1.1.1(2)等腰三角形的判定（备作业）2021-2022学年八年级数学下册(北师大版)

1.1.1(2)等腰三角形的判定一、单选题1．已知一个三角形中有两个角度数如下，其中不能构成等腰三角形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角形内角和定理求出另一个角的度数，然后根据等角对等边求解即可．【解析】解：A、由题意可得另一个角的度数为70°，即三角形的三个角的度数分别为40°，70°，70°是等腰三角形，不符合题意；B、由题意可得另一个角的度数为50°，即三角形的三个角的度数分别为50°，50°，80°是等腰三角形，不符合题意；C、由题意可得另一个角的度数为30°，即三角形的三个角的度数分别为30°，60°，90°不是等腰三角形，符合题意；D、由题意可得另一个角的度数为30°，即三角形的三个角的度数分别为30°，30°，120°是等腰三角形，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2．下列三角形中，等腰三角形的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据题图所给信息，根据边或角分析即可【解析】解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；故答案为：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．3．用反证法证明“若，，则”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC． D．a与b相交【答案】D【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可解答．【解析】解：用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，应假设：a不平行b或a与b相交．故选D．【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．4．下列条件：①已知两腰；②已知底边和顶角；③已知顶角与底角；④已知底边和底边上的高，能确定一个等腰三角形的是（）A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④【答案】C【分析】能不能确定一个等腰三角形，主要看给出同样条件的两个三角形是不是全等，根据这一标准对四个条件进行判断即可确定选项．【解析】解：下列条件能不能确定一个等腰三角形，主要看给出的条件的两个三角形是不是全等：①已知两腰，SS不能判定两个三角形全等，所以不能确定一个等腰三角形；②已知底边和顶角，AAS或ASA能判定两个三角形全等，所以可以确定一个等腰三角形；③已知顶角和底角，AAA不能判定两个三角形全等，所以不能确定一个等腰三角形；④已知底边和底边上的高，可以判定两个三角形全等，所以可以确定一个等腰三角形；∴②④可以确定一个等腰三角形，故选：C．【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定，把能不能确定一个等腰三角形转化为同样条件的两个三角形是不是全等是解题的关键．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E足BC上的点，∠BAD=∠DAE＝∠EAC，图中等腰三角形的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E是BC上的点，∠BAD＝∠DAE＝∠EAC这些条件，再根据三角形的内角和是180°和等腰三角形的性质，求出各个角的度数，即可判断．【解析】解：因为在△ABC中，AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形，因为∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝（180°−36°−36°）÷3＝36°，所以△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，又因为∠BAE＝∠CAD＝36°＋36°＝72°，∠BEA＝∠CDA＝180°−72°−36°＝72°，所以∠BAE＝∠CAD＝∠BEA＝∠CDA＝72°，所以△BAE、△CAD是等腰三角形，一共有6个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．6．如图，已知ABC≌DCE，∠A＝∠B＝70°，连接AE，得到∠AED＝（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】B【分析】首先求出∠ACB，根据全等三角形的性质得到相等的边和角，从而结合∠ACE求出∠CAE=∠CEA=75°，再利用角的和差得到∠AED．【解析】解：如图，连接AE，∵∠A＝∠B＝70°，∴∠ACB=180°70°×2=40°，∵△ABC≌△DCE，∴∠EDC=∠ECD=∠A=70°，∠DEC=∠A=40°，AC=EC，∴∠CAE=∠CEA，∵∠ACE=∠ECD∠ACB=30°，∴∠CAE=∠CEA=75°，∴∠AED=∠CEA∠DEC=35°，故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，解题的关键是要熟练运用这些定理进行边和角的转化．7．如图，在ABC中，∠BAC＝80°，D，E为BC上的两个点，且AB＝BE，AC＝CD，则∠DAE的度数为（）

A．60° B．50° C．45° D．40°【答案】B【分析】根据等腰三角形性质得出，，根据三角形内角和定理及各角之间的关系进行等量代换计算即可得到结论．【解析】解：∵，∴，∴，①∵，∴，∴，②①+②得：∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴．故选：B．【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，找准各角之间的关系进行等量代换计算是解题关键．8．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（）

A．62° B．67° C．76° D．82°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质，求出的度数，从而求得的度数．【解析】解：∵∴，又∵∴又∵∴，∴故答案为C．【点睛】此题主要考查了等腰三角形以及三角形外角的性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．9．如图，在直角坐标系中，点A在x轴上，点B在轴y上，∠BAO＝45°，P是坐标轴上的一点．若以A、B、P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的P点共有（）A．4个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】C【分析】利用可得到点在原点满足条件，然后分别以、为圆心，为半径画弧，所画的弧与坐标轴的交点为点、两点除外）．【解析】解：如图，满足条件的点有7个．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于交于，若则线段的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，然后即可求得结论．【解析】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，∴∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，∵MN∥BC，∴∠DBC=∠MDB，∠NDC=∠DCB，∴∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，∴BM=MD，DN=CN，∴MN=MD+DN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=8∴MN=8，故选：A．【点睛】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME△CNE是等腰三角形．二、填空题11．用反证法证明时应先假设__________，即__________．【答案】不小于大于或等于【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立而解答即可．【解析】用反证法证明命题若时，应先假设则，即．【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂反证法的意义及步骤．12．如图，∠B＝∠C，∠1＝∠2，且BE＝6，DE＝2，则BC的长为_____．【答案】10【分析】结合题意，根据等腰三角形性质，得AD＝AE，根据补角的性质计算，得∠BDA＝∠CEA，根据全等三角形性质，通过证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE，即可得出答案．【解析】∵∠1＝∠2，∴为等腰三角形∴∠BDA＝∠CEA，AD＝AE，在△ABD与△ACE中，∴△ABD≌△ACE∴BD＝CE，∵BE＝6，DE＝2，∴BD＝CE＝6﹣2＝4，∴BC＝BE+CE＝6+4＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形、全等三角形、补角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形的性质，从而完成求解．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，F是BC边上任意一点，过F作FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，若S△ABC＝12，则FE+FD＝___．【答案】4【分析】连接，根据，即可求解．【解析】解：连接，如图：则，∴∵∴∴故答案为【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，正确理解题意，根据等面积法列出等式是解题的关键．14．如图，△ABC中，BC=6，BO与CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，OD//AB，OE//AC．则△ODE的周长是__________．【答案】6【分析】由OB，OC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线和OD∥AB、OE∥AC可推出BD＝OD，OE＝EC，显然△ODE的周长即为BC的长度．【解析】解：∵OD∥AB，∴∠ABO＝∠BOD，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBD，∴∠OBD＝∠BOD，∴BD＝OD，则同理可得CE＝OE，∴△ODE的周长＝OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED的度数为_________．（用含有α的式子表示）【答案】【分析】由旋转的性质得，，，根据等边对等角和三角形内角和定理即可得到，由此即可得到答案．【解析】由旋转的性质得，，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线．问在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形．___（用“存在”或“不存在”填空）．如果存在，请直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．___【答案】存在72°或36°或54°【分析】使△CDP为等腰三角形，则可能是CD=CP，DP=CD，因为∠ACB=∠BDC，所以不可能PC=PD．【解析】解：存在3个点P，使得△CDP是等腰三角形．当以∠CDP为顶角，CD为一腰时，∠CPD=72°；当以∠DCP为顶角，CD为一腰时，存在两点P，一点在线段BC延长线上，此时∠CPD=36°；一点在线段BC上，此时∠CPD==54°．故答案为：存在；72°或36°或54°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．17．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分钱CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长___．【答案】3cm【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BDCE=DE即可求得．【解析】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，∴BD=FD=8cm，EF=CE=5cm，∴DE=FDEF=BDCE=85=3（cm），故答案为：3cm．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．18．如图，在中，，点D在边BC上，过点D作，垂足为E，，垂足为D，连接EF，若，，则的度数为______．

【答案】60°【分析】根据，，可求∠ABC=∠ACB=，由，，可得∠BED=∠FDC=90°，可证△BED≌△CDF（AAS），得出∠EFD=∠FED，可求∠EDB=90°∠B=50°，∠EDF=90°∠EDB=40°，∠CFD=90°∠C=50°，利用等腰三角形的性质与内角和可求∠EFD=∠FED=，利用平角定义可求∠AFE=180°∠DFC∠EFD=180°50°70°=60°即可．【解析】解：∵，，∴∠ABC=∠ACB=，∵，，∴∠BED=∠FDC=90°，在△BED和△CDF中，，∴△BED≌△CDF（AAS），∴DE=FD，∴∠EFD=∠FED，∵∠BED=∠FDC=90°，∴∠EDB+∠B=90°，∠EDB+∠EDF=90°，∠C+∠CFD=90°，∴∠EDB=90°∠B=50°，∠EDF=90°∠EDB=40°，∠CFD=90°∠C=50°，∴∠EFD=∠FED=，∴∠AFE=180°∠DFC∠EFD=180°50°70°=60°．故答案为60°．【点睛】本题考查等腰三角形性质与判定，三角形全等判定与性质，三角形内角和，平角定义，掌握等腰三角形性质与判定，三角形全等判定与性质，三角形内角和，平角定义是解题关键．三、解答题19．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求证：l1l2证明：假设l1l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P180°所以∠1+∠2180°，这与矛盾，故不成立．所以．【答案】；不平行；；三角形内角和定理；；∠1+∠2=180°；假设；结论成立，l1∥l2．【分析】先假设l1不平行l2，根据三角形的内角和定理，可得∠1+∠2+∠P=180°，从而得到∠1+∠2＜180°，与已知矛盾，即可求证．【解析】已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求证：证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，l1∥l2．【点睛】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法证明的基本过程，解题的关键是找到与已知相矛盾的条件．20．如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：BD＝CE；（2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质可得出BD＝CE；（2）由全等三角形的性质及三角形内角和定理求出∠CAE＝60°，由等腰三角形的性质求出∠DAE＝20°，则可求出答案．【解析】解：（1）证明∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C＝40°，∵∠E＝80°，∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠E，∴∠DAE＝180°﹣2∠E＝180°﹣160°＝20°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．21．如图，在中，平分，点E在的延长线上，且于点F．求证：F是的中点．【答案】见解析【分析】根据已知条件证明，根据等腰三角形三线合一的性质即可得解．【解析】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是的中点．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，根据已知求证是解本题的关键．22．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．已知：．求证：中不能有两个角是直角．【答案】证明见解析【分析】根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，第二步得出矛盾：，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角，从而得出原命题正确．【解析】证明：假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，则，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；∴一个三角形中不能有两个直角．【点睛】此题主要考查了反证法的应用，反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．（2）求证：FB＝FE．【答案】（1）54°，（2）见解析【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题．（2）利用角平分线性质和平行线性质证明∠FBE＝∠FEB即可．【解析】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，又∵EF∥BC，∴∠EBC＝∠BEF，∴∠EBF＝∠FEB，∴BF＝EF．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和判定，熟练运用平行线进行角的推导和证明．24．已知：在中，，平分，交于点，点在线段上（点不与点，重合），且．求证：．

【答案】见解析【分析】在BC上截取BF=AB，连接EF，证明△ABE≌△FBE，推AE=EF，∠EAB=∠EFB，再根据三角形的外角等于不相邻的连个内角的和这一定理，写出∠EFB=∠FEC+∠ECB，通过等量代换推∠ECB=∠FEC，进一步证明EF=FC，再通过等量代换，证明AE+AB=BC．【解析】证明：在BC上截取BF=AB，连接EF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，在△ABE与△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AE=EF，∠EAB=∠EFB，∵∠EAB=2∠ECB，∠EFB=∠FEC+∠ECB，∴2∠ECB=∠FEC+∠ECB，∴∠ECB=∠FEC，∴EF=FC，∵BC=BF+FC，∴AE+AB=BC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质的综合应用，在BC上截取BF=AB，连接EF，证明△ABE≌△FBE是解题的关键．25．（1）如图①，在△ABC中，∠B=60°，∠C=80°，AD平分∠BAC．求证：AD=AC；（2）如图②，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP=BC．求证：PE=BE．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先计算∠BAC=40°，再计算∠BAD=20°，从而计算∠ADC=80°，得到∠ADC=∠C即得到AD=AC；（2）过点C作CF∥AP，交BP的延长线于点F，证明CB=CF，从而利用平行线的性质，等角对等边原理证明即可．【解析】（1）∵∠B=60°，∠C=80°，∴∠BAC=40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=20°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°，∵∠C=80°，∴∠ADC=∠C，∴AD=AC．（2）过点C作CF∥AP，交BP的延长线于点F，∴∠DPA=∠DFC，∠DAP=∠DCF，∵AD=DC，∴△DPA≌△DFC，∴PA=FC，∵PA=BC，∴CB=CF，∴∠FBC=∠F，∵CF∥AP，∴∠BPE=∠F，∴∠FBC=∠BPE，∴PE=BE．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理，三角形全等的判定是解题的关键．26．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是BC、AC上的点．（1）如图1，若AB＝DC，∠ADE＝∠B，求证：△ABD≌△DCE（2）如图2，若AB＝DC，F为BC的中点，DE⊥AC于点E，求证：AB＝CF＋AE【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据，结合平角的性质和三角形内角和性质，可求出，再结合已知条件即可证明（2）根据已知条件证明，得，利用，即可求解【解析】（1）证明：，，在和中（2），点为中点和中中【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角