第03讲 三角函数的实际应用（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-A4

第页第03讲角函数的实际应用1.经历探索不可攀爬物体高度的过程，体会三角函数在解决生活中的应用；2.能够把实际问题转化为数学问题，能够进行三角函数的计算；3.会将类似问题构造直角三角形，利用三角函数的知识解决问题；4.在解决问题中体会数学与生活的联系，发展学生的应用意识知识点1解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

解这类问题的一般过程是：

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.知识点2解直角三角形的应用-坡度坡角在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：

(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.知识点3解直角三角形应用-仰角俯角问题仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.

知识点4解直角三角形应用-方位角问题（1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.

(2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

注意：

1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.

2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.

3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.

【题型1解直角三角形的应用】【典例1】（2023•绿园区一模）如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，BD＝1000米，∠D＝55°，使A、C、E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是（）A．1000sin55°米 B．1000cos35°米 C．1000tan55°米 D．1000cos55°米【答案】D【解答】解：∵∠ABD＝145°，∴∠EBD＝35°，∵∠D＝55°，∴∠E＝90°，在Rt△BED中，BD＝1000米，∠D＝55°，∴ED＝1000cos55°米，故选：D．【变式1-1】（2022秋•丛台区校级期末）如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（）A．米 B．米 C．米 D．6⋅cos52°米【答案】C【解答】解：∵cos∠ACB＝＝＝cos52°，∴AC＝米．故选：C．【变式1-2】（2022秋•临淄区期末）如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C，测得BC＝50米，∠ACB＝46°，则小河宽AB为多少米（）A．50sin46° B．50cos46° C．50tan46° D．50tan44°【答案】C【解答】解：∵AB⊥PB，∴∠ABC＝90°，∵BC＝50米，∠BCA＝46°，∴tan46°＝，∴小河宽AB＝BCtan∠BCA＝50•tan46°（米）．故选：C．【变式1-3】（2023•长春模拟）如图，在天定山滑雪场滑雪，需从山脚下A处乘缆车上山顶B处，缆车索道与水平线所成的∠BAC＝α，若山的高度BC＝800米，则缆车索道AB的长为（）A．800sinα米 B．800cosα米 C．米 D．米【答案】C【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，sinBAC＝，∴AB＝．∵∠BAC＝α，BC＝800米，∴AB＝（米）．故选：C．【典例2】（2023•庐阳区校级模拟）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝80千米，∴CD＝BC•sin30°＝80×＝40（千米），AC＝＝＝40（千米），∴AC+BC＝80+40≈1.41×40+80＝136.4（千米）．∴开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米．（2）∵cos30°＝，BC＝80千米，∴BD＝BC•cos30°＝80×＝40（千米），∵tan45°＝，CD＝40（千米），∴AD＝＝＝40（千米），∴AB＝AD+BD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米）．∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米．【变式2-1】（2023•张店区校级二模）春天是放风筝的好季节，如图，小明在某公园B处放风筝，风筝位于A处，风筝线AB长为50m，从B处看风筝的仰角为37°，小刚从C处看风筝的仰角为60°（A，B，C三点位于同一竖直平面）．（1）风筝离地面多少米？（2）小明和小刚的直线距离BC是多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，，）【答案】（1）30米；（2）57.3米．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：在Rt△ABD中，∵sinB＝，∴AD＝ABsin37°≈50×0.6＝30（m），答：风筝离地面30米．（2）由（1）得，AD＝30m，∵tanB＝，∴；∵tanC＝，∴CD＝＝＝10≈17.3（m），∵BC＝BD+DC，∴BC＝40+17.3＝57.3（m），答：小明和小刚的直线距离BC是57.3米．【变式2-2】（2023春•红旗区校级期末）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，（1）求AP的长？（2）试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？（≈1.732）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意知：PO＝100米，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，在直角三角形BPO中，∵∠BPO＝45°，∴BO＝PO＝100m，在直角三角形APO中，∵∠APO＝60°，∴AO＝PO•tan60°＝100m，∴AP＝＝m；（2）由题意知：PO＝100米，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，在直角三角形BPO中，∴AB＝AO﹣BO＝（100﹣100）≈73米，∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒，∴速度为73÷3≈24.3米/秒＝87.6千米/时＞80千米/时，∴此车超过每小时80千米的限制速度．【题型2解直角三角形的应用-坡度坡角】【典例3】（2023春•中江县期中）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欧减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°，已知原传送带AB长为．（1）新传送带AC＝12m；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断与B点距离为的货物MNOP是否需要挪走，并说明理由．【答案】（1）12；（2）货物MNQP不需要挪走．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝AB＝6（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝12（m），答：新传送带AC的长度为12m；故答案为：12；（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD＝AC•cos∠ACD＝6（m），在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝6（m），∴BC＝CD﹣BD＝（6﹣6）m，∴PC＝BP﹣BC＝6﹣（6﹣6）＝6（m），∵6＞5，∴货物MNQP不需要挪走．【变式3-1】（2023•凤凰县三模）如图是一防洪堤背水坡的横截面，斜坡AB的长为12m，它的坡角度数为45°．为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为的斜坡AD，在CB方向距点B6m处有一座房屋．（参考数据：，．）（1）求∠DAB的度数；（2）在改造背水坡的施工过程中，此房屋是否需要拆除？并说明理由．【答案】（1）15°；（2）此处房屋需要拆除．【解答】解：（1）∵坡度为的斜坡AD，∴tan∠ADC＝＝＝，∴∠ADC＝30°，∴∠DAC＝60°，∵AB的坡角为45°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠DAB＝60°﹣45°＝15°；（2）∵AB＝12m，∠BAC＝∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝×12＝6（m），∴tan30°＝＝，解得：DC＝6，故DB＝DC﹣BC＝6﹣6≈6.216（米），∵6.216＞6，∴此处房屋需要拆除．【变式3-2】（2022秋•阜平县期末）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200m，坡度为1：．将斜坡AB的高度AE降低AC＝20m后，斜坡改造为斜坡CD，其坡度为1：4，求斜坡CD的长．（结果保留根号）【答案】米．【解答】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200米，坡度为1：，∴tan∠ABE＝，∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝100米，∵AC＝20米，∴CE＝80米，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴，即，解得，ED＝320米，∴CD＝＝米，答：斜坡CD的长是米【题型3解直角三角形的应用-仰角俯角问题】【典例4】（2023•山西模拟）某校课外活动小组来到太原古县城进行参观研学，对位于古县城“十字街”的旗亭高度进行了实地测量．项目操作过程如下：如图，测试小组利用测角仪从点D处观测旗亭顶端A点的仰角为24°．在测角仪和旗亭之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到旗亭顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得CE＝2米．已知测角仪的高度CD＝1米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上，求旗亭AB的高度．（结果精确到1米，参考数据：tan24°＝0.45，sin24°≈0.41，cos24°≈0.91）【答案】19米．【解答】解：过点D作DF⊥AB，于点F．根据题意可知∠AEB＝∠DEC．在Rt△CDE中，，∴．设AB＝x米，BE＝2x米，则AF＝（x﹣1）米，DF＝（2x+2）米，在Rt△ADF中，，即，解得x＝19，所以AB＝19米．【变式4-1】（2023•河西区模拟）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为30m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为35°，测得底部C处的俯角为43°，求甲、乙两座建筑物的高度AB和DC．（结果取整数）tan35°≈0.70，tan43°≈0.93【答案】见试题解答内容【解答】解：作DE⊥AB于E，则四边形EBCD为矩形，∴DE＝BC＝30，CD＝BE，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，则AB＝BC•tan∠ACB≈30×0.93＝27.9≈28，在Rt△AED中，tan∠ADE＝，则AE＝DE•tan∠ADE≈30×0.7＝21，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6.9≈7，答：甲建筑物的高度AB约为28m，乙建筑物的高度DC约为7m．【变式4-2】（2023•襄州区模拟）某校数学兴趣小组开展综合实践活动——测量校园内旗杆的高度．如图，已知测倾器的高度为1.5米，在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距4.5米的点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D，N在同一条水平线上，且点M，N，D，A，B，E，C都在同一竖直平面内，点B，E，C在同一直线上），求旗杆顶部离地面的高度MN．（精确到0.1米，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）【答案】9.9米．【解答】解：如图，延长BE交MN于H，则BH⊥MN，设MH＝x米，在Rt△MEH中，∠MEH＝45°，∴EH＝MH＝x米，∴BH＝（x+4.5）米，在Rt△MBH中，∠MBH＝33°，∴tan∠MBH＝，∴≈0.65，解得：x≈8.36，∴MN＝MH+HN＝8.36+1.5≈9.9（米），答：旗杆顶部离地面的高度MN约为9.9米．【变式4-3】（2023•平城区模拟）如图，为了测量某一建筑物MN的高度，数学兴趣小组的同学在点A处测得建筑物顶点M的仰角为63.4°，但是由于该建筑物底部有障碍物不能直接测量，因此到达平台点D处测得建筑物顶点M的仰角为45°．斜坡AD的坡比是1：2.4，点D到地面的距离DC＝5米，测角仪AB，DE的高度为1米．求建筑物MN的高（参考数据sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）．【答案】建筑物MN的高为35米．【解答】解：∵斜坡AD的坡比是1：2.4，DC＝5米，∴AC＝5×2.4＝12（米），∴AD＝＝13（米），过E作EG⊥MN于G，过B作BH⊥MN于H，∴NG＝CE＝CD+DE＝6（米），NH＝AB＝1米，BH＝AN，EG＝CN，设BH＝AN＝x米，则EG＝CN＝（12+x）米，在Rt△MGE中，∵∠MEG＝45°，∴MG＝EG＝（12+x）米，∴MH＝12+x+5＝（17+x）米，在Rt△MHB中，∵∠MBH＝63.4°，∴tan63.4°＝≈2.00，解得x＝17，∴MN＝17+17+1＝35（米），答：建筑物MN的高为35米．【题型4解直角三角形应用-方向角问题】【典例5】（2023•临高县模拟）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛20千米的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．（1）填空：∠ABE＝60度，∠BAC＝45度；（2）渔船航行多远时距离小岛B最近？（结果保留根号）（3）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行10千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？（结果精确到1千米，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.45）【答案】（1）60；45；（2）渔船航行10km时，距离小岛B最近；（3）救援队从B处出发沿着南偏东45°方向航行到达事故地点航程最短，最短航程约为28km．【解答】解：（1）如图：由题意得：∠FBA＝30°，∠DAC＝15°，FB∥AD，∴∠BAD＝∠FBD＝30°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝45°，由题意得：∠FBE＝90°，∴∠ABE＝∠FBE﹣∠FBA＝60°，故答案为：60；45；（2）过点B作BG⊥AC，垂足为G，在Rt△ABG中，AB＝20km，∠BAC＝45°，∴AG＝AB•cos45°＝20×＝10（km），∴渔船航行10km时，距离小岛B最近；（3）如图：在Rt△ABG中，AB＝20km，∠BAC＝45°，∴BG＝AB•sin45°＝20×＝10（km），∠ABG＝90°﹣∠BAC＝45°，由题意得：CG＝10km，在Rt△BGC中，tan∠GBC＝＝＝，∴∠GBC＝60°，∴BC＝＝＝20≈28（km），∵∠ABF＝30°，∴∠CBH＝180°﹣∠ABF﹣∠ABG﹣∠CBG＝45°，∴救援队从B处出发沿着南偏东45°方向航行到达事故地点航程最短，最短航程约为28km．【变式5-1】（2023春•巴南区期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西54°方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里．（1）求点A与点B之间的距离；（2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．【答案】（1）点A与点B之间的距离为1000米；（2）29次．【解答】解：（1）依题意有：AC＝800，BC＝600，∠NCA＝54°，∠SCB＝36°，∴∠ACB＝180°﹣54°﹣36°＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴AB＝（米），答：点A与点B之间的距离为1000米；（2）过C作CD⊥AB于D，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝480（米），∵480＜500，故分别在DB和DA上找点E和点F使CF＝CE＝500，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+DE2＝CE2，∴DE＝＝140（米），同理得：DF＝140（米），当无人机处在EF段时能收到信号，由无人机的速度为10m/s，则无人机飞过此段的时间为：＝14（小时），∴无人机收到信号次数最多为+1＝29（次）．【变式5-2】（2023•江津区二模）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73）【答案】（1）观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；（2）补给船能在83分钟之内到达C处，理由见解答．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AB于D点，∴∠BDP＝∠ADP＝90°，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，∴DP＝BP•sin45°＝20×＝10（海里），BD＝BP•cos45°＝20×＝10（海里），在Rt△PAD中，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝＝＝10（海里），∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，∴观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；（2）补给船能在83分钟之内到达C处，理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，∴∠AFB＝∠CFB＝90°由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠PAD＝45°，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝（5+5）海里，在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴BC＝＝＝（10+10）海里，∴补给船从B到C处的航行时间＝×60＝30+30≈81.9（分钟）＜83分钟，∴补给船能在83分钟之内到达C处．1．（2023•眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是6+6海里．【答案】6+6．【解答】解：过点C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，∴BH＝CH，在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝，∴CH＝（12+CH），解得CH＝6（+1）．答：渔船与灯塔C的最短距离是6（+1）海里．故答案为：6+6．2．（2023•西藏）如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港O，轮船甲沿北偏东60°的方向航行，轮船乙沿东南方向航行，2小时后，轮船甲到达A处，轮船乙到达B处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向．已知轮船甲的速度为每小时25海里，求轮船乙的速度．（结果保留根号）【答案】轮船乙的速度为海里/小时．【解答】解：过O作OD⊥AB于D，在Rt△AOD中，∠AOD＝90°﹣60°＝30°，OA＝25×2＝50（海里），∴OD＝OA•cos30°＝50×＝25（海里），在Rt△ODB中，∠DOB＝45°，∴OB＝OD＝25＝25（海里），∴轮船乙的速度为（海里/小时）．3．（2023•广安）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．（1）求步道DE的长度；（2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．（结果精确到个位）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）【答案】（1）步道DE的长度约为200米；（2）某人从A出发，经过点B到达点D路程较近，理由见解答．【解答】解：（1）如图，过D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得：四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝170米，在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，∴DE＝≈＝200（米），∴步道DE的长度约为200米；（2）某人从A出发，经过点B到达点D路程较近，理由：在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170米，∴EF＝≈≈106.25（米），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣30°＝60°，AC＝170米，∴BC＝AC•tan60°＝170（米），∴AB＝＝＝340（米），∵BD＝100米，∴CD＝BC+BD＝（170+100）米，∵四边形ACDF是矩形，∴AF＝DC＝（170+100）米，∴AE＝AF﹣EF＝170+100﹣106.25＝287.8米，∴某人从A出发，经过点B到达点D路程＝AB+BD＝340+100＝440（米），某人从A出发，经过点E到达点D路程＝AE+DE＝287.8+200＝487.8（米），∵440米＜487.8米，∴某人从A出发，经过点B到达点D路程较近．4．（2023•重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品．经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米．（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：≈1.414，≈1.732）【答案】（1）B养殖场与灯塔C的距离约为2545米；（2）能在9分钟内到达B处．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝3600米，cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝3600×＝1800（米），CD＝×3600＝1800（米）．在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴∠B＝45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝1800（米），∴BC＝＝1800≈1800×1.414≈2545（米）．答：B养殖场与灯塔C的距离约为2545米；（2）AB＝AD+BD＝1800+1800≈1800×1.732+1800≈4917.6（米），600×9＝5400（米），∵5400米＞4917.6米，∴能在9分钟内到达B处．5．（2022•重庆）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．（1）求步道DE的长度（精确到个位）；（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：≈1.414，≈1.732）【答案】（1）DE的长度约为283米；（2）经过点B到达点D较近．【解答】解：（1）过D作DF⊥AE于F，如图：由已知可得四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝200米，∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF＝200≈283（米）；（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，∴EF＝DF＝200米，∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AC＝200米，∴AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，∵BD＝100米，∴经过点B到达点D路程为AB+BD＝400+100＝500米，CD＝BC+BD＝（200+100）米，∴AF＝CD＝（200+100）米，∴AE＝AF﹣EF＝（200+100）﹣200＝（200﹣100）米，∴经过点E到达点D路程为AE+DE＝200﹣100+200≈529米，∵529＞500，∴经过点B到达点D较近．6．（2022•安徽）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．【答案】约96米．【解答】解：∵CE∥AD，∴∠A＝∠ECA＝37°，∴∠CBD＝∠A+∠ADB＝37°+53°＝90°，∴∠ABD＝90°，在Rt△BCD中，∠BDC＝90°﹣53°＝37°，CD＝90米，cos∠BDC＝，∴BD＝CD•cos37°≈90×0.80＝72（米），在Rt△ABD中，∠A＝37°，BD＝72米，tanA＝，∴AB＝≈＝96（米）．答：A，B两点间的距离约96米．7．（2022•青岛）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）【答案】见试题解答内容【解答】解：过点C作CF⊥DE于F，由题意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∵tan∠ACB＝，∴AB＝CB×tan68°≈200×2.48＝496（m），∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m），∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，∴四边形FEBC为矩形，∴CF＝BE＝296m，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∵sin∠D＝，∴CD≈＝462.5（m），答：观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m．8．（2022•辽宁）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，≈1.414）【答案】此时货轮与A港口的距离约为141海里．【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，由题意得：∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，在Rt△ABD中，AB＝100海里，∴AD＝AB•cos50°≈100×0.643＝64.3（海里），BD＝AB•sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），在Rt△BDC中，CD＝＝76.6（海里），∴AC＝AD+CD＝64.3+76.6≈141（海里），∴此时货轮与A港口的距离约为141海里．

一．选择题（共7小题）1．如图，某农林部门用钢管为树木加固，已知钢管AB的长为4米，钢管与地面所成夹角∠1＝52°．则固定点A离地面的高度AC为（）A．米 B．米 C．4cos52°米 D．4sin52°米【答案】D【解答】解：由题意得：AC⊥BC在Rt△ABC中，∠1＝52°，AB＝4米，∴AC＝AB⋅sin55°＝4sin55°米，故选：D．2．为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（）A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，有∠BAC＝α，AC＝30．∴BC＝30tanα．故选：A．3．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝12m，则这棵树CD的高度是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由题意得：CD⊥AB，设BD＝xm，在Rt△CDB中，∠B＝60°，∴CD＝BD•tan60°＝x（m），在Rt△ACD中，∠A＝45°，∴AD＝＝x（m），∵AB＝12m，∴AD+BD＝12，∴x+x＝12，解得：x＝6（﹣1），∴CD＝x＝6（3﹣）m，∴这棵树CD的高度是6（3﹣）m，故选：A．4．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的坡度为i＝1：2.5，过点B作BC⊥AC，垂足为点C，若大厅水平距离AC的长为7.5m，则两层之间的高度BC为（）A．3m B．4m C．5m D．6m【答案】A【解答】解：∵自动扶梯AB的坡度为i＝1：2.5，∴BC：AC＝1：2.5，∵AC＝7.5m，∴BC＝3m，故选：A．5．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离6km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为43°，则这枚火箭此时的高度AL为（）km．A．6sin43° B．6cos43° C． D．6tan43°【答案】D【解答】解：在Rt△ALR中，RL＝6，∠ARL＝43°，∴tanR＝，∴AL＝LR•tanR＝6•tan43°（km）．故选：D．6．周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起去江边垂钓．如图，钓鱼竿AC的长为4m，露在水面上的鱼线BC的长为，刘老师想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′的长度是（）A．3m B．2m C．2m D．3m【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝4m，BC＝2m，∴sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°，∵∠CAC′＝15°，∴∠C′AB＝∠C′AC+∠CAB＝60°，在Rt△C′AB′中，AC′＝4m，∴C′B′＝AC′•sin60°＝4×＝2（m），∴露出水面的鱼线B′C′长度是2m，故选：C．7．如图，小明在M处用高1.5m（即CM＝1.5m）的测角仪测得旗杆AB顶端B的仰角为30°，将测角仪沿旗杆方向前进20m到N处，测得旗杆顶端B的仰角为60°，则旗杆AB的高度为（）A．11.5m B．20m C．m D．m【答案】D【解答】解：∵∠BCE＝30°，∠BDE＝60°，∴∠CBD＝60°﹣∠BCE＝30°＝∠BCE，∴BD＝CD＝20米，在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，即BE＝BD•sin60°＝20×＝10（米），AB＝BE+AE＝（10+1.5）米．即：旗杆AB的高度是（10+1.5）米．故选：D．二．填空题（共4小题）8．如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为（3+）米．（结果保留根号）【答案】（3+）．【解答】解：过点O作OC⊥BT，垂足为C，由题意得：BC∥OM，∴∠AOM＝∠OBC＝45°，∵AB＝6米，AO：OB＝2：1，∴AO＝4米，OB＝2米，在Rt△OBC中，BC＝OB•cos45°＝2×＝（米），∵OM＝3米，∴此时点B到水平地面EF的距离＝BC+OM＝（3+）米，故答案为：（3+）．9．如图，飞机A恰好飞行到地面目标B的正上方2000米处，此时飞行员测得另一地面目标C的俯角为30°，则A、C之间的距离为4000米．【答案】4000．【解答】解：依题意∠ACB＝30°，AB＝2000，∠B＝90°，∴AC＝2AB＝4000，故答案为：4000．10．如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝55cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为65cm．【答案】65．【解答】解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，如图②，∵AC＝BD＝55，∠PCA＝∠BDQ＝30°，∴AE＝AC＝，由对称性可知：BF＝AE，∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝55+10＝65cm，故答案为：65cm．11．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是，坝高BC＝8m，则坡面AB的长度是16m．【答案】16．【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝8m，∴＝＝，解得AC＝8，则AB＝＝16（m）．故答案为：16．三．解答题（共5小题）12．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB＝200cm，遮阳棚前端自然下垂边的长度BC＝25cm，遮阳棚固定点A距离地面高度AD＝296.8cm，遮阳棚与墙面的夹角∠BAD＝72°．（1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角∠CFG＝60°，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长（结果精确到1cm）．（参考数据：sin72°≈0.951，cos72°≈0.309，tan72°≈3.078，≈1.732）【答案】（1）遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm（2）遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm【解答】解：（1）如图，作BE⊥AD于E，∵AB＝200cm，∠BA