定积分问题举例

定积分一、定积分问题举例二、定积分定义三、定积分的性质四、牛顿

莱布尼茨公式1一、定积分问题举例曲边梯形设函数y

f(x)在区间[a,

b]上非负、连续.

由直线x

a、x

b、y

0及曲线y

f(x)所围成的图形称为曲边梯形,

其中曲线弧称为曲边.

1.曲边梯形的面积

2观察与思考

在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?怎样求曲边梯形的面积？3求曲边梯形的面积

(1)分割:

a

x0<

x1<

x2<

<

xn

1<

xn

b,Dxi=xi-xi

1;

小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi(xi

1<xi<xi);(2)近似代替:

(4)取极限:

设

max{Dx1,

Dx2,

,

Dxn},曲边梯形的面积为(3)求和:曲边梯形的面积近似为;以直代曲42.变速直线运动的路程

已知物体直线运动的速度v

v(t)是时间t的连续函数,且v(t)

0,计算物体在时间段[T1,

T2]内所经过的路程S.(1)分割:

T1

t0<t1<t2<

<tn

1<tn

T2,

Dti

ti

ti

1;(2)近似代替:

物体在时间段[ti

1,

ti]内所经过的路程近似为DSi

v(

i)Dti(

ti

1<

i<ti);物体在时间段[T1,

T2]内所经过的路程近似为(3)求和:

(4)取极限:

记

max{Dt1,

Dt2,

,

Dtn},物体所经过的路程为以不变代变5定积分的定义

在小区间[xi

1,

xi]上任取一点xi(i

1,2,

,

n),

作和

max{Dx1,

Dx2,

,Dxn};

记Dxi=xi-xi

1(i

1,2,

,

n),a

x0<x1<x2<

<xn

1<xn

b;

在区间[a,

b]内插入分点:设函数f(x)在区间[a,

b]上有界.

如果当

0时,上述和式的极限存在,且极限值与区间[a,b]的分法和xi的取法无关,则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记为即二、定积分定义6定积分各部分的名称

————积分符号,

f(x)———被积函数,

f(x)dx

——被积表达式,

x————积分变量,

a

————积分下限,

b

————积分上限,

[a,

b]———积分区间.

说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即

如果函数f(x)在区间[a,

b]上的定积分存在,

则称f(x)在区间[a,

b]上可积.

7定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,

则函数f(x)在区间[a,

b]上可积.

定理2

如果函数f(x)在区间[a,

b]上有界,

且只有有限个间断点,

则函数f(x)在区间[a,

b]上可积.

注:

设f(x)在[0,1]上连续,则有8位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动,在t时刻物体所经过的路程为S(t),速度为v

v(t)

S

(t)(v(t)

0),则在时间间隔[T1,

T2]内物体所经过的路程S可表示为即原函数

在区间I内,

如果F

(x)

f(x),

那么称F(x)为f(x)在区间I内的原函数.牛顿的发现:设F(x)是f(x)的原函数,则有

9定积分的几何意义

当f(x)

0时,f(x)在[a,

b]上的定积分表示由曲线y

f(x)、直线x

a、x

b与x轴所围成的曲边梯形的面积.

当f(x)

0时,

f(x)在[a,

b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.

这是因为10一般地,

f(x)在[a,

b]上的定积分表示介于x轴、曲线y

f(x)及直线x

a、x

b之间的各部分面积的代数和.

定积分的几何意义

当f(x)

0时,f(x)在[a,

b]上的定积分表示由曲线y

f(x)、直线x

a、x

b与x轴所围成的曲边梯形的面积.

当f(x)

0时,

f(x)在[a,

b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.

11定积分的几何意义

观察结果:设f(x)连续,则有

观察与分析

当f(x)

0时,f(x)在[a,

b]上的定积分表示由曲线y

f(x)、直线x

a、x

b与x轴所围成的曲边梯形的面积.

12三、定积分的性质性质4性质3性质1性质2两点规定注:不论a

b

c的相对位置如何性质3总成立

13推论1

如果在区间[a

b]上f(x)

g(x)

则如果在区间[a

b]上f(x)

0

则性质5

这是因为

|f(x)|

f(x)

|f(x)|,所以推论2

14推论1

如果在区间[a

b]上f(x)

g(x)

则如果在区间[a

b]上f(x)

0

则性质5

推论2

性质6

设M及m分别是函数f(x)在区间[a

b]上的最大值及最小值

则15如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

则在积分区间[a

b]上至少存在一个点x

使下式成立

这是因为,由性质6性质7(定积分中值定理)

——积分中值公式

由介值定理,至少存在一点x

[a,b],使两端乘以b

a即得积分中值公式.注:

积分中值定理中的x可在开区间(a,b)内取得.16例1计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解已知自由落体速度为故所求平均速度注:函数f(x)在区间[a,b]上的平均值为17则积分上限的函数定理3

若是f(x)在[a,b]上的一个原函数.四、牛顿

莱布尼茨公式证明有18

若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,

b]上的一个原函数,则

定理4(牛顿

莱布尼茨公式)证明因为F(x)和

(x)都是f(x)的原函数

所以存在常数C

使

F(x)

(x)

C.由F(a)

(a)

C及

(a)

0,得C

F(a),F(x)

(x)

F(a).由F(b)

(b)

F(a),得

(b)

F(b)

F(a),即

NL公式揭示了定积分与被积函数的原函数之间的联系.

19

解

例2计算正弦曲线y

sinx在[0

p]上与x轴所围成的平面图形的面积A

20

例3

汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a

5m/s2刹车.问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？t

2(s).

当汽车停止时,有v(t)

v0

at

10

5t.

刹车后t时刻汽车的速度为v(t)

10

5t

0,汽车刹车时的初速度为

解于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为21

证明

例4设f(x)连续,u1(x),u2(x)可导,则有

设F(x)为f(x)的一个原函数,则有

于是

22例5

解

例4设f(x)连续,u1(x),u2(x)可导,则有

例6

解

23

例7

设f(x)在[0,

)内连续,且f(x)>