）学校教学楼有4层，小青第一节课在四楼上数学课，第二节到二楼上艺术课，第三节到三楼上科学课，中午到一楼食堂吃饭．下面能较准确地描述这件事的是图（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵青第一节课在四楼上数学课，第二节到二楼上艺术课，第三节到三楼上科学课，中午到一楼食堂吃饭，∴准确地描述这件事的是图象是B，故选：B．8．（2023秋•明光市期中）星期天，小马同学骑自行车到图书馆看书，在图书馆看了一会儿书后突然有急事回家，他按原路快速骑自行车回家，下列图象能大致表示出小马同学离家的距离y（km）与时间x（h）之间的关系的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、由图象可知，小马同学去图书馆快于回家的速度，不符合题意，选项错误；B、由图象可知，小马同学没有在图书馆停留，不符合题意，选项错误；C、由图象可知，小马同学去图书馆和回家的速度相等，不符合题意，选项错误；D、由图象可知，小马同学回家的速度快于去图书馆的速度，符合题意，选项正确；故选：D．二．填空题（共5小题）9．（2023秋•无锡期末）已知一根弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为7cm，在弹性限度内，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，则挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数表达式是y＝0.5x+7．【答案】y＝0.5x+7．【解答】解：由题意得，y＝0.5x+7，故答案为：y＝0.5x+7．10．（2023秋•莱芜区期末）“元旦”期间，小明一家人开车到滑雪场滑雪，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶40千米时，发现油箱余油量为35升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．写出余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式为Q＝45﹣0.25x．【答案】Q＝45﹣0.25x．【解答】解：该车平均每千米的耗油量为（45﹣35）÷40＝0.25（升/千米），所以余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式为Q＝45﹣0.25x．故答案为：Q＝45﹣0.25x．11．（2023春•锦江区校级期中）如图1，已知长方形ABCD，动点P沿长方形ABCD的边以B→C→D的路径运动，记△ABP的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为12．【答案】12．【解答】解：从图（2）看，BC＝6，CD＝4，则当x＝6时，点P在点C处，则m＝y＝×AB×BC＝6×4＝12，故答案为：12．12．（2023秋•百色期中）一个长方形的面积为12，一边长为x，另一边长为y，则y与x的函数关系式是．【答案】．【解答】解：∵长方形的面积为12，一边长为x，另一边长为y，∴12＝xy，即．故答案为：．13．（2023春•周村区期末）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点P运动的路程为x，三角形ABP的面积为y，图象如图2所示，则梯形ABCD的面积是26．【答案】26．【解答】解：根据图象得：BC＝4，此时△ABP为16，∴AB•BC＝16，即×AB×4＝16，解得AB＝8；由图象得：DC＝9﹣4＝5，则S梯形ABCD＝×BC×（DC+AB）＝×4×（5+8）＝26，∴AB＝8，梯形ABCD的面积为26．故答案为：26．三．解答题（共3