2023-2024学年北京十四中高一（上）期中数学试卷和答案

高中PAGE1高中2023北京十四中高一（上）期中数学2023.11出题人：高一备课组审核人：高一备课组注意事项1．本试卷共4页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．答题不得使用任何涂改工具.第一部分一、选择题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.方程组的解集是（）A. B.C. D.3.已知命题：，，那么是（）A.， B.，C.， D.，4.设，且，则（）A. B. C. D.5.已知，，，则xy的最大值是（）A. B. C. D.16.已知，那么（）A.-1 B. C. D.17.函数的零点个数是（）A.0 B.1 C.2 D.38.已知函数的定义域为，则“”是“是奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.设函数若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.10.如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（）A. B. C. D.第二部分二、填空题共5小题．11.函数的定义域为________．12.若关于的方程的两根的平方和为3，则实数______．13.已知函数若，则实数______；函数的值域为______14.已知函数的定义域为．能够说明“若在区间上的最大值为，则是增函数”为假命题的一个函数是_________．15.调查显示，垃圾分类投放可以带来约元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积分分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于，则额外奖励分（为正整数）.月底积分会按照元/分进行自动兑换.①当时，若某家庭某月产生生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的%，则的最大值为___________.三、解答题共6小题．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.设全集，集合，集合，其中．（1）当时，求，；（2）若，求的取值范围．17.已知函数，其中．（1）当时，求函数的图象与直线交点的坐标；（2）若函数有两个不相等的负实数零点，求a的取值范围；（3）若函数在上不单调，求a的取值范围．18.已知a，b都是正实数，（1）试比较与的大小，并证明；（2）当时，求证：．19.已知函数．（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）用定义证明函数在上单调递增；（3）画出函数的图像，并直接写出函数的值域．20.某机床厂今年年初用98万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和t（单位：万元）与使用时间x（，单位：年）之间的函数关系式为：．该机床每年的生产总收入为50万元．设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）？（3）使用若干年后，对该机床的处理方案有两种：①当盈利额达到最大值时，以12万元价格再将该机床卖出．②当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格再将该机床卖出；研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．21.设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．（1）当时，写出集合A的生成集B；（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．

参考答案第一部分一、选择题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】B【分析】利用并集的定义可求.【详解】,故选：B2.【答案】C【分析】直接求出方程组的解，再用列举法表示即可.【详解】由，消去得，解得，所以方程组的解为或，所以方程组的解集.故选：C3.【答案】B【分析】由特称命题的否定，直接判断得出答案.【详解】解：已知命题：，，则为：，.故选：B4.【答案】D【分析】根据不等式的基本性质，以及函数的单调性，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当时，可得，所以A不正确；对于B中，由，因为，则，但符号不确定，所以B错误；对于C中，例如，可得，所以C错误；对于D中，由函数为单调递增函数，所以，所以D正确.故选：D.5.【答案】B【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】由于，，，所以，故，当且仅当，即时等号成立，故选：B6.【答案】D【分析】根据题意，令，代入即可求解.【详解】由函数，令，可得.故选：D.7.【答案】B【分析】令求出方程的解，即可判断.【详解】令，即，解得，所以函数有且仅有一个零点.

故选：B8.【答案】B【分析】通过反例和奇函数的性质可直接得到结论.【详解】若，则，此时为偶函数，充分性不成立；若为奇函数，且其定义域为，则恒成立，必要性成立；函数的定义域为，则“”是“是奇函数”的必要不充分条件.故选：B.9.【答案】D【分析】根据函数图象即可求解.【详解】作出函数的图象如下：当时，即，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递增，故a的取值范围为，故选：D10.【答案】C【分析】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小．【详解】依题意，有，所以，同理，，所以，同理，，所以，所以．故选：C．【点睛】本题主要考查不等关系的判断，属于基础题．第二部分二、填空题共5小题．11.【答案】【分析】根据题意列关于的不等式组即可求解.【详解】由题要使得有意义，则，故且，从而的定义域为，故答案为：.12.【答案】【分析】设方程的两根分别为，结合二次函数的性质得到，且或，再由方程的两根的平方和为3，列出方程，即可求解.【详解】设的两根分别为，可得，且，解得或，因为方程的两根的平方和为3，所以，解得或（舍去），所以.故答案为：.13.【答案】①.②.【分析】根据分段函数的性质，令、解之即可；结合和即可求出函数的值域.【详解】当时，，解得；当时，，解得（舍去），所以；当时，；当时，，所以函数的值域为.故答案为：；.14.【答案】，（答案不唯一）【分析】利用二次函数的性质写出一个函数即可【详解】对于函数，，函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以在区间上的最大值为，但是函数在上不具有单调性，故命题“若在区间上的最大值为，则是增函数”为假命题.故答案为：，（答案不唯一）15.【答案】①.②.【分析】①计算出该家庭月底的积分，再拿积分乘以可得出该家庭该月积分卡能兑换的金额；②设每个家庭每月产生的垃圾为，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为元，分、两种情况讨论，计算的表达式，结合可求得的最大值.【详解】①若某家庭某月产生生活垃圾，则该家庭月底的积分为分，故该家庭该月积分卡能兑换元；②设每个家庭每月产生的垃圾为，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为元.若时，恒成立；若时，，可得.故的最大值为.故答案为：①；②.三、解答题共6小题．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1），（2）或【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，解绝对值不等式求出集合，再根据集合的运算法则计算可得；（2）由，可得或，解得即可.【小问1详解】由，即，解得或，所以或，则，由，即，解得，所以，当时，，所以，.【小问2详解】因为且，所以或，解得或，即的取值范围为或.17.【答案】（1），（2）（3）【分析】（1）由得，解方程即可；（2）利用转化的思想可知方程有两个不相等的负实数根，进而，解之即可；（3）根据二次函数的性质可得，即可求解.【小问1详解】当时，，由，即，解得，所以函数的图象与直线的交点为，；【小问2详解】若函数有两个不相等的负实数零点，则方程有两个不相等的负实数根，有，解得所以a的取值范围是；【小问3详解】依题意：二次函数的对称轴方程为，则，即a的取值范围是．18.【答案】（1），证明见详解（2）证明见详解【分析】（1）利用做差法可得答案；（2）利用基本不等式可得答案．【小问1详解】结论：，当且仅当时，等号成立.证明：，因为a，b都是正数，所以，当且仅当时，等号成立，即，当且仅当时，等号成立；【小问2详解】因为a，b，c都是正数，且，所以，当且仅当时，等号成立．19.【答案】（1）是奇函数，证明见详解（2）证明见详解（3）图像见详解，【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，（2）根据函数单调性的定义即可求解，（3）根据描点法即可求解.【小问1详解】函数是奇函数，证明如下：函数的定义域为R，关于原点对称，且所以函数是奇函数．【小问2详解】任取，且则因为，所以，，即从而所以函数在上单调递增【小问3详解】由于，故描点可得图象为，函数的值域为：20.【答案】（1）（2）（3）方案（2）比较合理，理由见详解【分析】（1）根据题意，即可得到使用年后数控机床的盈利额为的函数关系式；（2）由（1）中与之间的函数关系式，令，列出不等式，即可求解；（3）根据题意，求得每种方案的总盈利，比较大小，即可得到结论.【小问1详解】解：由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和与使用时间之间的函数关系式为，且该机床每年的生产总收入为万元，设使用年后数控机床的盈利额为万元，可得与之间的函数关系式．【小问2详解】解：由（1）知：令，可得，解得，因为，所以且，故从第年开始盈利.【小问3详解】解：由（1）知因为，所以按第一方案处理总例如为万元；又由，当且仅当时，即时，等号成立，所以当第年时，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利万元；由于第二方案使用的时间短，则选第二方案较为合理.21.【答案】（1）（2）7（3）不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】