第04讲 图形的位似（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-A4

第页第04讲图形的位似1.了解图形的位似，明确位似变换是特殊的相似变换；2.能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；知识点1位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．知识点2位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.注意：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.知识点3平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的知识点4作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接各对应点.注意：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.【题型1位似图形性质】【典例1】（2023•温州模拟）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点D，位似比为2：3，则AB：DE的比值为（）​A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：13【答案】A【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点D，位似比为2：3，∴AB：DE＝2：3，故选：A．【变式1-1】（2022秋•大渡口区校级期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为1：3，已知OA＝3，则OD的长为（）A．4 B．6 C．9 D．15【答案】C【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为1：3，OA＝3，∴OA：OD＝1：3，即3：OD＝1：3，∴DE＝9．故选：C．【变式1-2】（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知△ABC和△DEF位似，位似中心为点O，且，若△ABC的周长为9，则△DEF的周长为（）A．4 B．6 C．12 D．13.5【答案】B【解答】解：∵△ABC和△DEF位似，位似中心为点O，且，∴△ABC∽△DEF，且相似比为，∵△ABC的周长为9，∴△DEF的周长为．故选：B．【典例2】（2023•九龙坡区模拟）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：AD＝1：2，且△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（）A．6 B．9 C．18 D．27【答案】C【解答】解：∵OA：AD＝1：2，∴OA：OD＝1：3，∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，∴△ABC∽△DEF、AB∥DE，∴，∵△ABC∽△DEF，∴，∴S△DEF＝9S△ABC＝9×2＝18．故选：C．【变式2-1】（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知，△ABC的面积为1，则△DEF的面积是（）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】D【解答】解：因为△ABC与△DEF位似，AC：DF＝1：4，所以S△ABC：S△DEF＝1：16，又△ABC的面积为1，所以S△DEF＝16．故选：D．【变式2-2】（2023•雁塔区校级一模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，△ABC面积为1，△DEF面积为9，则的值为（）A． B． C． D．2【答案】B【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，∵△ABC面积为1，△DEF面积为9，∴＝，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴＝＝，∴＝，故选：B．【题型2位似图形的点坐标】【典例3】（2023•北碚区开学）在平面直角坐标系中，点A（﹣6，2），B（﹣4，﹣6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣3，1） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，﹣3）或（2，3） D．（﹣3，1）或（3，﹣1）【答案】D【解答】解：∵点A（﹣6，2），B（﹣4，﹣6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标为（﹣6×）或（﹣6×，2×），即A'（﹣3，1）或（3，﹣1），故选：D．【变式3-1】（2022秋•邯山区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，2）或（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）【答案】D【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点B（﹣9，﹣3）的对应点B′的坐标是（﹣3，﹣1）或（3，1）．故选：D．【变式3-2】（2023春•聊城月考）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，而点A坐标为（﹣4，2），∴点A的对应点A'的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选：D．【变式3-3】（2022秋•西岗区校级期末）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，将△EFO放大为原来的2倍，则点E的对应点E1的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】C【解答】解：∵原点O为位似中心，将△EFO放大为原来的2倍，点E的坐标为（﹣4，2），∴点E的对应点E1的坐标为（﹣4×2，2×2）或（﹣4×（﹣2），2×（﹣2）），即（﹣8，4）或（8，﹣4），故选：C．【题型3判定位似中心】【典例4】（2023春•招远市期末）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是（）A．（0，0） B．（2，1） C．（4，2） D．（5，0）【答案】C【解答】解：如图，分别连接OA、DB、EC，其所在直线交于点G（4，2），则点G为所求的位似中心，故选：C．【变式4-1】（2023•遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（）A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）【答案】A【解答】解：如图：△ABC与△DEF的对应顶点的连线相交于点（﹣1，0），则位似中心的坐标为（﹣1，0）．故选：A．【变式4-2】（2022秋•定州市期末）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（）A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）【答案】D【解答】解：如图所示：位似中心的坐标为（0，﹣1）．故选：D．【题型4位似图形-作图】【典例5】（2023春•桓台县期末）如图，已知点O是坐标原点，小方格的边长为1，B（2，2）．（1）以点A为位似中心，在x轴的上方将△ABC放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为2），画出对应的△AB'C'；（2）直接写出四边形CBB'C'的面积：16.5．【答案】（1）作图见解析部分；（2）16.5．【解答】解：（1）如图，△AB′C′即为所求；（2）四边形CBB′C′的面积＝5×7﹣×1×3﹣×6×4﹣×2×3﹣×1×4＝16.5．故答案为：16.5．【变式5-1】（2023•潮阳区模拟）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2：1；（2）△A1B1C1的面积为28．【答案】（1）图形见解答；（2）28．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求三角形；（2）如图，分别过点A1、C1作y轴的平行线，过点B1作x轴的平行线，交点分别为E、F，∵A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5），△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为2：1，∴A1（﹣2，4），B1（4，2），C1（8，10），∴△A1B1C1的面积＝8×10﹣×6×2﹣×4×8﹣×6×10＝【变式5-2】（2023•灞桥区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（6，3），B（0，6）．（1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABO缩小得到△A1B1O，相似比为，请画出△A1B1O；（2）直接写出点A1的坐标（3，1.5）．【答案】（1）见解析；（2）3，1.5．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1O即为所求；（2）点A1的坐标（3，1.5）．故答案为：3，1.5．1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）【答案】C【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，∵点C的坐标为（3，2），∴点F的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），故选：C．2．（2022•梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知＝，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是（）A．4 B．6 C．16 D．18【答案】D【解答】解：∵以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，＝，∴＝＝，则四边形A′B′C′D′面积为：18．故选：D．3．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是4：9．【答案】4：9．【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3，∴△ABC与△DEF的面积之比为22：32＝4：9．故答案为：4：9．4．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且＝3．若A（9，3），则A1点的坐标是（3，1）．【答案】（3，1）．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，且原点O为位似中心，且＝3，点A（9，3），∴×9＝3，×3＝1，即A1点的坐标是（3，1），故答案为：（3，1）．5．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为1：3．【答案】1：3．【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3，故答案为：1：3．6．（2023•绥化）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，点A是位似中心，已知点A（2，0），点C（a，b），∠C＝90°．则点C′的坐标为（6﹣2a，﹣2b）.（结果用含a，b的式子表示）【答案】（6﹣2a，﹣2b）．【解答】解：过C作CM⊥AB于M，过C′⊥AB′于N，则∠ANC′＝∠AMC＝90°，∵△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，∴，∵∠NAC′＝∠CAM，∴△ACM∽△AC′N，∴，∵点A（2，0），点C（a，b），∴OA＝2，OM＝a，CM＝b，∴AM＝a﹣2，∴，∴AN＝2a﹣4，C′N＝2b，∴ON＝AN﹣OA＝2a﹣6，∴点C′的坐标为（6﹣2a，﹣2b），故答案为：（6﹣2a，﹣2b）．7．（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点A（4，0），点C（2，0），则△OAB与△OCD周长的比值是2．【答案】2．【解答】解：∵△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O，而点A（4，0），点C（2，0），∴相似比为4：2＝2：1，∴△OAB与△OCD周长的比值为2．故答案为：2．8．（2023•东营区校级模拟）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，其中点A（2，1），则位似中心的坐标是（4，2）．【答案】（4，2）．【解答】解：如图所示：位似中心的坐标是（4，2），故答案为：（4，2）．9．（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．【答案】（1）见解答；（2）B2（﹣4，﹣6）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣4，﹣6）；1．（2023秋•成都期中）如图，△A′B′C和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，OA'＝2AA'，则△A′B′C和△ABC的相似比为（）A．1：4 B．1：3 C．4：9 D．2：3【答案】D【解答】解：∵OA'＝2AA'，∴OA：OA'＝2：3，∵△A′B′C和△ABC是位似三角形，∴AC∥A′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴＝＝，故选：D．2．（2023秋•秦都区校级期中）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是4：3，则AO：DO的值为（）A．4：7 B．4：3 C．3：4 D．16：9【答案】B【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∵△ABC与△DEF的周长之比是4：3，∴AB：DE＝4：3，∵AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴AO：DO＝AB：DE＝4：3，故选：B．3．（2023•海淀区二模）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形可以是（）A．△DEF B．△DHF C．△GEH D．△GDH【答案】C【解答】解：∵△ABC与△GEH是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，∴△ABC与△GEH是位似图形，故选：C．4．（2023秋•覃塘区期中）若两个直角三角形都有一个30°的内角，则这两个直角三角形一定（）A．全等 B．相似 C．位似 D．无法确定【答案】B【解答】解：如果两个直角三角形都有一个30°的内角，那么这两个三角形有两角对应相等，所以这两个三角形相似，因为没有给出对应边的关系，所以两个三角形不一定全等，故选：B．5．（2023秋•兴隆县期中）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，已知点A（2，1），则位似中心的坐标是（）A．（1，5） B．（4，2） C．（1，4） D．（5，2）【答案】B【解答】解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心，如图，∴M点坐标为（4，2），故答案为：B．6．（2023秋•北碚区校级月考）已知关于原点位似的两个图形上，一组对应点的坐标分别为（1，﹣2）和（﹣2，x），则x＝（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【答案】C【解答】解：∵两个图形关于原点位似，一组对应点的坐标分别为（1，﹣2）和（﹣2，x），∴＝，解得：x＝4，故选：C．7．（2023春•北碚区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，以点P（0，1）为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'，若点A的纵坐标是2，点A的对应点A'的纵坐标是4，则△ABC与△A'B'C'的面积之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：9 D．4：9【答案】C【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点A'作A'E'⊥y轴于点E'，以点P（0，1）为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'，∵点A的纵坐标是2，点A的对应点A'的纵坐标是4，∴PE＝OE﹣OP＝2﹣1＝1，PE'＝OE'﹣OP＝4﹣1＝3，∵AE⊥y，A'E'⊥y，即：A'E'∥AE，∴，即△ABC与△A'B'C'的相似比为1：3，∴△ABC与△A'B'C'的面积之比为1：9，故选：C．8．（2023•庐阳区一模）△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（）A．（1，2） B．（1，2）或（﹣1，﹣2） C．（2，1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）【答案】B【解答】解：以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，得到△A'B'O，点A的坐标为（2，4），则点A'的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，即（1，2）或（﹣1，﹣2），故选：B．9．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，△AOB与△CDB关于点B位似，其中B（1，1），D（4，4），则△AOB与△CDB的面积之比是（）A．1：4 B．1：3 C．1：16 D．1：9【答案】D【解答】解：∵B（1，1），D（4，4），∴，，∵△AOB与△CDB关于点B位似，且相似比为，∴△AOB与△CDB的面积比为1：9，故选：D．10．（2023•锡山区校级四模）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若AB：A′B′＝1：2，则四边形A′B′C′D′的外接圆的半径为（）A． B．2 C． D．4【答案】C【解答】解：连接B′D′，∵四边形A′B′C′D′是正方形，∴∠B′C′D′＝90°，∴B′D′是圆O的直径，∵正方形ABCD的面积为4，∴正方形ABCD的边长为2，∵正方形ABCD的与A′B′C′D′是位似图形，AB：A′B′＝1：2，∴B′C′＝C′D′＝4，∴B′D′＝＝4，∴四边形A′B′C′D′的外接圆的半径为2，故选：C．11．（2023•广阳区二模）如图，△ABC与△DEC都是等边三角形，固定△ABC，将△DEC从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在△DEC旋转的过程中，下列说法正确的是（）A．△DEC总与△ABC位似 B．△DEC与△ABC不会位似 C．当点D落在CB上时，△DEC与△ABC位似 D．存在△DEC的两个位置使得△DEC与△ABC位似【答案】D【解答】解：∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴△ABC总与△DEC相似．∵在△DEC旋转的过程中，只有当点D落在线段AC和线段AC的延长线上，AD和BE相交于点C，∴在△DEC旋转的过程中，只有当点D落在线段AC和线段AC的延长线上，△DEC与△ABC位似．故选：D．12．（2023秋•滕州市期中）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A2023的坐标为（672，675）．【答案】（672，675）．【解答】解：∵A1（﹣2，1），A4（﹣1，2），A7（0，3），A10（1，4），…，∴A3n﹣2（n﹣3，n），∵2023＝3×675﹣2，∴A2023的坐标为