等边三角形课件

13.3.2等边三角形（1）

小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？情境引入等腰三角形等边三角形一般三角形在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三边都相等的三角形叫作等边三角形.新知探究名称图形定义性质

判定等腰三角形等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形ABC有两条边相等的三角形叫做等腰三角形新知探究ABCABC问题1

等边三角形的三个内角之间有什么关系？等腰三角形AB=AC∠B=∠C等边三角形AB=AC=BCAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C内角和为180°=60°等边三角形的性质1新知探究结论：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.已知：AB=AC=BC

，

求证：∠A=∠B=∠C=60°.

证明：∵AB=AC.∴∠B=∠C.(等边对等角)

同理∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.新知探究ABCABC问题2

等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.顶角的平分线、底边的高底边的中线三线合一一条对称轴三条对称轴新知探究图形等腰三角形

性质

每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三个角都相等，对称轴（3条）等边三角形对称轴（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合且都是60º两条边相等三条边都相等新知探究如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连结BE、DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.例1典例解析方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.典例解析【变式】如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．典例解析△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM

＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.例2典例解析方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.典例解析图形等腰三角形判定

三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形等边三角形的判定2小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？★等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.新知探究辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.（1）（2）（6）（5）不是是是是是（4）（3）不一定是新知探究如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,求证：△ADE是等边三角形.ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴∠A=∠ADE=∠AED,∴△ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？例3典例解析证明：∵

△ABC是等边三角形，

∴

∠A=∠ABC=∠ACB=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠ABC=∠ADE，

∠ACB=∠AED,∴

∠A=∠ADE=∠AED,∴

△ADE是等边三角形.【变式1】若点D、E在边AB、AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？ADEBC典例解析【变式2】若点D、E在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？

证明：

∵

△ABC是等边三角形，

∴

∠BAC=∠B=∠C=60°．

∵

DE∥BC，

∴

∠B=∠D，∠C=∠E,

∴

∠EAD=∠D=∠E,

∴

△ADE是等边三角形．ADEBC典例解析【变式3】上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴∠A=∠ADE=∠AED,∴△ADE是等边三角形.典例解析等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．例4典例解析方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.典例解析【练习】

如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF,∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．典例解析

2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（）A.4个

B.5个C.6个

D.7个DACBDEO1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A．105°B．120°C．135°D．150°B当堂练习3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC=2cm，则△ADE的周长是

cm.ACBDE12B当堂练习5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°.∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠EBC=180°-90°-30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（ASA）．当堂练习6.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.CBODAE解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，∴AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=60°.∵A、O、D三点共线，∴

∠DOB=∠COA=120°，∴△COA≌△DOB(SAS).∴∠DBO=∠CAO.设OB与EA相交于点F,∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°.F当堂练习图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．(1)如图1，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2)如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．图1图2探索拓展解：（1）AN＝BM.理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB，∴△ACN≌△MCB(SAS)，∴AN＝BM.图1探索拓展（2）△CEF是等边三角形．证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF，∴△CEF是等边三角形．图2探索拓展今天我们学了什么？今天我们悟到什么？今天的质疑和发现？梳理反思今天我们学了什么？今天我们悟到什么？等边三角形的性质与判定等边三角形定义底=腰特殊性性质特殊性边三边相等角三个角都等于60°轴对称性轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质判定特殊性三边法三角法等腰三角形法梳理反思13.3.2等边三角形（2）问题1

如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？分离拼接ACB情境引入问题2

将一张等边三角形纸片沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？情境引入▼性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABCD如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.你还能用其他方法证明吗？含30°角的直角三角形的性质1新知探究【证法1】在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．延长BC到D，使BD=AB，连结AD，则△ABD

是等边三角形．又∵AC⊥BD,已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．ABCD

倍长法∴

BC=AB．

∴BC=

BD．

新知探究EABC【证法2】

在BA上截取BE=BC，连结EC.

∵∠B=60°，BE=BC，∴△BCE是等边三角形，

∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°=30°，∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴

BC=AB．

截半法新知探究★含30°角的直角三角形的性质

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.▼应用格式：

∵

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC∴

BC=AB．

新知探究判断下列说法是否正确：（1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半.

（2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.

（3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半.

（4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．√新知探究如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm.在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.例1典例解析如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1解析：如图，过点P作PE⊥OB于E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.EC例2典例解析方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．典例解析如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB．DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，例3典例解析在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.典例解析方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．典例解析想一想：图中BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？如图是屋架设计图的一部分，点D

是斜梁AB的中点，立柱BC、DE

垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE

要多长？ABCDE例4典例解析ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD，∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).即立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.典例解析已知:等腰三角形的底角为15°，腰长为20，求腰上的高.ACBD15°15°20解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，))∴CD=AC=×20=10.例5典例解析方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.典例解析1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米B．9米C．12米D．15米2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()A．300a元