专题2.6二次函数与几何压轴综合问题大题专练（培优强化40题）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍

20222023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.6二次函数与几何压轴综合问题大题专练（培优强化40题）一、解答题1．（2021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（1，0），B（4，n(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，设点P的横坐标为m．①求线段PE长的最大值，并求此时P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)①PE有最大值254，点P的坐标为32,354；②存在，【分析】（1）根据题意将抛物线解析式可化为y=a(x+1)(x−5)，然后待定系数法求解析式即可求解；（2）①设P(m,−m2+4m+5)，E(m,m+1)②分三种情况讨论（ⅰ）当BC=BE时，（ⅱ）当BC=CE时，（ⅲ）当BE=CE时，根据等腰三角形的定义，勾股定理列出方程，解方程即可求解．（1）解：由题意，抛物线y=ax2+bx+c将点B(4,n)代入直线y=x+1得：n=4+1=5，将点B(4,5)代入y=a(x+1)(x−5)得：(4+1)×(4−5)a=5，解得a=−1，则抛物线的解析式为y=−(x+1)(x−5)=−x即y=−x（2）①由题意：设P(m,−m2+4m+5)点P在点E的上方，则PE=−∵1＜0∴当m=32时，PE有最大值，最大值为当m=32时，−m2+4m+5=354，此时点②存在，m的值为4−13或0或3∵B(4,5),C(5,0),E(m,m+1)，∴BCBE2=由等腰三角形的定义，分以下三种情况：（ⅰ）当BC=BE时，△BEC为等腰三角形，则BC2=B解得m=4−13或m=4+（ⅱ）当BC=CE时，△BEC为等腰三角形，则BC2=C解得m=0或m=4（舍去）；（ⅲ）当BE=CE时，△BEC为等腰三角形，则BE2=CE2综上，m的值为4−13或0或3【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段问题，等腰三角形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．2．（2021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）如图，已知在平面坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B坐标为(3，0)，点C坐标为(0，3)，根据条件，解答下列问题：(1)如图1，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)如图2，设该抛物线的顶点为点D，求四边形ABDC的面积；(3)如图3，设点Q是该抛物线对称轴上的一个动点，连接QA，QC，AC，当△QAC周长最小时，求点Q的坐标，并求出此时△QAC周长的最小值．【答案】(1)y=(2)9(3)Q(1,−2)，三角形QAC的周长最小值为10【分析】（1）根据A，B的坐标设抛物线为：y=a(x+1)(x−3),再把C的坐标代入即可；（2）先求解抛物线的顶点为：D(1,−4),如图，记抛物线的对称轴与x轴的交点为K，则K(1,0),利用S四边形（3）如图，由A，B关于抛物线y=(x−1)2−4的对称轴x=1对称，连接BC，交对称轴于Q，则三角形QAC的周长为：AQ+CQ+AC=AC+BC,此时周长最短，再求解BC为：y=x−3,可得Q的坐标，再利用勾股定理求解AC(1)解：∵点A的坐标为(1，0)，点B坐标为(3，0)，点C坐标为(0，3)，设过A，B，C的抛物线为：y=a(x+1)(x−3),∴−3a=−3,解得：a=1,∴抛物线为：y=(x+1)(x−3)=(2)∵y=x∴抛物线的顶点为：D(1,−4),如图，记抛物线的对称轴与x轴的交点为K，则K(1,0),∴S=1=9.(3)如图，由A，B关于抛物线y=(x−1)2−4的对称轴x=1对称，连接BC，交对称轴于Q，则三角形QAC设直线BC为y=kx+b,则{3k+b=0b=−3,∴BC为：y=x−3,当x=1,则y=−2,∴Q(1,−2),∴AC=1∴三角形QAC的周长最小值为：10【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，掌握二次函数的轴对称的性质是解本题的关键．3．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校九年级期中）如图，已知二次函数的图象经过点A3,3、B4,0和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Dm,0，并与直线OA(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；(3)当m>0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)y=x2+4x(2)9(3)存在，点P的坐标为(3−2,1+22)【分析】（1）设y=ax（x4），把A点坐标代入即可求出答案；（2）根据点的坐标求出PC=m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；（3）当0<m<3时，仅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥3时，PC=CDPD=m23m，OC=2m，分为三种情况：当OC=PC时，当OC=OP时，当PC=(1)解∶∵二次函数的图象经过点B4,0和原点O∴可设二次函数的解析式为y=ax（x4），把点A（3，3）代入，得：3=3a（34），解得：a=1，∴二次函数的解析式为y=x（x4）=x2+4x；(2)解：根据题意得：0<m<3，PC=PDCD，设直线OA的解析式为y=kxk≠0把点A（3，3）代入，得：3=3k，解得：k=1，∴直线OA的解析式为y=x，∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=x2+4x上，C在直线OA上，∴P（m，m2+4m），C（m，m），∴PD=m2+4m，CD=m，∴PC=PDCD=m2+4mm=m2+3m=−(m−∴当m=32时，线段PC最大，最大；值为(3)解：存在，理由如下：∵C（m，m），P（m，m2+4m），∴OD=m，CD=m，PD=m2+4m，OC=OD2当0<m<3时，仅有OC=PC，由（2）得：PC=PDCD=m2+3m，∴−m2+3m=∴此时P(3−2当m≥3时，点C在点P的上方，此时PC=CDPD=m23m，当OC=PC时，m2解得：m=3+2∴此时点P(3+2当OC=OP时，有OC2=OP2，∴2m解得：m=5或3（舍去）或0（舍去），∴此时点P（5，5），当PC=OP时，m2解得：m=4或0（舍去），∴此时点P（4，0）；综上所述，存在，点P的坐标为(3−2,1+22)【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，用的数学思想是分类讨论思想，此题是一个综合性比较强的题目，（3）小题有一定的难度．4．（2021·安徽·合肥市五十中学新校九年级期中）直线y＝12x﹣2与x、y轴分别交于点A、C．抛物线的图象经过A、C和点B(1)求抛物线的解析式和顶点G的坐标；(2)在直线y＝﹣1上是否存在点P，使得△PBG的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？【答案】(1)y=−12x2+52(2)存在，点P的坐标为（3725(3)点D的坐标为（2，1），最大距离为45【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）作点B关于直线y=1的对称点H（1，2），连接GH交直线y=1于点P，在点P为所求点，进而求解；（3）由S△ACD=S梯形AGFCS△CDFS△ADG=12（AG+FC）•FG12FC•FD12DG（1）解：在直线解析式y＝12x令x＝0，得y＝﹣2；令y＝0，得x＝4，∴A（4，0），C（0，﹣2）．设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵点A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）在抛物线上，则16a+4b+c=0a+b+c=0解得a=−1∴抛物线的解析式为：y=−1抛物线的对称轴为x＝52当x＝52时，y=−故点G（52，9（2）在直线y＝﹣1上存在点P，使得使得△PBG的周长最小，作点B关于直线y＝﹣1的对称点H（1，﹣2），连接GH交直线y＝﹣1于点P，在点P为所求点，理由：△PBG的周长＝BG+BP+PG＝BG+PH+PG＝GH+GB为最小，设直线BG的表达式为y=kx+b，由点B、G的坐标得，0=k+b9解得：k=25∴y=25当y＝1＝2512x−4912，解得故点P的坐标为（3725（3）设点D坐标为（x，y），则y=−1在Rt△AOC中，OA＝4，OC＝2，由勾股定理得：AC＝25．连接CD、AD，过点D作DF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥FD交FD的延长线于点G，则FD＝x，DG＝4﹣x，OF＝AG＝y，FC＝y+2．S△ACD＝S梯形AGFC﹣S△CDF﹣S△ADG＝12（AG+FC）•FG﹣12FC•FD﹣12＝12（y+y+2）×4﹣12（y+2）•x﹣12（4﹣＝2y﹣x+4，将y＝﹣12x2+52x﹣2代入得：S△ACD＝2y﹣x+4＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）∴当x＝2时，△ACD的面积最大，最大值为4．当x＝2时，y＝1，∴D（2，1）．∵S△ACD＝12AC•DE，AC＝25∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，则DE的最大值为：41∴当D与直线AC的距离DE最大时，点D的坐标为（2，1），最大距离为45【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、最值、图形面积计算等知识点，第（2）问有多种解法，可以从不同角度尝试与探究．5．（2021·天津红桥·九年级期中）已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A（－1，0）和点B（5，0），交y轴于点C．(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；(3)点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时，求点Q的坐标．【答案】(1)C(0,5)，y=−(2)P(3+29(3)(2,3)【分析】（1）对于y=ax2+bx+5，当x=0时，y=5（2）根据B(5,0)，C(0,5)，得到OB=OC，连接BC，设BC的中点为D，求得D(52，52)，得到直线OD的解析式为（3）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x=2，根据轴对称的性质得到QA=QB，QA+QC=QB+QC，当B，C，Q三点共线时，QB+QC最小，即QA+QC最小，求得直线BC的解析式为y=−x+5，把x=2代入y=−x+5即可得到结论．(1)解：对于y=ax2+bx+5，当x=0∴C(0,5)，∵抛物线y=ax2+bx+5(a为常数，a≠0)交x轴于点A(−1,0)∴{a−b+5=0解得{a=−1∴抛物线的解析式为y=−x(2)解：∵B(5,0)，C(0,5)，∴OB=OC，连接BC，设BC的中点为D，∴D(52，∴直线OD的解析式为y=x，∵PB=PC，∴点P在直线OD上，设P(m,m)，∵点P是抛物线上一点，∴m=−m解得m=3±∴点P的坐标为(3+292，3+292(3)解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线x=2，∵点A与点B关于l对称，点Q在直线l上，∴QA=QB，QA+QC=QB+QC，∴当B，C，Q三点共线时，QB+QC最小，即QA+QC最小，设直线BC的解析式为y=kx+b，∴{b=5解得{k=−1∴直线BC的解析式为y=−x+5，把x=2代入y=−x+5得，y=3，∴Q(2,3)，∴当QA+QC最小时，求点Q的坐标(2,3)．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称−最短路线问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式．6．（2021·重庆·北京师范大学江津附属学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值；(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)y=−(2)17(3)存在，（52，214）或（4+312，7+231【分析】（1）把点A（4，0）、B（0，4）代入抛物线y=x2+bx+c中，求得b和c即可；（2）作点B关于直线l的对称轴B′，连接B′C交l于一点P，点P即为使△PBC周长最小的点，由对称可知，PB′=PB，即△PBC周长的最小值为：BC+CB′；（3）设M（m，m2+3m+4），①当EF为边时，则EF∥MN，则N（m，m+4），所以NM=EF=154，即|m2+3m+4（m+4）|=154，求出m的值，代入即可；②当EF为对角线时，EF的中点为（32，358），由中点坐标公式可求得点N的坐标，再由点N是直线AB上一点，可知3+m+4=m23m+（1）解：把点A（4，0）、B（0，4）代入抛物线y=x2+bx+c中，得，−16+4b+c=0c=4，解得b=3∴抛物线的解析式为：y=x2+3x+4；（2）解：由抛物线解析式可知，对称轴直线l：x=32∵点A（4，0），∴点C（1，0），如图，作点B关于直线l的对称轴B′，连接B′C交l于一点P，点P即为使△PBC周长最小的点，此时B′（3，4），设直线B′C的解析式为y=kx+b1，∴3k+b解得：k=1b∴直线B′C的解析式为：y=x+1，把x=32代入得：y=32+1=∴P（32，5∵B（0，4），C（1，0），B′（3，4），∴BC=12+42=17，∴△PBC周长的最小值为：17+4（3）解：存在，以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（52，214）或（4+312，7+231由抛物线解析式可知，E（32，25∵A（4，0）、B（0，4），∴直线AB的解析式为：y=x+4，∴F（32，5∴EF=154设M（m，m2+3m+4），①当EF为边时，则EF∥MN，∴N（m，m+4），∴NM=EF=154，即|m2+3m+4（m+4）|=15解得m=32（舍）或52或4+31∴M（52，214）或（4+312，7+231②当EF为对角线时，EF的中点为（32，35∴点N的坐标为（3m，m23m+194∴3+m+4=m23m+194，解得m=32（舍），m=∴M（52，21综上，满足以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形的点M的坐标为（52，214）或（4+312，7+231【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形存在性问题，解题过程中注意需要分类讨论．7．（2021·广东·广州外国语学校九年级期中）已知抛物线y=−x2+mx+m+1（1）求定点A的坐标；（2）若抛物线过点B3,0，已知点H0,458，G2,0，在抛物线对称轴上找一点F（3）在（2）的条件下，请问抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小，若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A的坐标为（1，0）；（2）F的坐标为（1，154）；（3）K【分析】（1）可以对抛物线解析式进行因式分解得到y=−x−1−m（2）先把B点坐标代入求出抛物线解析式，然后连接AF，BF，HF，连接BH交直线x=1于F1，根据A、B两点关于直线x=1对称，得到AF=BF，则AF+HF=BF+HF，要想AF+HF的值最小，即BF+HF的值最小，故当H、B、F三点共线时，BF+HF的值最小，此时F在F1的位置，BF+HF的最小值即为BH，求出直线BH的解析式，即可得到（3）设K点坐标为（n，−n2+2n+3），即可推出KF=174−−n2+2n+3，则KF的长，可以看作是点K到直线y=174的距离，如图所示，过点K作KC⊥直线y=174于C，则KF+KG=KC+KG，要想使KF+KG最小，则KC+【详解】解：（1）∵抛物线解析式为y=−=−=−x−1−m∴当x=−1时，y=0∴抛物线过定点（1，0），∴A的坐标为（1，0）；（2）∵抛物线过点B（3，0），∴−3∴m=2，∴抛物线解析式为y=−x如图所示，连接AF，BF，HF，连接BH交直线x=1于F∵抛物线解析式为y=−x∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵点A（1，0），点B（3，0）在抛物线上，∴A、B两点关于直线x=1对称，∴AF=BF，∴AF+HF=BF+HF，∴要想AF+HF的值最小，即BF+HF的值最小，∴当H、B、F三点共线时，BF+HF的值最小，此时F在F1的位置，BF+HF的最小值即为BH设直线BH的解析式为y=kx+b，∴3k+b=0b=∴k=−15∴直线BH的解析式为y=−15当x=1时，y=15∴F的坐标为（1，154（3）设K点坐标为（n，−n∴KF======17∴KF的长，可以看作是点K到直线y=17如图所示，过点K作KC⊥直线y=174于∴KF+KG=KC+KG，∴要想使KF+KG最小，则KC+KG最小，∴当G、K、C三点共线时，KC+KG最小，最小值即为图中的G∵G（2，0），∴K点横坐标为2，∴K点纵坐标为−∴K点坐标为（2，3）．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的对称性，求二次函数解析式，求一次函数解析式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．（2021·黑龙江·讷河市第三中学九年级期中）综合与探究如图，已知点B（3，0），C（0，3），经过B．C两点的抛物线y=x2bx+c与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式;（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标．（3）若点E（2，3），在坐标平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2−2x−3；（2）点D的坐标为1,−2；（3）存在，P1(−2,−3)【分析】（1）根据题意利用待定系数法将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）由题意根据点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴于点D，则点D为所求点，进行分析求解；（3）根据题意分AB是平行四边形的边、AB是平行四边形的对角线两种情况，结合平行四边形的性质并进行分析即可求解．【详解】解：（1）将点B(3,0),C(0,−3)代入抛物线y=x得，9−3b+c=0c=−3，解得b=2∴抛物线的解析式为y=x（2）如图：由y=x对称轴为x=−点A，B关于直线x=1对称，∴连结BC与对称轴为x=1的交点就是符合条件的点D，设直线BC的解析式为y=mx+n，将B(3,0),C(0,−3)代入解析式得3m+n=0n=−3，解得∴y=x−3当x=1时，y=−2，∴点D的坐标为1,−2；（3）存在，如图：①当AB为边长，BE为边长，如图四边形ABEP∵对称轴为x=1，B∴1×2−3=−1∴A(−1,0)AB=3−(−1)=4∴P∵E(2,−3)∴C∴P②当AB为边长，AE为边长，∵E∴C∴P③当AB为对角线，四边形ABEP∵四边形ABEP易得P3恰好交y∴P综上所述，P1(−2,−3)，P2【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、点的对称性、平行四边形的性质，熟练掌握相关性质并运用数形结合思维分析是解题的关键．9．（2021·甘肃·民勤县第六中学九年级期中）如图，抛物线y=−14x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求出点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使△ACQ是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=−14x2+32x+4；（2）P3,132；（3）存在，点Q的坐标分别为Q【分析】（1）将点A、C代入抛物线解析式，求解系数即可；（2）令y=0求得点B坐标，再根据三角形三边关系，确定点P的位置，求解即可；（3）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质分别求解即可．【详解】解：（1）将点A、C代入抛物线解析式得，−14∴抛物线的解析式为y=−1（2）令y=0，即−1解得x1=8，x2=−2，即由对称性可知，PB=PA，△PAC的周长为PA+PC+AC=PB+PC+AC所以，当PB+PC最小时，△PAC的周长最小，由三角形三边关系可得：PB+PC>BC，当P、B、C三点共线时，PB+PC=BC，此时△PAC的周长最小设直线BC的解析式为y=kx+m，代入B、C得8k+m=0m=4，解得直线BC的解析式为y=−1当x=3时，y=−12x+4=132（3）依题意，抛物线的对称轴为直线x=3，可设点Q(3则AC2C分三种情况讨论：①若AQ＝CQ，则有AQ2＝Q2，即25+t2=9+(t4)2解得t＝0，∴Q（3，0）②若AC＝AQ，则有AC2＝AD2，即25+t2=20解得t2＝5，∴此方程没有实数根，∴此时不能构成等腰三角形；③若AC＝CQ，则有AC2＝CQ2，即9+(t4)2=20解得t=4±11∴Q(3,4+11)，综上所述，当△ACQ为等腰三角形时，点Q的坐标分别为Q1（3，0），Q2(3,4+11)，Q【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．（2021·黑龙江·木兰县吉兴乡中学九年级期中）已知二次函数y＝ax2－2ax－3a交x轴于A、B，交y轴于点C，S△ABC（1）求a的值．（2）点P在第一象限抛物线上，过P点作y轴的平行线，交BC于点Q，交x轴于点H，点P的横坐标为t，PQ＝d，求d与t之间的函数关系式．（3）点G在第二象限的抛物线上，GB交y轴于点I，点K在线段BC上，OK⊥BI于点L，∠CIK＝∠OIB，求点G的坐标．【答案】（1）−1；（2）d=−t2【分析】（1）连接AC，先令y=0，根据a≠0，解方程求得A,B的坐标，进而根据三角形的面积求得C点的坐标，令x=0，求得y=−3a，进而求得a的值；（2）根据（1）的结论求得抛物线的解析式和直线BC的解析式，根据题意P(t,−t2+2t+3)，Q(t,−t+3)，进而即可求得d（3）过点K作KE⊥y轴，∠OIB=CIK=α，根据同角的余角相等可得∠EKO=α，设IO=a，EK=b，根据这三个角的正切值列出关系式，可得ab3+a=−b+3①，ab3+ab=3a②，解方程组即可求得【详解】解：（1）如图，连接AC，y＝ax2－2ax－3a交x轴于A、B令y=0，即0=a∵a≠0∴解得x∴A(−1,0),B(3,0)∴AB=3−令x=0，y=−3a∴C(0,−3a)∵S△ABC＝6∴∴CO=3∴C(0,3)∴−3a=3解得a=−1∴抛物线的解析式为y=−（2）如图，∵B(3,0),C(0,3)设直线BC的解析式为y=kx+b则b=3解得k=−1,b=3∴直线BC的解析式为y=−x+3∵点P在第一象限抛物线上，点P的横坐标为t，PQ＝d，∴P(t,−∵点Q在直线BC上，PQ∥∴Q(t,−t+3)∴d=−即d=−t（3）如图，过点K作KE⊥y轴，∵∠CIK＝∠OIB设∠OIB=CIK=α，∵OK⊥GB，∴∠IOK+∠OIL=∠IOK+α又∵KE⊥EO，则∠EOK+∠EKO=90°∴∠EKO=α∵OC=OB=3，∠COB=90°∴∠OCB=45°设IO=a，EK=b则tan∠OIB=tan∵∴∴EI=∴EO=EI+IO=∴K(b,∵K在BC上，∴ab∵∴ab将①代入②，即−b+3即−ab+3a=3b即3a−b将③代入①得：a−b+a=−b+3解得a=∴I(0,设直线BI的解析式为y=mx+n将B(3,0)，I(0,3b=解得k=−∴直线BI的解析式为y=−联立y=−解得x∴G(−【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，二次函数与一次函数综合问题，正切的定义，第三问中求得I点的坐标是解题的关键．11．（2021·黑龙江·同江市第三中学九年级期中）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x(1)求此抛物线的解析式；(2)求出抛物线的顶点坐标；(3)若抛物线上有一点B，且SΔOAB=3【答案】(1)y=(2)顶点为(1,−1)(3)(3,3)或(−1,3)【分析】（1）直接把(0,0)，(2,0)代入y=x2+bx+c中，列方程组求b（2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标；（3）设点B的坐标为(c,d)，根据三角形的面积公式求d的值，再将纵坐标d代入抛物线解析式求c的值，确定B点坐标．（1）解：把(0,0)，(2,0)代入y=xc=04+2b=0解得b=−2c=0∴解析式为y=（2）∵y=x∴顶点为(1,−1)（3）设点B的坐标为(c,d)，则12解得d=3或d=−3，∵顶点纵坐标为−1，−3<−1（或x2−2x=−3中，∴d=3∴解得x1=3∴点B的坐标为(3,3)或(−1,3)【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．关键是将抛物线上两点坐标代入解析式，列方程组求解析式，将抛物线解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴．12．（2022·湖北武汉·九年级期中）如图，抛物线y＝ax2＋3ax＋4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且S△ABC＝10，点P为第二象限内抛物线上的一点，连接BP．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，若∠BPD＝2∠BCO，求ADBD(3)如图2，设BP与AC的交点为Q，连接PC，是否存在点P，使S△PCQ＝S△BCQ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(2)AD(3)不存在，理由见解析【分析】（1）由解析式求出点C坐标，再由S△ABC求出AB的长，根据对称轴为直线x=−32可得A、（2）设BP与y轴交于点E，由∠BPD＝2∠BCO可得∠BEO=2∠BCO，即∠EBC=∠ECB，EB=EC，通过勾股定理求出点E坐标，从而求出直线BE的解析式，联立方程可得D的横坐标，进而求解即可；（3）过点P作PM∥x轴交直线AC于点M，由S△PCQ＝S△BCQ可得Q为BP中点，从而得到△PMQ≌△BAQ，设点Pt,−t2−3t+4，可用含（1）令y＝ax2＋3ax＋4中x=0，得y=4，∴C0,4，∴OC=4∵S△ABC∴12AB⋅4=10，∴∵抛物线的对称轴为x=−3∴由对称性知A−4,0，B把1,0代入抛物线的解析式得a+3a+4=0，∴a=−1，∴该抛物线的解析式为y=−x（2）设BP与y轴交于点E，∵PD⊥x轴，∴PD∥∴∠BPD=∠BEO，∵∠BPD=2∠BCO，∴∠BEO=2∠BCO=∠BCO+∠EBC，∴∠BCO=∠EBC，∴EB=EC．设OE=m，则CE=BE=4−m，∴在Rt△BOE中，m2+12设直线BE的解析式为y=kx+b，将E0,158和B1,0代入y=k=−15∴直线BE的解析式为y=−15联立y=−158x+158∴xBxP=−178，∵∴AD=xD−∴ADDB（3）不存在；理由如下：过点P作PM∥x轴交直线AC于点∵S△PCQ∴PQ=BQ，∴△PMQ≌△BAQ，设Pt,−t2设直线AC的解析式为y=ax+b，把（4，0）和（0，4）代入，解得a=1b=4∴直线AC的解析式为y=x+4，∴xM∴PM=−t2−3t−t=−t2∵Δ=∴符合条件的点P不存在．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，二次函数与方程的关系，通过添加辅助线求解．13．（2022·全国·九年级期中）次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC(1)求二次函数y=ax(2)连接BD，当t=32时，求△(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标．【答案】(1)y=−(2)S(3)P（1，－1）或（3，3）【分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数a与b即可；（2）先求出BC的解析式y=−12x+2，再将x=2代入y=−12x2+3（3）由BM的值得出M的坐标M（2t−1,0)，因此设P（2t1，m），由勾股定理可得PC2=(2t−1)2+(m−2)2，PB2=(2t−5)（1）解：将A(1,0)，B(4,0)代入y=ax得：{a−b+2=0解得：{a=−∴二次函数的表达式为y=−1（2）解：连接BD，如图所示，∵t=3∴AM=3．又∵OA=1，∴OM=2．设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0)，将点C（0，2），B（4，0）代入得：{b=2解得：{k=−∴直线BC的解析式为：y=−1将x=2代入y=−12x得D(2，3)，N（2，1），∴DN=2．∴S△DNB（3）解：∵BM=5−2t，∴M(2设P（2t1，m），则PC2=∵PB=PC，∴(2t−1)2∴m=4t−5，∴P(2t−1,4t−5)．∵PC⊥PB，∴[(2t−1)将m=4t−5代入整理得：t2解得：t=1或t=2．将t=1或t=2分别代入P(2t−1,4t−5)中，∴P（1，－1）或（3，3）．【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法求二次函数表达式，根据点的坐标求平面内三角形的面积，以及根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算．14．（2020·辽宁铁岭·九年级期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（2，3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C(1)求该抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；(3)点P在直线AB上方的抛物线上，当△PAB的面积最大时，直接写出点P的坐标．【答案】(1)y=−(2)点D的坐标为（0，1）或（0，－1）(3)P（12，15【分析】（1）待定系数法即可得到结论；（2）过点A作AH⊥x轴，垂足为H，△AHB是等腰直角三角形．得OD=OB=1，即可得到结论；（3）如图2，过点P作PG⊥x轴交直线AB于G，利用直线与抛物线的解析式，以及三角形面积公式列出二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答．(1)解：由y=ax2+bx+3∴C（0，3），∴OC=3∵OC=3OB，点B在x轴负半轴上，∴B（－1，0）把A（2，3），B（－1，0）两点分别代入y=ax得4a+2b+3=3a−b+3=0解得a=−1∴抛物线的解析式为：y=−(2)∵A（2，3），C（0，3）

∴AC//x轴．过点A作AH⊥x轴，垂足为H∴AH=BH=3．∴△AHB是等腰直角三角形．∴∠ABH=∠BAC=45由∠BDO=∠BAC=45∘，点D在y轴上，得∴点D的坐标为（0，1）或（0，－1）．(3)如图，过点P作PG⊥x轴交直线AB于G，设P（x，x2+2x+3），设直线AB的解析式为y=kx+b，由点A（2，3），B（1，0）得到直线AB为：y=x+1．∴G（x，x+1）．∴PG=x2+2x+3x1=x2+x+2．∴S△PAB=12PG•（2+1）=12（x2+x+2）×3=32（x12）∴当x=12时，△PAB此时P（12，15【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．15．（2020·黑龙江·北安市教育局九年级期中）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．(3)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)P点坐标为32,−154(3)存在，P点坐标为2+【分析】（1）直接把B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c可得到关于b、c的方程组，解方程组求得b=﹣2，c=﹣3，则二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3；（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，则PO=PC，根据翻折的性质得OP′=OP，CP′=CP，易得四边形POP′C为菱形，又E点坐标为（0，﹣32），则点P的纵坐标为﹣32，再把y=﹣32代入y=x2﹣2x﹣3可求出对应x(1)解：把B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c，得9+3b+c=0c=−3，解得b=−2∴这个二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3；(2)如图1，作PF⊥x轴于F点，交BC于E点，因为四边形ABPC的面积=三角形ABC的面积+三角形BPC的面积；而三角形ABC的面积不变，所以当三角形BPC的面积最大时，四边形ABPC的面积的面积也最大；令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=1，x2=3，所以A(1，0)B(3，0)∴AB=4，又OC=3∴S∆ABC=12BC的解析式为y=x﹣3，设E（m，m﹣3），P（m，m2﹣2m﹣3）．PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣32）2+9S△BCP=S△BEP+SCEP=12PE×FB+12EP=12EP•=12×3[﹣（m﹣32）2+当m=32时，S最大=12×3×94m2﹣2m﹣3=﹣154此时P（32，﹣15所以此时，四边形ABPC的面积的面积也最大；S四边形ABPC=S△BCP+S∆ABC=6+278∴此时P点的坐标（32，﹣154），四边形ABPC的最大面积为(3)存在．理由如下：作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2，则PO=PC，∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，∴OP′=OP，CP′=CP，∴OP′=OP=CP′=CP，∴四边形POP′C为菱形，∵C点坐标为（0，﹣3），∴E点坐标为（0，﹣32∴点P的纵坐标为﹣32把y=﹣32代入y=x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3=﹣3解得x=2±10∵点P在直线BC下方的抛物线上，∴x=2+10∴满足条件的点P的坐标为（2+102，﹣【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及到了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．16．（2020·黑龙江·勃利县大四站镇中学九年级期中）抛物线y=x2+bx+c与直线y=x1交于A、B两点．点A的横坐标为3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．(1)求抛物线的解析式；(2)当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD．【答案】(1)y=(2)m=−12或m=−2或m=−7−654时，S四边形OBDC【分析】（1）将x=0代入y=x1求出B的坐标，将x=3代入y=x1求出A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；（2）由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，由此表示出S四边形OBDC和2S△BPD建立方程求出其解即可．(1)∵y=x1，当x=0时，y=1，∴B（0，1）．当x=3时，y=4，∴A（3，4）．∵y=x2+bx+c与直线y=x1交于A、B两点，∴−1=c−4=9−3b+c∴b=4c=−1∴抛物线的解析式为：y=x(2)∵P点横坐标是m（m＜0），∴P（m，m2+4m1），D（m，m1）如图1①，作BE⊥PC于E，∴BE=m．CD=1m，OB=1，OC=m，CP=14mm2，∴PD=14mm21+m=3mm2，∴−m(1+1−m)解得：m1=0（舍去），m2=2，m3=12如图1②，作BE⊥PC于E，∴BE=m．PD=m2+4m1+1m=3m+m2，∴−m(1+1−m)2解得：m=0（舍去）或m=−7+654（舍去）或m∴m=−12或m=−2或m=−7−654时，S四边形OBDC【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，掌握二次函数的性质是解题的关键．17．（2021·辽宁·盘锦市双台子区第一中学九年级期中）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图像与x正半轴相交于点B，负半轴相交于点A，其中A(1)求此二次函数的解析式；(2)如图1，点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交线段BC于点E，线段BC把△CPD分割成两个三角形的面积比为1∶2，求P点坐标；(3)如图2，若点H在抛物线上，点F在x轴上，当以B、C、H、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．【答案】(1)y=−(2)P点坐标(12(3)F点坐标为：(1,0)、(5,0)、7−2,0、【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）设P点坐标为(x,−x2+2x+3)，0＜x＜3，求出C点坐标，结合B点坐标求出直线BC的解析式，则设E点坐标为(x,−x+3)，0＜x＜3，即可求出PE、DE根据线段BC把△CPD分割成两个三角形的面积比为1:2，分类讨论即可求解；（3）设H点(x,−x2+2x+3)，F点(t,0)，分三种情况讨论：第一种情况：当BC为对角线时，另一条对角线为HF；第二种情况：当BH为对角线时，另一条对角线为CF；第三种情况：当BF(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过点A(∴a−b+3=09a+3b+3=0，解得a=−1∴抛物线解析式为y=−x(2)∵P点在第一象限的抛物线上运动，∴设P点坐标为(x,−x2+2x+3)∵当x=0时，y=−x∴C点坐标为(0,3)，∵C点坐标为(0,3)，B(3,0)，∴设直线BC的解析式为y=kx+b，∴b=33k+b=0，解得k=−1∴直线BC的解析式为y=−x+3，设E点坐标为(x,−x+3)，0＜根据题意可知P点在E点上方，∵PE⊥x轴，∴PE=−x2+2x+3−(−x+3)=−∴PEDE∵PE⊥x轴，∴S△PCE=1∴S△PCE∵线段BC把△CPD分割成两个三角形的面积比为1:2，即分类讨论：第一种情况：S△PCE∴S△PCE∴−x∴此时P点坐标(1第二种情况：S△PCE∴S△PCE∴−x∴此时P点坐标(2,3)；综上：P点坐标(12,(3)∵H点在抛物线上，F点在x轴上，∴设H点(x,−x2+2x+3)，F∵C(0,3)，B(3,0)，∴x≠3，t≠3，即分类讨论：第一种情况：当BC为对角线时，另一条对角线为HF，根据平行四边形的性质可知：BC、HF相互平分，根据中点坐标公式有：0+32解得：x=0t=3（舍去），x=2即此时F点坐标为(1,0)；第二种情况：当BH为对角线时，另一条对角线为CF，根据平行四边形的性质可知：BH、CF相互平分，根据中点坐标公式有：3+x2解得：x=0t=3（舍去），x=2即此时F点坐标为(5,0)；第三种情况：当BF为对角线时，另一条对角线为CH，根据平行四边形的性质可知：BF、CH相互平分，根据中点坐标公式有：3+t2解得：x=1+7t=7即此时F点坐标为7−2,0、−2−综上：F点坐标为：(1,0)、(5,0)、7−2,0、−2−【点睛】本题考查了待定系数法求解抛物线解析式、三角形面积、中点坐标公式以及平行四边形的性质等知识，掌握平行四边形的性质并灵活运用中点坐标公式是解答本题的关键．18．（2021·云南·剑川县马登镇初级中学九年级期中）如图，抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)、B(4,5)两点，点E是线段AB上一动点，过点E作x(1)求抛物线的解析式；(2)求线段EF的最大值；(3)抛物线与x轴的另一个交点为点C，在抛物线上是否存在一个动点P，使得SΔACP=【答案】(1)y=(2)25(3)存在，点P的坐标为(1−6,2)或(1+6,2)【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先设出点F的坐标，然后表示出点E的坐标，再表示出EF的长度，根据二次函数的性质即可确定EF的最大值；（3）先求出点C的坐标，然后求出三角形ABC的面积，设出点P的坐标，用含点P的坐标的式子表示出三角形ACP的面积，列出关于方程，即可求出点P的坐标．（1）解：把A(−1,0)、B(4,5)代入y=x{0=1−b+c解得：{b=−2∴抛物线的解析式为y=x（2）解：设F(x,x设直线AB的解析式为y=kx+b，代入点A(−1,0)、B(4,5)，得：{0=−k+b解得：{k=1∴直线AB的解析式为y=x+1，EF∥y轴，∴E(x,x+1)∴EF=x+1−(x则当x=32时，EF取得最大值为（3）答：存在，取y=0，则x2解得x=−1或x=3，∴C(3,0)，∴SΔ∴SΔ设P(m,m2−2m−3)解得m=1−6或m=1+6或m=1−2当m=1−6或m=1+6时，当m=1−2或m=1+2时，∴点P的坐标为(1−6,2)或(1+6,2)或【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，会根据解析式确定抛物线和坐标轴的交点，对于动点问题，一般是先设出动点的坐标，再列出关于动点坐标的方程，然后解方程．19．（2021·山西阳泉·九年级期中）综合与探究：如图，抛物线y=ax2+bx−6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA=2，OB=4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是92时，求△ABD(3)在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)45(3)存在，N−1,−154或【分析】（1）根据OA=2，OB=4确定点A和B的坐标，代入抛物线的解析式列方程组解出即可；（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，利用待定系数法求直线BC的解析式，设D（x，34x2−32x−6），则H（x，32x−6），表示DH的长，根据△BCD（3）分两种情况：N在x轴的上方和下方，根据y=±154确定N（1）∵OA=2，OB=4，∴A−2,0，B将A−2,0，B4,0代入4a−2b−6=0,解得a=∴抛物线的函数表达式为y=3（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，当x=0时，y=6，∴C（0，6），设BC的解析式为：y=kx+n，则n=−64k+n=0，解得：k=∴BC的解析式为：y=3设D（x，34x2−32x−6∴DH=3∵△BCD的面积是92∴12∴12解得：x=1或3，∵点D在直线l右侧的抛物线上，∴D（3，−15∴△ABD的面积=1（3）分两种情况：①如图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形，∵B（4，0），D（3，−154），且M在∴N的纵坐标为154当y=154时，即3解得：x=1+14或1−∴N(1−14,15②如图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，抛物线上点D关于对称轴x=1的对称点为N−1,−∴N（1，−15综上，点N的坐标为：N−1,−154或N【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系数法求函数解析式，会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题，并结合方程思想解决问题．20．（2022·山东菏泽·九年级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，OA＝OC＝2．P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P在第三象限内，且PE=14OD，求【答案】(1)y=(2)3【分析】（1）由OA＝OC＝2，得A（2，0），C（0，﹣2），然后由待定系数法即可求抛物线的函数表达式即可；（2）由y=14x2+12x﹣2得出B（﹣4，0），设直线BC为y＝kx﹣2，用待定系数法求出得直线BC的解析式，设P（m，14m2+12m﹣2），m＜0，则可用含m的代数式表示出E、D的坐标与线段PE和OD的长度，根据PE=14OD建立方程求出(1)解：∵OA＝OC＝2，∴A（2，0），C（0，﹣2），根据题意得：−b解得a=1∴抛物线的函数表达式为y=14x2+(2)解：设y=14x2+解得x=2或4，∴B（﹣4，0），设直线BC为y＝kx﹣2，将B（﹣4，0）代入得：y＝﹣4k﹣2，∴k=−1∴直线BC为y=−12设P（m，14m2+12m则E（m，−12m﹣2），D（∴PE＝（−12m﹣2）﹣（14m2+12m﹣2）=−14m2∵PE=14∴−14m2﹣m=−解得m＝0（舍去）或m＝﹣3，∴PE=34，BD＝OB﹣∴△PBE的面积为12【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、函数图象上的点坐标的特征、两点间的距离公式，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．21．（2022·宁夏吴忠·九年级期中）已知△AOB的三边OA=42，OB=6，AB=25，以顶点O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒，过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N，当点M与N重合时，点(1)求点A的坐标，并确定t的取值范围；(2)求MN的长度(用含t的代数式表示)；(3)设△AMN的面积为S，写出S关于t的函数关系式，并求S的最值．【答案】(1)A(4，4)，0≤t≤4(2)MN=63(3)S=34t2−6t+12(0≤t≤4)，S最大【分析】（1）过点A作AC⊥OB，交OB于点C，交MN于点D，设OC=x，则BC=6x，由勾股定理可得OA2−OC2（2）根据题意可得OP=t，则CD=t，再由△AMN∽△AOB．即可求解；（3）根据S=12MN×AD，可得到S关于t（1）解：过点A作AC⊥OB，交OB于点C，交MN于点D，设OC=x，则BC=6x，∵AC∴OA∴(42)2x2=(25)2(6x解得：x=4．∴AC=OA∴A(4，4)，∴0≤t≤4．（2）解：根据题意得OP=t，则CD=t，

∴AD=4t∵MN∥OB，∴△AMN∽△AOB．∴MNOB∴MN6∴MN=6−3（3）解：S=12MN×AD=12(6−32t)(4t)=3∵二次函数图象的对称轴是直线t=4，开口向上，∴S随着t的增大而減小．∴当t=0时，S有最大值，S最大=12；当t=4时，S有最小值，S最小=0．【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质是解题的关键．22．（2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中）如图，抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与y轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相较于点C，顶点为D．(1)直接写出A、B、C三点的坐标；(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示PF的长，并求出当m为何值时四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．【答案】(1)A（1，0），B（3，0），C（0，3）(2)①当m=2时，四边形PEDF为平行四边形②S=32m2+92m（0≤【分析】（1）已知了抛物线的解析式，当y=0时可求出A，B两点的坐标，当x=0时，可求出C点的坐标．（2）①PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是PF的长．根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．②可将三角形BCF分成两部分来求：一部分是三角形PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积．一部分是三角形PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出三角形PFB的面积．然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式．（1）解：令y=0，则0=x2+2x+3，解得：x=1或3，∵抛物线y=x2+2x+3与x相交于AB（点A在点B左侧），∴A（1，0），B（3，0），令x=0，则y=3，∵抛物线与y轴相交于点C，∴C（0，3）．（2）解：①设直线BC的函数关系式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入，得3k+b=0b=3，解得：k=−1∴直线BC的函数关系式为y=x+3．当x=1时，y=1+3=2，∴E（1.2）．当x=m时，y=m+3，∴P（m，m+3）在y=x2+2x+3中，当x=1时，y=4，∴D（1，4）．当x=m时，y=m2+2m+3，∴F（m，m2+2m+3），∴线段DE=42=2，线段PF=m2+2m+3（m+3）=m2+3m，∵PF∥DE，∴当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形．由m2+3m=2，解得m=2或m=1（不合题意，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3．∵S=S△EPF+S△CPF，即S=12PF•BM+12PF•OM=12PF（BM=12PF•OB∴S=12×3（m2+3m）=32m2+m（0≤【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数得出相关点的坐标是解题的基础，其中用到的知识点有平行四边形的判定和性质、解一元二次方程、用待定系数法确定一次函数的解析式，三角形面积公式的运用．23．（2022·全国·九年级期中）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．(1)求二次函数的解析式；(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；(3)在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝﹣x2＋2x＋3(2)9(3)存在，(1，4)或(2，3)【分析】(1)由二次函数顶点C(1，4)，抛物线经过B(3，0)，用待定系数法可得二次函数的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；(2)在y＝﹣x2＋2x＋3中，可得D(0，3)，用待定系数法得直线BD解析式为y＝﹣x＋3，设P(m，﹣m＋3)，则M(m，﹣m2＋2m＋3)，PM＝﹣(m﹣32)2＋94，根据二次函数性质即得：当m＝32时，PM(3)过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q(x，﹣x2＋2x＋3)，则G(x，﹣x＋3)，可得QG＝|﹣x2＋2x＋3﹣(﹣x＋3)|＝|﹣x2＋3x|，又OB＝OD，△BDQ中BD边上的高为2时，可知QG＝2，即得﹣x2＋3x＝2，可解得点Q为(1，4)或(2，3)．（1）解：由二次函数顶点C(1，4)，设y＝a(x﹣1)2＋4，将B(3，0)代入得：4a＋4＝0，∴a＝﹣1，∴y＝﹣(x﹣1)2＋4＝﹣x2＋2x＋3，答：二次函数的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；（2）解：在y＝﹣x2＋2x＋3中，令x＝0得y＝3，∴D(0，3)，设直线BD解析式为y＝kx＋3，将B(3，0)代入得：3k＋3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BD解析式为y＝﹣x＋3，设P(m，﹣m＋3)，则M(m，﹣m2＋2m＋3)，∴PM＝﹣m2＋2m＋3＋m﹣3＝﹣m2＋3m＝﹣(m﹣32)2＋9∵﹣1＜0，∴当m＝32时，PM取最大值，最大值为9（3）解：存在点Q，使△BDQ中BD边上的高为2，理由如下：过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，如图：设Q(x，﹣x2＋2x＋3)，则G(x，﹣x＋3)，∴QG＝|﹣x2＋2x＋3﹣(﹣x＋3)|＝|﹣x2＋3x|，∵OB＝OD，∴∠OBD＝45°，∴∠BGE＝45°＝∠QGH，∴△QGH是等腰直角三角形，当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH＝HG＝2，∴QG＝2，∵点Q在第一象限，QG＝|﹣x2＋3x|，∴﹣x2＋3x＝2，解得x＝1或x＝2，∴Q(1，4)或(2，3)，综上可知存在满足条件的点Q，坐标为(1，4)或(2，3)．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质及方程思想等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．24．（2021·广东云浮·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3交x轴于点A（－1，0），B（3，0），过点B的直线y＝23x－2交抛物线于点C(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；(3)若点M在抛物线上，点N直线BC上．试探究：是否存在点M，N，使得OM=ON，∠MON=90°同时成立？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3(2)当m＝43时，S△PBC的最大值为(3)存在，点N的坐标为N1（3，0），N2(154，12)，N【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入抛物线的解析式中，得关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求得a、b，从而可求得抛物线的函数解析式；（2）过点P作PD//y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，则有S△PBC=S△PEB+S△PEC，设Pm,m2−2m−3，则可得E点坐标，从而可分别求得PD（3）设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，23n﹣2），画出图形，根据全等得出线段相等，列出方程，从而求得点N（1）将点A−1,0，B3,0代入y=ax2+bx−3中，得：0=a−b−3（2）过点P作PD//y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，如图：设点Pm,m2−2m−3，则点Em,23m−2．∵点P、E均位于x轴的下方，∴P、E两点的纵坐标均为负，∴PD=−m2+2m+3，DE=−23m+2，∴PE=PD−DE=−m2+2m+3−−23m+2=−m2+83m+1，∵点C的坐标为方程组y=x2−2x−3y=23（3）存在，点N的坐标为N1（3，0），N2154,12，N321+3978,−1+974，N321−3978,−1+974．如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，23n﹣2），作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，∴∠OGM＝∠OHN＝90°，∵OM＝ON，∠MON＝90°，∠GOH＝90°，∴∠MOG＝∠NOH，在△OGM与△OHN中，∠OGM=∠OHN=90∘∠MOG=∠NOHOM=ON，∴△OGM≌△OHN（AAS），∴GM＝NH，OG＝OH，∴23n−2=tn=−t2+2t+3，解得：t1=0n1=3，t2=12n2=154，∴N1（3，0），N2154,12，如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，23n﹣2），作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，∴∠OGM＝∠OHN＝90°，∴∠MOG+∠GMO＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠MOG+∠NOH＝90°，∴∠GMO＝∠NOH，∵OM＝ON，在△OGM与△OHN中，∠OGM=∠OHN=90∘∠GMO=∠NOHOM=ON，∴△OGM≌△OHN【点睛】本题是二次函数的压轴题，也是中考常考题型，它考查了待定系数法求二次数解析式，求二次函数与三角形面积的最值，二次函数与特殊三角形面积，运算量较大，这对学生的运算能力提出了更高的要求，掌握求三角形面积时用到图形的割补方法，利用图形构造全等是解题的关键．25．（2021·黑龙江·海林市朝鲜族中学九年级期中）已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1,0)(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形AOCD面积的最大值；(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝34x2＋94(2)13.5(3)存在P1（−3，−3），P2（−3−412，3），P3（【分析】（1）根据OC＝3OB，B（1，0），求出C点坐标（0，−3），把点B，C的坐标代入y＝ax2＋3ax＋c，求出a点坐标即可求出函数解析式；（2）过点D作DE∥y轴分别交线段AC于点E．设D（m，m2＋2m−3），然后求出DE的表达式，把S四边形ABCD分解为S△ABC＋S△ACD，转化为二次函数求最值；（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，由题意可知点P2、P3的纵坐标为3，从而可求得其横坐标．（1）解：（1）∵B的坐标为（1，0），∴OB＝1．∵OC＝3OB＝3，点C在x轴下方，∴C（0，−3）．∵将B（1，0），C（0，−3）代入抛物线的解析式得：4a+c=0c=−3，解得：a=∴抛物线的解析式为y＝34x2＋94（2）解：如图1所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．∵x＝−b2a＝−94∴A（−4，0）．∴AB＝5．∴S△ABC＝12AB•OC＝1设AC的解析式为y＝kx＋b．∵将A（−4，0）、C（0，−3）代入得：−4k+b=0b=−3，解得：k=−∴直线AC的解析式为y＝−34x设D（a，34a2＋94a−3），则E（a，−3∵DE＝−34a−3−（34a2＋94a−3）＝−34（∴当a＝−2时，DE有最大值，最大值为3．∴△ADC的最大面积＝12DE•AO＝1∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=7.5+6=13.5，∴四边形ABCD的面积的最大值为13.5．（3）解：存在．①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．∵C（0，−3），令34x2＋94∴x1＝0，x2＝−3．∴P1（−3，−3）．②平移直线AC交x轴于点E2，E3，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC＝P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC＝P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形．∵C（0，−3），∴P2，P3的纵坐标均为3．令y＝3得：34x2＋94x−3＝3，解得；x1＝−3−412，x∴P2（−3−412，3），P3（综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（−3，−3），P2（−3−412，3），P3（【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键，在解答（3）时要注意进行分类讨论．26．（2022·浙江金华·八年级期中）在平面直角坐标系中已知抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线L1的表达式及点D的坐标；(2)将抛物线L1关于点A对称后的抛物线记作L2，抛物线L2的顶点记作点E，求抛物线L2的表达式及点E的坐标；(3)是否在x轴上存在一点P，在抛物线L2上存在一点Q，使D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线L1的函数表达式为y=x2−2x−3(2)抛物线L2的函数表达式为y=−x2−6x−5(3)点Q的坐标为(−5,0)或(−3−23,−8)【分析】（1）把A（−1，0）、B（3，0）代入y＝ax2＋bx−3，列方程组并且解方程组求出a、b的值即可得到抛物线L1的函数表达式为y＝x2−2x−3，再将该表达式配方成顶点式，即可求得该抛物线的顶点D的坐标为（1，−4）；（2）抛物线L2与抛物线L1关于点A（−1，0）对称，则抛物线L2的顶点E的坐标为（−3，4），可以求得抛物线L2的函数表达式为y＝−（x＋3）2＋4，即y＝−x2−6x−5；（3）以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形分两种情况，一是DE为平行四边形DPEQ的对角线，当P与B重合时，点Q与点B关于A（−1，0）的对称，则Q（−5，0）；二是DE为平行四边形DEPQ的一边，过点Q作QF⊥x轴于点F，过点E作EM⊥x轴，过点D作DM⊥EM于点M，则M（−3，−4），可证明△PQF≌△DEM，得QF＝EM＝8，则Q点的纵坐标为−8，求出点Q的横坐标即可．（1）解：把A−1,0、B3,0代入得a−b−3=09a+3b−3=0，解得a=1∴抛物线L1的函数表达式为y=∵y=x∴该抛物线的顶点D的坐标为1,−4，∴抛物线L1的函数表达式为y=x2−2x−3，顶点（2）解：∵抛物线L2与抛物线L1关于点A−1,0对称，L1的顶点∴抛物线L2的顶点E的坐标为−3,4∴抛物线L2的函数表达式为y=−x+32∴抛物线L2的函数表达式为y=−x2−6x−5，点（3）解：存在，如图1所示，DE为平行四边形DPEQ的对角线，∵点D与点E关于点A对称，∴点A为平行四边形DQEP的对称中心，当P与B重合时，点Q与点B关于A−1,0∵B3,0∴Q−5,0如图2所示，DE为平行四边形DEPQ的一边，过点Q作QF⊥x轴于点F，过点E作EM⊥x轴，过点D作DM⊥EM于点M，则M−3,−4∵四边形DEPQ是平行四边形，∴DE∥PQ，∵DM∥∴∠QPF=∠EAP=∠EDM，∵∠PFQ=∠DME=90°，∴△PQF≅△DEMAAS∴QF=EM=8，∴Q点的纵坐标为−8，把y=−8代入y=−x2−6x−5解得x1=−3−23∴Q−3−23,−8综上所述，点Q的坐标为−5,0或−3−23,−8或【点睛】此题重点考查二次函数的图像与性质、用待定系数法求函数表达式、用配方法求抛物线的顶点坐标、平行四边形的性质、中心对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．27．（2020·辽宁·抚顺市顺城区长春学校九年级期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；【答案】(1)y=−(2)（1，0）或（2，0）【分析】（1）将A、B两点的坐标代入抛物线解析式，列出关于a、b的方程，求出a、b的值代入解析式即可；（2）令x=0，求出点C的坐标为（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B、C的坐标代入求出直线的解析式，设点P的坐标为（x，0），则点F的坐标为（x，x+3），点E的坐标为（x，−x2+2x+3），利用平行四边形对边相等可列出−x2(1)∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线上，∴a−b+3=09a+3b+3=0解得：a=−1b=2∴抛物线的解析式为y=−x(2)在抛物线y=−x2+2x+3上，当x即点C的坐标为（0，3）．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵点B、C在直线y=kx+b上，∴3k+b=0b=3解得：k=−1,b=3，∴y=−x+3．设点P的坐标为（x，0），则点F的坐标为（x，x+3），点E的坐标为（x，−x∵当四边形ODEF是平行四边形时，EF=DO，∴−x2+2x+3−(−x+3)=2解得：x=1或x=2，∴点P的坐标为（1，0）或（2，0）．【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的图像与性质、待定系数法和平行四边形的性质是解题的关键．28．（2022·重庆巴蜀中学