专题30一次函数中等腰（直角）三角形存在问题综合应用

专题30一次函数中等腰（直角）三角形存在问题综合应用解答方法解答方法一．等腰三角形存在性问题1、找点方法：①以AB为半径，点A为圆心做圆，此时，圆上的点（除D点外）与A、B构成以A为顶点的等腰三角形（原理：圆上半径相等）②以AB为半径，点B为圆心做圆，此时，圆上的点（除E点外）与A、B构成以B为顶点的等腰三角形（原理：圆上半径相等）③做AB的垂直平分线，此时，直线上的点（除F点外）与A、B构成以C为顶点的等腰三角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）2、求点方法：为AB’典例分析典例分析【考点1等腰三角形的存在性问题】【典例1】如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线l对折使点A和点B重合，直线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC．（1）求D点的坐标；（2）已知y轴上有一点P，若以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．【答案】（1）D点的坐标为（4，2）；（2）点P的坐标为或（0，﹣4）或（0，9）或（0，﹣1）．【解答】解：（1）对于一次函数，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则，∴x＝8，∴A（8，0），B（0，4），∵将△AOB沿直线l对折使点A和点B重合，直线l与AB交于点D，∴点D是线段AB的中点，∴D点的坐标为（4，2）；（3）设OC＝a，∵将△AOB沿直线l对折使点A和点B重合，直线l与x轴交于点C，∴BC＝AC＝8﹣a，在Rt△OBC中，OC2+OB2＝BC2，∴a2+42＝（8﹣a）2，∴a＝3，∴点C的坐标为（3，0）；设P（0，m），∵B（0，4），∴BC2＝32+42＝25，CP2＝32+m2＝9+m2，BP2＝（m﹣4）2，∵△PCB是等腰三角形，∴①当PC＝PB时，m2+9＝（m﹣4）2，∴，∴点P的坐标为；②当PC＝CB时，m2+9＝25，∴m＝4（舍）或m＝﹣4，∴点P的坐标为（0，﹣4）；③当CB＝PB时，25＝（m﹣4）2，∴m＝9或m＝﹣1，∴点P的坐标为（0，9）或（0，﹣1），综上，点P的坐标为或（0，﹣4）或（0，9）或（0，﹣1）．【变式11】如图，直线y＝﹣与直线y＝x+b交于点A（﹣1，m），直线y＝﹣与x轴交于点B，直线y＝x+b与x轴交于点C．（1）求m和b的值；（2）在x轴上，是否存在点P，使△PAC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m的值为4，b的值为5；（2）存在点P，使△PAC为等腰三角形，P的坐标为（﹣1，0）或（4﹣5，0）或（﹣4﹣5，0）或（3，0）．【解答】解：（1）把A（﹣1，m）代入y＝﹣得：m＝+＝4，∴A（﹣1，4），把A（﹣1，4）代入y＝x+b得：4＝﹣1+b，解得b＝5，∴m的值为4，b的值为5；（2）存在点P，使△PAC为等腰三角形，理由如下：设P（m，0），在y＝x+5中，令y＝0得x＝﹣5，∴C（﹣5，0），∵A（﹣1，4），∴PA2＝（m+1）2+16，PC2＝（m+5）2，AC2＝32，①当PA＝PC时，（m+1）2+16＝（m+5）2，解得m＝﹣1，∴P（﹣1，0）；②当PC＝AC时，（m+5）2＝32，解得m＝4﹣5或m＝﹣4﹣5，∴P（4﹣5，0）或（﹣4﹣5，0）；③当PA＝AC时，（m+1）2+16＝32，解得m＝3或m＝﹣5（舍去），∴P（3，0）；综上所述，P的坐标为（﹣1，0）或（4﹣5，0）或（﹣4﹣5，0）或（3，0）．【变式12】如图，在直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（0，2），C（2，3），D（4，0）．（1）求直线BC的表达式；（2）已知点M在x轴上，且△MBC是等腰三角形，求点M的坐标．【答案】（1）；（2）（1，0）或（﹣1，0）或．【解答】解：（1）设直线BC的表达式为y＝kx+b，把点B（0，2），C（2，3）代入y＝kx+b得，，解得，∴直线BC的表达式为；（2）要使得△MBC是等腰三角形，则有两种可能：①以BC为腰：∵CM的最小值应为，∴另一个腰应为：BM，∴当时，△MBC是等腰三角形，设M（a，0），则OM＝|a|，由勾股定理得，OM2+OB2＝BM2，∴，解得，a＝±1，∴点M的坐标为（1，0）或（﹣1，0），②以BC为底，BM，CM为腰：i）当点M在OD内时，设M（x，0），则有：，ME＝|x﹣2|，∴，∵CM＝BM，∴CM2＝BM2，∴4+x2＝9+（x﹣2）2，解得，，∴ii）当点M在x轴的负半轴上时，设M（x，0），则有：，ME＝x﹣2，由i）可知，（不符合题意，舍去），iii）当点M在OD外x轴的正半轴上时，设M（x，0），则有：，ME＝2﹣x，∴，由i）可知，（不符合题意，舍去），∴以BC为底，BM，CM为腰时，点M的坐标为，综上，点M的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或．【考点2等腰直角三角形的存在性问题】【典例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（3，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）点P的坐标为（﹣3，3）或（0，0）或或（﹣，）．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝x+3得：y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），把点B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3；（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），D为AC的中点，∴点D的坐标为①当点D为直角顶点时，如图，过点D作DE⊥y轴于E，过点P作PF⊥DE交ED的延长线于F，交x轴于H，∵DE⊥y轴，PF⊥DE，∴∠PFD＝∠CED＝90°，∵△CDP是等腰直角三角形，∴DP＝CD，∠CDB＝90°，∴∠PDF+∠CDE＝∠DCE+∠CDE＝90°，则∠PDF＝∠DCE，∴△PDF≌△CDE（AAS），∴DF＝CE，PF＝DECE，∵点D的坐标为，点C的坐标为C（0，3），∴，，，∴，∴P（﹣3，3），同理可得P′（0，0），∴点P的坐标为P（﹣3，3）或P′（0，0）②当点C为直角顶点时，如图，过点D作DN⊥y轴于N，过点P作PM⊥y轴于M，同①可得△PCM≌△CDN，∴DN＝CM，PM＝CN，∵点D的坐标为，点C的坐标为C（0，3），∴，∴，∴，同理可得P′（﹣，），综上所述，点P的坐标为（﹣3，3）或（0，0）或或（﹣，）．【变式21】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝x交于点A（2，a），与y轴交于点B（0，6），与x轴交于点C．（1）求直线l1的函数表达式；（2）在平面直角坐标系中有一点P（5，m），使得S△AOP＝S△AOC，请求出点P的坐标；（3）点M为直线l1上的动点，过点M作y轴的平行线，交l2于点N，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣2x+6；（2）点P坐标为（5，2）或（5，8）；（3）点M的坐标为（，）或（，3）或（6，﹣6）或（3，0）．【解答】解：（1）∵点A（2，a）在直线l2：y＝x上，∴a＝2，即A（2，2），∵直线l1：y＝kx+b过点A（2，2）、点B（0，6），∴，解得：，∴直线l1的函数表达式为：y＝﹣2x+6；（2）∵S△AOP＝S△AOC，∴当以AO为底边时，两三角形等高，∴过点P且与直线AO平行的直线l3为：y＝x+d，①直线l3过点C（3，0），得l3为：y＝x﹣3，当x＝5时，m＝5﹣3＝2，∴点P（5，2），②点C（3，0）关于点A（2，2）的对称点为（1，4），直线l3过点（1，4），得l3为：y＝x+3，当x＝5时，m＝5+3＝8，∴点P（5，8），综上所述，点P坐标为（5，2）或（5，8）；（3）设M（t，﹣2t+6），则N（t，t），∴MN＝|﹣2t+6﹣t|＝|3t﹣6|，①如图1，若∠MQN＝90°，MQ＝NQ，则有MN＝2|xM|＝2|t|，∴|3t﹣6|＝2|t|，∴t＝或t＝6，∴M（，）或（6，﹣6），②如图2，图3，若∠QMN＝90°或∠QNM＝90°，则MN＝|xM|＝|t|，∴|3t﹣6|＝|t|，∴t＝或t＝3，∴M（，3）或（3，0）．综上所述，点M的坐标为（，）或（，3）或（6，﹣6）或（3，0）．【变式22】在直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线l2：y＝mx+m（m＞0）与x轴，y轴分别交于点C，点D，直线l1与l2交于点E．（1）若点E坐标为（，n）．ⅰ）求m的值；ⅱ）点P在直线l2上，若S△AEP＝3S△BDE，求点P的坐标；（2）点F是线段CE的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点F使△CFG为以FC为直角边的等腰直角三角形．若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）ⅰ）m＝2；ⅱ）点P的坐标为：（，）或（，）；（2）存在，m＝．【解答】解：（1）当x＝时，y＝﹣x+4＝，即点E（，），ⅰ）将点E的坐标代入y＝mx+m得：＝m（1+），解得：m＝2；ⅱ）由点B、D、E的坐标得：BD＝2，xE＝，则3S△BDE＝3××2×＝2＝S△AEP，由A、E的坐标得：AE＝＝，设△PAE的底边AE上的高为h，则S△PAE＝AE•h＝h＝2，解得：h＝，由直线AB的表达式知，OA＝OB＝4，则∠BAC＝45°，取AM＝h，作直线l∥AB，过点A作AM⊥l于点M，过点M作MN⊥x轴于点N，则直线l和直线CD的交点即为点P，则Rt△AMN为等腰直角三角形，则MN＝AM＝h＝＝AN，则点M（，﹣），设直线l的表达式为：y＝﹣x+r，将点M的坐标代入上式并解得：r＝，则直线l的表达式为：y＝﹣x+，联立直线l和y＝2x+2并解得：，即点P的坐标为（，）；当点P在直线AB上方时，同理可得：点P（，）；综上，点P的坐标为：（，）或（，）；（2）存在，理由：设点E（n，﹣n+4），则点F（，），过点F分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M、N，∵△CFG为以FC为直角边的等腰直角三角形，则FC＝FG，∠GFC＝90°，∵∠NFG+∠GFM＝90°，∠GFM+∠MFC＝90°，∴∠NFG＝∠MFC，∵∠FNG＝∠FMC＝90°，FC＝FG，∴△FNG≌△FMC（AAS），∴FN＝FM，即||＝，解得：n＝，则点E（，），将点E的坐标代入y＝mx+m并解得：m＝．夯实基础夯实基础1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，6）．（1）求一次函数的解析式；（2）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x+3；（2）在x轴上存在一点P，使得△ABP是等腰三角形，P点坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．【解答】解：（1）∵将点C（m，6）代入y＝x，∴6＝m，∴m＝4，∴C（4，6），设一次函数的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+3；（3）在x轴上存在一点P，使得△ABP是等腰三角形，理由如下：∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝5，OA＝4，当B为等腰三角形顶角顶点时，P点与A点关于y轴对称，∴P（4，0）；当A为等腰三角形顶角顶点时，AP＝AB＝5，∴P（﹣9，0）或P（1，0）；当P为等腰三角形顶角顶点时，设P（t，0），∵PA＝PB，∴（t+4）2＝t2+9，解得t＝﹣，∴P（﹣，0），综上所述：P点坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x+6；（2）点P的坐标为（﹣，）或（，）或（3，）或（﹣3，）．【解答】解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6），∵点B（6，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）：∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6；（3）∵A（﹣3，0），C（0，6），D为AC的中点，∴D（﹣，3），①当点D为直角顶点时，如图，过点D作DE⊥y轴于E，过点P作PF⊥DE交ED的延长线于F，交x轴于H，∴∠F＝∠CED＝90°，∵△CDP是等腰直角三角形，∴DP＝CD，∠CDB＝90°，∴∠PDF+∠CDE＝∠DCE+∠CDE＝90°，∴△PDF≌△CDE（AAS），∴DF＝CE，PF＝DE，∵D（﹣，3），C（0，6）．∴DE＝PF＝，OE＝3，CE＝DF＝6﹣3＝3，∴EF＝3+＝，PH＝3+＝，∴P（﹣，），同理得：P′（，）；∴P（﹣，）或（，）；②当点C为直角顶点时，如图，过点D作DN⊥y轴于N，过点P作PM⊥y轴于M，同①可得△PCM≌△CDN（AAS），∴DN＝CM，PM＝CN，∵D（﹣，3），C（0，6）．∴DN＝CM＝，ON＝3，CN＝PM＝6﹣3＝3，∴OM＝6﹣＝，∴P（3，），同理得：P′（﹣3，）；∴P（3，）或（﹣3，）．综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）或（3，）或（﹣3，）．3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）求出点A、点B的坐标；（2）在x轴上是否存在一点P，使得△POC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）；（2）存在，点P坐标为（4，0）或（2，0）或（2，0）或（﹣2，0）．【解答】解：（1）对于直线l2的解析式为y＝﹣x+3，令x＝0，得到y＝3，∴B（0，3），令y＝0，得到x＝6，∴A（6，0）．∴点A是坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）；（3）存在．∵点C（2，2），∴OC＝＝2，∠AOC＝45°，设P（x，0），①当PC＝OC＝2时，如图，∵点C（2，2），∴PC2＝22+（x﹣2）2，∴（2）2＝22+（x﹣2）2，∴x＝0或4，∵x＝0时，与点O重合，故舍去，∴点P（4，0）；②当CP＝OP时，如图，∵CP＝OP，∠AOC＝45°，∴∠OCP＝45°，∴∠OPC＝90°，∴点C（2，2），∴OP＝2，∴点P（2，0）；③当OC＝OP＝2时，如图，点P（2，0）或（﹣2，0），综上所述：点P坐标为（4，0）或（2，0）或（2，0）或（﹣2，0）．4．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是射线BO上的动点，过点B作直线AP的垂线交x轴于点Q，垂足为点C，连结OC．（1）当点P在线段BO上时，①求证：△AOP≌△BOQ；②若点P为BO的