压轴题16圆与相似三角函数的计算与证明问题-2023年中考数学压轴题专项训练

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题16圆与相似三角函数的计算与证明问题例1．（2023•利辛县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G．（1）求证：∠A＝∠BFG；（2）求FG的长．【分析】（1）连接OF，利用已知条件证明∠BFG+∠B＝90°，即可得到FG⊥AB，最后利用同角的余角相等即可求解；（2）连接DF，先利用勾股定理求出AB＝5，进而求出CD＝BD＝2.5，再求出CF＝2，进而求出DF＝1.5，利用面积法即可得出结论．【解答】（1）证明：连接OF，∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴DC＝DB＝DA，∵CD是直径，∴∠CFD＝90°，即DF⊥BC，∴CF＝FB，∵OC＝OD，CF＝BF，∴OF是△CDB的中位线，∴OF∥BD，∴∠OFC＝∠B，∵FG是⊙O的切线，∴∠OFG＝90°，∴∠OFC+∠BFG＝90°，∴∠BFG+∠B＝90°，∴∠FGB＝90°，∴∠GFB+∠B＝90°，而∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠BFG；（2）解：连接DF，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝5，∴点D是AB中点，∴CD＝BD=12AB＝∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，∴BF＝CF=12BC＝∴DF=2.52∴S△BDF=12×DF×BF=1∴FG=DF×BF【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出FG⊥AB是解本题的关键．例2．（2023•金牛区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，点E是边AC的中点，直线ED、BC交于点F．（1）求证：直线DE是圆O的切线；（2）若BC＝6，sin∠A=35，求线段【分析】（1）连接OD、CD，由BC为⊙O的直径，得∠BDC＝∠ADC＝90°，由点E是边AC的中点，得DE＝AE＝CE，则∠FDB＝∠EDA＝∠A，所以ODF＝∠ODB+∠FDB＝∠OBD+∠A＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；（2）先证明∠BCD＝∠A，则BDBC=sin∠BCD＝sinA=35，所以BD=35BC=185，由勾股定理得DC=BC2-BD2=245，则BDDC=34，再证明△FDB∽△FCD，得BFDF=DFCF【解答】（1）证明：连接OD、CD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°，∵点E是边AC的中点，∴DE＝AE＝CE=12∴∠FDB＝∠EDA＝∠A，∵∠ACB＝90°，∴∠ODF＝∠ODB+∠FDB＝∠OBD+∠A＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠BCD＝∠A＝90°﹣∠ABC，BC＝6，∴BDBC=sin∠BCD＝sinA∴BD=35BC=3∴DC=B∴BDDC∵∠FDB＝∠EDA＝∠A，∴∠FDB＝∠FCD，∵∠F＝∠F，∴△FDB∽△FCD，∴BFDF∴DF=43BF，DF2＝BF•CF＝BF（BF∴（43BF）2＝BF（BF+6解得BF=547或BF＝∴线段BF的长度是547【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．例3．（2023•工业园区校级模拟）如图，锐角△ABC中∠A的平分线交BC于点E，交△ABC的外接圆于点D、边BC的中点为M．（1）求证：MD垂直BC；（2）若AC＝5，BC＝6，AB＝7．求BDAD（3）作∠ACB的平分线交AD于点P，若将线段MP绕点M旋转180°后，点P恰好与△ABC外接圆上的点P'重合，则tan∠BAC＝3．【分析】（1）先判断出BD＝CD，即可得出结论；（2）先判断出△DBE∽△DAB，得出BE=7BDAD，同理△DEC∽△DCA，得出CE（3）如图，连接BP、BP′、CP′，先判断出∠BP'C+∠BAC＝180°，进而判断出∠BAC＝60°，再利用特殊角三角函数值即可．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴BD=∴BD＝CD，又∵M是BC的中点，∴MD⊥BC；（2）解：∵∠DBC与∠CAD都是CD所对的圆周角，∴∠DBC＝∠CAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠DBC，又∵∠D是公共角，∴△DBE∽△DAB，∴DBBE=DA∵AB＝7，∴BE=7BD同理，△DEC∽△DCA，∴CEAC∵BD＝CD，AC＝5，∴CE=5BD∵BE+CE＝BC＝6，∴7BDAD+∴BDAD（3）解：如图，连接BP、BP′、CP′，∵M是BC的中点，点P与点P'关于点M对称，∴四边形BPCP'是平行四边形，∴∠BP'C＝∠BPC，∵点P′在圆上，∴∠BP'C+∠BAC＝180°，∵点P是△ABC两个内角∠BAC与∠ACB的角平分线交点，∴BP平分∠ABC，∴∠BPC＝90°+12∠∴∠BP′C＝90°+12∠∴90°+12∠BAC+∠BAC＝∴∠BAC＝60°，∴tan∠BAC＝tan60°=3故答案为：3．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，角平分线，圆周角定理，三角形内心，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角三角函数值，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．例4．（2023•宁波一模）如图1，AC为▱ABCD的对角线，△ABC的外接圆⊙O交CD于点E，连结BE．（1）求证：∠BAC＝∠ABE．（2）如图2，当AB＝AC时，连结OA、OB，延长AO交BE于点G，求证△GOB∽△GBA．（3）如图3，在（2）的条件下，记AC、BE的交点为点F，连结AE、OF．①求证：BG2﹣GF2＝GF•EF．②当EFFG=79时，求【分析】（1）根据平行四边形的性质以及圆周角定理即可证明；（2）由垂径定理证明∠BAG＝∠CAG，再推出∠OAB＝∠OBA＝∠OBG，即可证明结论；（3）①由△GOB∽△GBA，推出BG2＝GO•GA，再证明△BAG≌△CAG，推出∠ABG＝∠ACG，得到△GCF∽△GEC，推出GC2＝GF•GE，计算即可证明结论；②设EF＝CF＝7a，得到FG＝9a，GE＝9a，BG＝CG＝12a，由角平分线的性质求得CE=283a，证明△CEF∽△ABF，求得AB＝28a，由角平分线的性质推出GO=37OA，在Rt△ABH和Rt△OBH中，求得【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∵弧BC＝弧BC，∴∠BAC＝∠BEC，∴∠BAC＝∠ABE；（2）证明：∵AB＝AC，AO经过圆心，∴∠BAG＝∠CAG，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠BAC＝∠ABE，∴∠OAB＝∠OBA＝∠OBG，又∠BGO＝∠AGB，∴△GOB∽△GBA；（3）①证明：连接CG，∵△GOB∽△GBA，∴BGGA∴BG2＝GO•GA，∵AB＝AC，∠BAG＝∠CAG，AG＝AG，∴△BAG≌△CAG（SAS），∴BG＝CG，∠ABG＝∠ACG，∵∠ABG＝∠BEC，∴∠GCF＝∠GEC，∴△GCF∽△GEC，∴GCGE∴GC2＝GF•GE，∴GF•EF+GF2＝GF（EF+GF）＝GF•GE＝GC2＝BG2，∴BG2﹣GF2＝GF•EF；②解：延长AO交BC于点H，∵∠ABE＝∠ACE＝∠BEC，∴EF＝FC，∵EFFG设EF＝CF＝7a，则FG＝9a，GE＝16a，∴BG＝CG=GF⋅GE=12∵EFFG∴S△CEF∵∠GCF＝∠ECF，即CF是∠ECG的平分线，∴点F到∠ECG两边的距离相等，∴S△CEF∴CE=28∵AB∥CD，∴△CEF∽△ABF，∴CEAB即283∴AB＝28a，由（2）可知：OB是∠ABG的平分线，同理BGBA即12a28a∴GO=3设⊙O的半径为R，∵BG2＝GO•GA，∴（12a）2=3解得：R2即a2设OH＝x，在Rt△ABH和Rt△OBH中，（28a）2﹣（R+x）2＝R2﹣x2，整理得：xR即OHOB∵∠CAE＝∠CBE，∠CAG＝∠OBG，∴∠EAG＝∠OBH，∴sin∠EAG=sin∠OBH=OH【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，本题难度大，明确题意，找出所求问题需要的条件是解答本题的关键．1．（2023•碑林区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在CD上取一点E，使BE=CD，连接DE作射线CE交AB边于点（1）求证：∠A＝∠ACF；（2）若AC＝8，cos∠ACF=45，求BF及【分析】（1）根据Rt△ABC中，∠ACB＝90°，得到∠A+∠B＝∠ACF+∠BCF＝90°，根据BE＝CD，得到∠B＝∠BCF，推出∠A＝∠ACF；（2）根据∠B＝∠BCF，∠A＝∠ACF，得到AF＝CF，BF＝CF，推出AF=BF=12AB，根据cos∠ACF=cosA=ACAB=45，求出BF＝5；连接CD，解Rt△CDB求出BD，进而求出DF，再证明DE∥【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝∠ACF+∠BCF＝90°，∵BE＝CD，∴∠B＝∠BCF，∴∠A＝∠ACF；（2）解：∵∠B＝∠BCF，∠A＝∠ACF，∴AF＝CF，BF＝CF，∴AF=BF=1∵cos∠ACF=cosA=ACAB=45，AC∴AB＝10，∴BF＝5，∵BC=A∴sinA=BC连接CD，BE，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∠BEC＝90°，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴sin∠BCD=BD∴BD=3∴DF=BF-BD=5-18∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∵∠CBE＝∠CDE，∴∠CDE+∠BCE＝90°，∵∠BDC＝90°，∴∠CDE+∠FDE＝90°，∴∠FDE＝∠BCE，又∵∠B＝∠BCE，∴∠FDE＝∠B，∴DE∥BC，∴△FDE∽△FBC，∴DEBC∴DE=DF综上可知：BF＝5，DE=42【点评】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．2．（2023•新抚区三模）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，且sin∠BAE=35，求【分析】（1）利用垂直的定义，圆周角定理与已知条件得到∠ABC+∠CBD＝90°，则OB⊥BD，利用圆的切线的判定定理解答即可；（2）利用直径所对的圆周角为直角和直角三角形的边角关系定理求得BE，利用垂径定理得到EC＝BE＝6；利用相似三角形的判定与性质得到BHEH=53．设BH＝5x，则EH【解答】（1）证明：∵OF⊥BC，∴∠ODB+∠CBD＝90°，∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ABC+∠CBD＝90°，∴∠OBD＝90°，∴OB⊥BD，∵OB为⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为5，∴AB＝10．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．∵sin∠BAE=35，sin∠BAE∴BEAB∴BE＝6，∵OF⊥BC，∴BE=∴BE＝CE＝6．∵∠A＝∠C，∠ABC＝∠AEC，∴△ABH∽△CEH，∴BHEH设BH＝5x，则EH＝3x．在Rt△BHE中，∵BE2+EH2＝BH2，∴62+（3x）2＝（5x）2，∵x＞0，∴x=3∴EH＝3x=9【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．3．（2023•达州一模）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2＝AB•AF．【分析】（1）连接CD，OC，利用直径所对的圆周角为直角得到∠D+∠DAC＝90°，利用等量代换和圆周角定理得到∠DAP＝90°，利用圆的切线的判定定理解答即可；（2）连接BG，利用垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】（1）解：直线PA与⊙O的位置关系：直线PA与⊙O相切，理由：连接CD，OC，如图，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠DAC＝90°．∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，∴∠D＝∠PAC．∴∠PAC+∠DAC＝90°，∴∠DAP＝90°，∴OA⊥PA，∵OA为⊙O的半径，∴直线PA与⊙O相切；（2）证明：连接BG，∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴AC=∴∠ABG＝∠AGC，∵∠GAF＝∠BAG，∴△AFG∽△AGB，∴AGAB∴AG2＝AB•AF．【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．4．（2023春•鼓楼区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC．（1）在AC上取点E，使得AD2＝AB•AE（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接EO、OD，若∠BAC＝60°，求sin∠DEO的值．【分析】（1）如图：过D作DE⊥AC交AC于E即可解答；（2）连接EO、OD，设AB＝2x，则OA＝OD＝OB＝x；由角平分线的定义可得∠EAD＝∠DAB＝30°，进而得到∠EAD＝∠ADO＝30°；再由圆周角定理可得∠ADB＝90°，进而得到BD=12AB=x，∠ADB＝∠AED＝90°；运用勾股定理可得AD=5x，再由AD2＝AB•AE可得AE=52x；再证△ADE∽△ABD并运用其性质列式可得【解答】解：（1）如图：过D作DE⊥AC交AC于E，点E即为所求．（2）设AB＝2x，则OA＝OD＝OB＝x，如图：连接EO、OD，∵∠BAC＝60°，弦AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB＝30°，∵OA＝OD，∴∠EAD＝∠ADO＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD=12AB=x，∠ADB＝∠AED∴AD2＝AB2+BD2＝（2x）2+x2＝5x2，即AD=5∵AD2＝AB•AE，∴AE=A∵∠ADB＝∠AED＝90°，∠EAD＝∠DAB＝30°，∴△ADE∽△ABD，∴DEBD=AE解得：DE=5∵过D作DE⊥AC交AC与E，即DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴OE=E∴sin∠DEO=OD【点评】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定、尺规作图、勾股定理、正弦等知识点，综合应用相关知识成为解答本题的关键．5．（2023•长春一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AD：AO＝5：3，BC＝4，则BD的长为245【分析】（1）连接OD，根据OD＝OA，得到∠A＝∠ADO，根据∠C＝90°得到∠CDB+∠CBD＝90°，结合∠CBD＝∠A即可得到答案；（2）连接DE，根据∠ADE＝90°＝∠C，∠CBD＝∠A得到△ADE∽△BCD，即可得到ADBC【解答】（1）证明：连接OD，∵点D在⊙O上，∴OD＝OA，∴∠A＝∠ADO，∵∠C＝90°，∴∠CDB+∠CBD＝90°，∵∠CBD＝∠A＝∠ADO，∴∠CDB+∠ADO＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BD，∵点D在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；（2）解：连接DE，∵AD：AO＝5：3，设AO＝3x，则AD＝5x，AE＝2AO＝6x，∵AE是直径，∴∠ADE＝90°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠CBD＝∠A，∴△BCD∽△ADE，∴BCAD∴45x∴BD=24【点评】本题考查切线证明及相似三角形判定与性质，解题的关键是作出辅助线得到角度相等的条件．6．（2023•雁塔区校级四模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF．（1）求证：BD＝BE；（2）若DE＝2，BD=5，求AE【分析】（1）利用角平分线的定义，直径所对的圆周角为直角，对顶角相等，切线的性质定理和等角的余角相等得到∠DEB＝∠D，再利用等腰三角形的判定定理解答即可；（2）利用（1）的结论和等腰三角形的三线合一的性质得到DF的长，再利用切割线定理求得AD，则AE＝AD﹣DE．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠CAE+∠CEA＝90°，∵∠DEB＝∠CEA，∴∠DEB+∠DAB＝90°，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠BAD+∠D＝90°，∴∠DEB＝∠D，∴BD＝BE；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴BF⊥DE，∵BD＝BE，∴EF＝DF=12DE＝∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∵BF⊥AD，∴Rt△BDF∽Rt△ADB，∴DFBD∴BD2＝DF•DA，∴（5）2＝1×AD，∴AD＝5，∴AE＝AD﹣DE＝5﹣2＝3．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定定理与性质定理，圆的切割线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．7．（2023•碑林区校级四模）如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，且AC＝AB，连接CB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接BE交⊙O于点F，连接AD，CF，DF，AF．（1）求证：CE2＝EF•EB；（2）若DF＝1，求AF的长．【分析】（1）利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和相似三角形的判定与性质得到AE2＝EF•BE，再利用线段中点的定义和等量代换的性质解答即可；（2）利用相似三角形的判定与性质得到△CEF∽△BEC，则∠ECF＝∠EBC，∠EFC＝∠ECB；证得△CEF∽△BDF，列出比例式求得线段EF；再证得△AEF∽△BAF，利用相似三角形的性质列出比例式即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BE．∵AC是⊙O的切线，∴AC⊥AB，∴△AEF∽△BEA，∴AEEF∴AE2＝EF•BE．∵E为AC的中点，∴AE＝EC，∴CE2＝EF•EB；（2）解：∵CE2＝EF•EB，∴CEEF∵∠CEF＝∠BEC，∴△CEF∽△BEC．∴∠ECF＝∠EBC，∠EFC＝∠ECB．∵AC＝AB，AC⊥AB，∴∠∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠EFC＝45°．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∵∠DFB＝∠DAB，∴∠DFB＝45°，∴∠EFC＝∠DFB＝45°．∵∠ECF＝∠DBF，∴△CEF∽△BDF，∴EFDF∵AB＝AC，∠CAB＝90°，AD⊥BC，∴AD＝CD＝BD=22∵E为AC的中点，∴CE=12∴CEBD∴EF1∴EF=2∵E为AC的中点，AB＝AC，∴AE=12∵∠EAB＝90°，AF⊥BE，∴△AEF∽△BAF，∴EFAF∴AF＝2EF=2【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，圆的切线的性质定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．8．（2023春•江宁区校级月考）我们知道，对于线段a，b，c，如果a2＝b•c，那么线段a叫做线段b和c的比例中项．（1）如图1，直线l与⊙O相切于点A，B是l上一点，连接OB，C是OB上一点．若⊙O的半径r是OB与OC的比例中项，请用直尺和圆规作出点C．（保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，A是⊙O1外一点，以O1A为直径的⊙O2交⊙O1于点B，C，O1A与BC交于点D，E为直线BC上一点（点E不与点B，C，D重合），作直线O1E，与⊙O2交于点F．若⊙O1的半径是r，求证：r是O1E与O1F的比例中项．【分析】（1）连接OA，过A点作AC⊥OB于C点，由于AB为切线，则OA⊥AB，于是可证明△OAC∽△OBA，则OA2＝OC•OB，即⊙O的半径r是OB与OC的比例中项；（2）连接AF、O1B、BF，如图2，根据圆周角定理得到∠AFO1＝90°，再证明∠O1ED＝∠FBO1，则可判断△O1BF∽△O1EB，然后根据相似三角形的性质得到结论．【解答】（1）解：如图1，连接OA，过A点作AC⊥OB于C点，则点C为所作；（2）证明：连接AF、O1B、BF，如图2，∵O1A为⊙O2的直径，∴∠AFO1＝90°，∵O2交⊙O1于点B，C，∴O1A⊥BC，∴∠O1DE＝90°，∴∠O1ED+∠EO1D＝90°，∠O1AF+∠FO1A＝90°，∴∠O1ED＝∠O1AF，∵∠FBO1＝∠O1AF，∴∠O1ED＝∠FBO1，∵∠FO1B＝∠BO1E，∴△O1BF∽△O1EB，∴O1B：O1E＝O1F：O1B，∴O1B2＝O1F•O1E，即r是O1E与O1F的比例中项．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了圆周角定理和两圆相交的性质．9．（2023•历城区一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且CD=BD，过点D的切线EF交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD，OE交于点（1）求证：AE⊥EF；（2）若DGAG=23，⊙O的半径为【分析】（1）连接OD，根据切线的性质推出∠ODF＝90°，根据等腰三角形的性质推出∠CAD＝∠ODA，则OD∥AE，根据平行线的性质及垂直的定义即可得解；（2）根据题意推出△OGD∽△EGA，△ODF∽△AEF，根据相似三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴∠ODF＝90°，∵CD=∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AE，∴∠AEF＝∠ODF＝90°∴AE⊥EF；（2）解：∵∠CAD＝∠ODA，∠AGE＝∠OGD，∴△OGD∽△EGA，∴DGAG∵∠AEF＝∠ODF，∠F＝∠F，∴△ODF∽△AEF，∴ODAE∵AB＝2OB＝4，∴2+BF4+BF∴BF＝2．【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质，熟记切线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2023•崂山区一模）【问题提出】如图1，△ABC为⊙O内接三角形，已知BC＝a，圆的半径为R，探究a，R，sin∠A之间的关系．【解决问题】如图2，若∠A为锐角，连接BO并延长交⊙O于点D，连接DC，则∠A＝∠D，在△DBC中，BD为⊙O直径，BC＝a，所以BD＝2R，∠BCD＝90°．所以在Rt△DBC中建立a，R，sinD的关系为sinD=a2R所以在⊙O内接三角形△ABC中，a，R，sinA之间的关系为sinA=a2R类比锐角求法，当∠A为直角和钝角时都有此结论．【结论应用】已知三角形△ABC中，∠B＝60°，AC＝4，则△ABC外接圆的面积为163π【分析】【解决问题】连接BO并延长交⊙O于点D，连接CD，由圆周角定理得出∠BCD＝90°，由正弦的定义可得出答案；【结论应用】求出△ABC外接圆的半径，则可得出答案；【解答】解：【解决问题】△ABC的外接圆半径为R，连接BO并延长交⊙O于点D，连接DC，则∠D＝∠A，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，在Rt△DBC中，∵sinD=BC∴sinA=a故答案为：sinD=a2R，sinA【结论应用】∵∠B＝60°，AC＝4，∴sinB=AC∴32∴R=4∴△ABC外接圆的面积为π×(4故答案为：163【点评】本题是圆的综合题，考查了锐角三角函数的定义，三角形的外接圆，圆周角定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．11．（2023•蚌山区校级二模）如图，AB为半圆O的直径，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，BF平分∠ABC，交AE于点F．（1）求证：BE＝EF；（2）若AB＝10，BF=210，求AD【分析】（1）连接AC，根据已知条件得出，∠CAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠AEB＝90°，∠ACB＝90°，根据三角形的外角的性质得出∠EFB＝45°，即可证明△BEF是等腰直角三角形，从而得证；（2）设AE，BC交于点H，根据△BEF是等腰直角三角形，得出BE=25，勾股定理求得AE，得出tan∠BAE=BEAE=12，进而解Rt△【解答】（1）证明：连接AC，如图所示，∵E为BC的中点，∴CE=∴∠CAE＝∠BAE，∵BF平分∠ABC，∴∠CBF＝∠ABF，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∠ACB＝90°，则∠CAB+∠CBA＝90°，∴∠EFB=∠FAB+∠ABF=1∴△BEF是等腰直角三角形，∴BE＝EF；（2）解：如图所示，设AE，BC交于点H，∵△BEF是等腰直角三角形，BF=210∴EB=2在Rt△ABE中，AB＝10，∴AE=A∴tan∠BAE=BE∵∠CAE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，∴tan∠CAH=tan∠EBH=1∵BE=25∴HE=tan∠EBH×BE=1∴HB=H∴AH=AE-HE=35∵tan∠CAH=1∴AH=5∴CH＝3，∴BC＝CH+HB＝3+5＝8．【点评】本题考查了等弧所对的圆周角相等，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识是解题的关键．12．（2023•义乌市校级模拟）如图，AB是圆O的直径，PB，PC是圆O的两条切线，切点分别为B，C．延长BA，PC相交于点D．（1）求证：∠CPB＝2∠ABC．（2）设圆O的半径为2，sin∠PBC=23，求【分析】（1）连接OC，根据切线的性质，四边形的内角和，圆周角定理即可证明；（2）连接OP，OC，OP和BC交于点E，根据切线长定理求得BE⊥PO，再利用三角函数，勾股定理解Rt△OBE和Rt△PBE即可解答．【解答】（1）证明：如图连结OC，∵PB，PC是圆O的两条切线，∴PC＝PB，∠PCO＝∠PBO＝90°，∴∠CPB+∠BOC＝180°，∵∠DOC+∠BOC＝180°，∴∠CPB＝∠COD，∵∠COD＝2∠ABC，∴∠CPB＝2∠ABC；（2）解：如图连接OP，OC，OP和BC交于点E，由切线长定理可得PB＝PC，∠CPO＝∠BPO，∵PE＝PE，∴△PEC≌△PEB（SAS），∴∠PEC＝∠PEB＝90°，∵∠PBO＝90°，∴∠POB＝∠PBE，∵OB＝2，sin∠PBC=2∴BE＝OBsin∠POB=4∴OE=OB2-BE2∴PB=BE∴PC=4【点评】本题考查了切线长定理，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形；掌握相关定理是解题关键．13．（2022秋•巴彦县期末）已知AB、CD是圆O中的两条弦，AB⊥CD，垂足为E，连接BC、BD、OC．（1）如图1．求证：∠OCB＝∠ABD；（2）如图2，过点A作AF⊥BD于F，AF交CD于G，求证：CE＝GE；（3）如图3，在（2）的条件下连接BG，若BG恰好经过圆心O，若圆O的半径为5，sin∠D=45，求【分析】（1）延长CO交⊙O于K，连接BK，先证明∠CBK＝90°，得到∠K+∠OCB＝90°，再证明∠D+∠ABD＝90°，由∠D＝∠K，即可证明∠OCB＝∠ABD；（2）如图所示，连接AC，先证明∠D+∠DGF＝90°，再由∠D+∠ABD＝90°，得到∠DGF＝∠ABD，即可推出∠DGF＝∠ACD，进一步证明∠ACD＝∠AGC得到AC＝AG，再由AB⊥CD，即可证明CE＝GE；（3）先证明∠ABC＝∠OBD，再由CE＝GE，BE⊥CG，得到BC＝BG，证明∠OBD＝∠ABG，得到GE＝GF＝C，证明△BEG≌△BFG（AAS），得到BE＝BF，设GF＝4a，则GF＝CE＝4a，解直角三角形得到DG＝5a，DF＝3a，则DE＝9a，再求出BE＝12a，BC=410a，延长CO交⊙O于N，连接BN，得到BCCN=4【解答】（1）证明：延长CO交⊙O于K，连接BK，∵CK为⊙O的直径，∴∠CBK＝90°，∴∠K+∠OCB＝90°，∵AB⊥CD，∴∠DEB＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，又∵∠D＝∠K，∴∠OCB＝∠ABD．（2）证明：如图所示，连接AC，∵AF⊥BD，∴∠AFB＝∠AFD＝90°，∴∠D+∠DGF＝90°，∵∠D+∠ABD＝90°，∴∠DGF＝∠ABD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠DGF＝∠ACD，∵∠DGF＝∠AGC，∴∠ACD＝∠AGC∴AC＝AG，∵AB⊥CD，∴CE＝GE．（3）解：延长CO交⊙O于N，连接BN，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠OCB＝∠ABD，∴∠OBC＝∠ABD，∴∠ABC＝∠OBD，∵CE＝GE，BE⊥CG，∴BC＝BG，∴∠ABC＝∠ABG，∴∠OBD＝∠ABG，∴GE＝GF＝CE，又∵∠BEG＝∠BFG＝90°，在△BEG和△BFG中：∠ABG=∠OBD∠BEG=∠BFG∴△BEG≌△BFG（AAS），∴BE＝BF，设GF＝4a，则GF＝CE＝4a，∵sin∠D=4∴DG=GFsinD=5a∴DE＝9a，∵sin∠D=BE∴BD=5∵DE2+BE2＝BD2，∴81a∴BE＝12a，∴BC=C∵∠BNC＝∠BDC，CN＝10，∴sin∠N=sin∠D=4∴BCCN∴BC＝8，∴a=10∴BD=15a=310【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．14．（2022•渠县二模）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E．（1）求证：EM是圆O的切线；（2）若sin∠M=35，AN＝310，求圆（3）在（2）的条件下，直接写出MF的长度．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质证得∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，即可证得EM是圆O的切线；（2）设AC＝5a，则CD＝8a，根据垂径定理得出CH＝DH＝4a，进而得出AH＝3a，HN＝a，根据勾股定理即可求得a＝3，从而求得AH＝9，CH＝12，设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，根据OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2，求得半径r，就可以求得直径；（3）连接DF，通过证得△ACN∽△DFN，即可求得．【解答】（1）证明：连接FO，∵CN＝AC，∴∠CAN＝∠CNA，∵AC∥ME，∴∠CAN＝∠MFN，∵∠CAN＝∠FNM，∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN，∵CD⊥AB，∴∠HAN+∠HNA＝90°，∵AO＝FO，∴∠OAF＝∠OFA，∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，∴EM是圆O的切线；（2）解：连接OC，∵AC∥ME，∴∠M＝∠ACN，∵sin∠M=3∴sin∠ACN=∵CD⊥AB，∴CH＝DH，∴在Rt△ACH中，AHAC设AC＝5a，AH＝3a，则CH＝4a∴CD＝8a，∵CA＝CN，∴NH＝a，在Rt△ANH中，根据勾股定理得，a^2，解得，a＝3（负值舍去），∴AH＝3a＝9，CH＝4a＝12，设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9，由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2，解得：r=25∴圆O的直径为25；（3）解：连接FD，∵CH＝DH＝12，∴CD＝24，∵AC：CD＝5a：8a＝5：8，∴CN＝AC＝15，∴DN＝24﹣15＝9，∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA，∴△FND∽△CNA，∴FNCN∵AN＝310，∴FN15∴FN=9∵FM∥AC，∴△MFN∽△CAN，∴MFAC∴MF15解得MF=45∴MF的长为452【点评】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径．也考查了勾股定理和三角形相似的判定和性质．15．（2022•通辽）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．（1）求证：CD是圆的切线；（2）已知sin∠OCD=45，AB＝45，求【分析】（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余以及等量代换得出∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，进而得出EC是切线；（2）根据直角三角形的边角关系可求出OD、CD、AC、OC，再根据相似三角形的性质可求出EC，根据S阴影部分＝S△COE﹣S扇形进行计算即可．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠ABO＝90°，又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，∵OD是半径，∴EC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△COD中，由于sin∠OCD=4设OD＝4x，则OC＝5x，∴CD=OC2-OD在Rt△AOB中，OB＝OD＝4x，OA＝OC+AC＝8x，AB＝45，由勾股定理得，OB2+OA2＝AB2，即：（4x）2+（8x）2＝（45）2，解得x＝1或x＝﹣1（舍去），∴AC＝3x＝3，OC＝5x＝5，OB＝OD＝4x＝4，∵∠ODC＝∠EOC＝90°，∠OCD＝∠ECO，∴△COD∽△CEO，∴OCEC即5EC∴EC=25∴S阴影部分＝S△COE﹣S扇形=12×=503=50-12π答：AC＝3，阴影部分的面积为50-12π3【点评】本题考查切线的判定，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提．16．（2021•裕华区二模）如图1～图3，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝10，tan∠A=43，点M在BC边上，BM＝2，半圆O与边AD交于点P（靠近A的交点），直径MQ＝（1）在半圆运动过程中，BP的最小值是4，此时AP＝3；（2）如图1，若OM⊥AD，求证：①圆心O在边AD上；②圆O与AB相切；（3）当sin∠Q=58时，直接写出点Q到直线BC【分析】（1）先判断出点P一直在AD上，然后利用垂线短最短即可求出最小值，即可求解；（2）①先判断出△QOP∽△QPM，即可求出QP长，得到QP＝PM，即可得到△QPM为等腰直角三角形，再利用等腰三角三线合一可得O一定在AD上；②过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥BC于点F，先判断出四边形DOMF为矩形，再利用矩形的性质和勾股定理即可求出OE＝OM，即可得出结论；（3）作QT⊥AD于点T，MR⊥AD于点R，利用一线三垂直相似可求出QT长，从而得到点Q到直线BC的距离．【解答】解：（1）∵点P是⊙O与AD的交点，∴点P一直在AD边上，过点B作BP′⊥AD于点P′，此时BP最小，为BP′长，在Rt△ABP′中，tanA=43，则sinA∴BP的最小值为BP′＝4，此时，AP′=52∴在半圆运动过程中，BP的最小值是4，此时AP＝3．故答案为4、3；（2）证明：①∵OM⊥AD，∴∠QOP＝∠MOP＝90°，∴∠PQO+∠QPO＝90°，∵MQ为直径，∴∠MPQ＝90°，则∠PQO+∠PMO＝90°，∴∠QPO＝∠PMO，∴△QOP∽△QPM，∴QPQM=OQ∴QP＝42，∴PM＝4＝QP，∴△QPM为等腰直角三角形，根据三线合一可得O一定在AD上；②过点O作OE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则∠DFM＝∠OEA＝90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝10，CD＝AB＝5，∴∠OMF＝∠DOM＝90°＝∠DFM，∴四边形DOMF为矩形，∴OD＝MF，DF＝OM＝4，在Rt△OCF中，CF＝3，∴MF＝BC﹣CF﹣BM＝5＝OD，∴OA＝5，在Rt△AOE中，OE＝4，∴OE＝OM，∴圆O与AB相切；（3）∵QM为直径，∴∠QPM＝90°，在Rt△QPM中，sinQ==58，则∴MP＝5，PQ=39作QT⊥AD于点T，MR⊥AD于点R，∴△PQT∽△MPR，∴QTPR∴QT=3若P在R的下方，点Q到直线BC的距离为4+3若P在R的上方，点Q到直线BC的距离为4-3综上，点Q到直线BC的距离为4±3【点评】本题是几何综合题，涉及到勾股定理、解直角三角形、垂线段最短，相似三角形，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，切线的判定等，综合性比较高，易错点是注意证明切线时是作垂直还是连半径．17．（2023•长沙模拟）如图1，在⊙O中，AB为直径，点C在圆上，tan∠A=815，AB=172，D是AB上一动点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB交边BC于点E，EF⊥（1）当点D与圆心O重合时，如图2所示，则DE＝154（2）若CD2＝CE•CB，试探究△BDE与DEF有何面积关系，并证明；（3）当△CEF与△ABC相似时，求cos∠BDE的值．【分析】（1）设BC＝8x，AC＝15x，由勾股定理得出AB=BC2+AC2=17x，则17x=172，可求出BC＝4（2）证明△DCE∽△BCD，由相似三角形的性质得出∠CDE＝∠CBD，证出DE＝BE，过点E作EG⊥DB于G，证明Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），由全等三角形的性质得出DF＝DG，证出BD＝2DG＝2DF，根据三角形面积公式可得出答案；（3）分两种情况：①当△CEF∽△ABC时，可证得∠CDB＝90°，再根据DE平分∠CDB，可得∠BDE＝45°，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠BDE＝∠A，利用三角函数定义即可求得答案．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵tan∠A=8∴BCAC设BC＝8x，AC＝15x，∴AB=BC2∴17x=17∴x=1∴CB＝4，∵DC＝DB，DE平分∠CDB，∴DE⊥BC，CE＝BE，∴BE＝CE=12BC＝∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴∠A＝∠BDE，∴tan∠BDE=BE∴2DE∴DE=15故答案为：154（2）S△BDE＝2S△DEF．证明：∵CD2＝CE•CB，∴CDCE又∵∠DCB＝∠ECD，∴△DCE∽△BCD，∴∠CDE＝∠CBD，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∴∠EDB＝∠CBD，∴DE＝BE，过点E作EG⊥DB于G，∴DG＝BG，∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，∴EF＝EG，∵DE＝DE，∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），∴DF＝DG，∴BD＝2DG＝2DF，∵S△DEF=12DF•EF，S△BDE=12∴S△BDE＝2S△DEF．（3）∵EF⊥CD，∴∠CFE＝90°＝∠ACB，∵△CEF与△ABC相似，∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，①当△CEF∽△ABC时，则∠ECF＝∠BAC，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ECF+∠ABC＝90°，∴∠CDB＝90°，∵DE平分∠CDB，∴∠BDE=12∠CDB=12∴cos∠BDE＝cos45°=2②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，∴DC＝DB，∵DE平分∠CDB，∴DE⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴DE∥BC，∴∠BDE＝∠A，∵tanA=8∴cosA=AC∴cos∠BDE=15综上所述，cos∠BDE的值为22或15【点评】本题是圆的综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，锐角三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．18．（2023春•仓山区校级期中）已知四边形ABCD内接于圆O，直径AC与BD交于E点，BD平分∠ADC．（1）如图1，若AD＝BD，求证：DC＝DE；（2）如图2，作△BAM≌△BCD，使得M、D在AB的两侧（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），若tan∠CAD=34，求【分析】（1）如图1，先根据圆周角定理得到∠ADC＝∠ABC＝90°，则∠ADB＝∠CDB＝45°，所以∠BAC＝∠CDB＝45°，∠BCA＝∠ADB＝45°，然后证明∠DEC＝∠ACD，从而得到结论；（2）如图2，在DA上的延长线上截取AM＝CD，利用圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，则∠BAM＝∠BCD，于是可证明△BAM≌△BCD，所以∠ABM＝∠CBD，BM＝BD，接着证明△BMD为等腰直角三角形得到BD=22DM=22（DA+DC），然后在Rt△ACD中利用正切的定义得到tan∠CAD=CDAD=34，则可设CD＝3x，AD＝4【解答】（1）证明：如图1，∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，∴∠BAC＝∠CDB＝45°，∠BCA＝∠ADB＝45°，∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA，∵∠DEC＝∠DAC+∠ADB＝∠DAC+45°＝∠DAC+∠BAC＝∠DBA，∠ACD＝∠DBA，∴∠DEC＝∠ACD，∴DC＝DE；（2）解：如图2，在DA上的延长线上截取AM＝CD，∵∠BAC＝∠BCA＝45°，∴BA＝BC，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BAD+∠BAM＝180°，∴∠BAM＝∠BCD，在△BAM和△BCD中，BA=BC∠BAM=∠BCD∴△BAM≌△BCD（SAS），∴∠ABM＝∠CBD，BM＝BD，∴∠MBD＝∠ABM+∠ABD＝∠CBD+∠ABD＝∠ABC＝90°，∴△BMD为等腰直角三角形，∴BD=22DM=22（DA+AM）=2在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=CD∴设CD＝3x，AD＝4x，∴AC=(3x)2+(4x)2=5x，BD=22∴BDAC【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．19．（2023•姑苏区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F，点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC＝∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝30°，tan∠BAD=32，CF＝7．求圆的半径【分析】（1）由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，再由∠EAC＝∠D，∠B＝∠D，推导出∠EAC＝∠B，则∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，即可证明AE是⊙O的切线；（2）作FG⊥BC于G，由∠BAD＝∠BCD，得FGCG=tan∠BCD＝tan∠BAD=32，所以FG=32CG，由勾股定理得（32CG）2+CG2＝72，则CG＝27，FG=21，由FG∥AC，得∠BFG＝∠BAC＝30°，则BG＝FG•tan30°=7，所以BC＝CG+BG＝37，则AB＝2BC＝6【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠EAC＝∠D，∠B＝∠D，∴∠EAC＝∠B，∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，∴AE是⊙O的切线．（2）解：作FG⊥BC于G，则∠CGF＝∠BGF＝90°，∵∠BAD＝∠BCD，∴FGCG=tan∠BCD＝tan∠BAD∴FG=32∵FG2+CG2＝CF2，且CF＝7，∴（32CG）2+CG2＝72解得CG＝27或CG＝﹣27（不符合题意，舍去），∴FG=32×∵∠BGF＝∠ACB＝90°，∴FG∥AC，∴∠BFG＝∠BAC＝30°，∴BG＝FG•tan30°=21∴BC＝CG+BG＝27+7=∴AB＝2BC＝2×37=67∴r=12AB=12×【点评】此题重点考查直角所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．20．（2023春•香坊区校级月考）已知：AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，连接AC、AD，且∠CAB＝∠DAB．（1）如图①，求证：AC＝AD；（2）如图②，连接CD交AB于点M，点E、G在CM上，点F在BM上，连接EF、BG交于点H，若H为BG的中点，且EG＝BF，求tan∠EFM的值；（3）如图③，在（2）的条件下，连接DF，且DF∥AC，连接AG并延长交EF于点P，若∠GAB＝∠P