专题01中线模型

专题01中线模型基本模型：例题精讲例1．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是________________．【答案】1＜AD＜7【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中,，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE=AB，∵AB=6，AC=8，∴86<AE<8+6，即2<2AD<14，∴1<AD<7，故答案为：1<AD<7．例2．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE．根据______可以判定______，得出______．这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．【问题解决】（2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：．【问题拓展】（3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝______．【答案】（1）；；；；（2）见解析；（3）7．【详解】解：（1）在和中，，∴，∴．∵，∴，即，∴，∴，解得：；故答案为：；；；；（2）如图所示，延长ED使DG=ED，连接FG，GC，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，∴；（3）如图所示，延长AD交EC的延长线于点F，∵，，在和中，，，∴，，∵，∴，∵，∴．例3．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上的一点，BE交AD于点F，已知AE=EF．求证：AC=BF．【答案】见解析【详解】证明：延长AD到G，使得DG=AD，连接BG，在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC=BG且∠CAD=∠G∵AE=EF，∴∠EFA=∠EAF，∴∠G=∠EFA∵∠EFA=∠BFG，∴∠G=∠BFG，∴BG=BF∵AC=BG，∴BF=AC课后训练1．如图，已知是的平分线，，若的面积为，则的面积（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：延长AP交BC于点C，如图所示，，∵，∴，∵BP是的角平分线，∴，在和中，，∴，∴,∴，∵和同底等高，∴，∴，∴，故选C．2．在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的长是________．【答案】3【详解】解：过点C作CE∥AB交AD延长线于E，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵AD⊥AB，CE∥AB，∴AD⊥CE，∠ABD=∠ECD，∴∠E=90°，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB=EC，AD=ED=2，∴AE=2AD=4，在Rt△AEC中，，∴AB=CE=3．故答案为：3．3．如图，为中边上的中线．（1）求证：；（2）若，，求的取值范围．【答案】（1），（2）【详解】（1）证明：如图延长至，使，连接，∵为中边上的中线，∴，在和中：，∴，∴（全等三角形的对应边相等），在中，由三角形的三边关系可得，即；（2）解：∵，，由（1）可得，∴，∴．4．如图，已知在中，，是边上的中线，延长到点D，使．求证：．【答案】见解析【详解】解：如图，延长到点F，使，连接，则．因为为中线，所以．又因为，所以，所以，，所以．又因为，所以，所以，．5．如图，已知△ABC中，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于点G，若DG=GE，说明：△ABC为等腰三角形．【答案】见解析．【详解】解：如图，过D作DF∥AC交BC于F，∵DF∥AC，∴∠DFC=∠FCE，∵∠DGF=∠CGE，DG=GE，∴△DFG≌△ECG（AAS），∴DF=CE，∵BD=CE，∴BD=DF，∴∠B=∠DFB，∵DF∥AC，∴∠DFB=∠ACB，∴∠B=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形．6.如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．【答案】（1）见解析；（2），见解析【详解】（1）如图所示：（2）如图，判断：，证明如下：延长至点，使得，连接在和中，∵，∴，∴∵，∴∵∴∵AD平分∠BAC，∴在和中，∵，∴，∴又∵，∴7．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，．（1）如图1，①若，请直接写出______；②连接，若，求证：；（2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①45°；②见解析；（2），理由见