2024-2025学年沪科版初中数学九年级（下）教学课件 24.3圆周角（第1课时 圆周角的概念及其圆周角定理）

第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角学习目标1.了解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.（难点）2.掌握圆周角定理及推论，并运用它们解决简单的几何问题.（重点）3.探索“圆周角与圆心角的关系”，通过转化来解决一般问题的方法.（难点）1、什么叫圆心角？2、圆心角的度数与它所对的弧的度数有什么关系？3、请同学们画一个圆并画圆心角。OABOABP问题：当∠AOB的顶点O运动时，顶点与圆的位置关系会产生哪几种情况？请你画出图来加以说明。OABPABPO旧知回顾一、圆周角知识讲解定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须同时具备，缺一不可）ABCO顶点在圆内顶点在圆外圆周角圆心角·COABCOBCABABCOABCOBAA想一想：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）C（4）边AC没有与圆相交圆周角O二、圆周角定理及其推论想一想：1.图中圆心角∠BOC与圆周角∠BAC存在怎样的数量关系.2.是不是所有的圆心角和圆周角都符合这个数量关系呢？需要满足什么样的条件呢？ABCO（1）当圆心O在∠BAC的一边上时（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠CABCOOABDOAC（2）圆心O在∠BAC的内部时CODO（3）当圆心O在∠BAC的外部时AB圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1

在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。想一想：怎样证明等弧所对的圆周角相等呢？通过一道题目来探讨一下.A1A2A3ABCO如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.

若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？⌒

⌒

⌒

⌒解：∠1=∠2.推论2半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.想一想：如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四边形ABCD的对角线.若AC是半圆，∠ADC=

，∠ABC=

.90°90°若AC是直径，例如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=600，∠ADC=700，求∠APC的度数.解：连接BC,∠ACB﹦90°，∠BCD=∠ACB-∠ACD=900-600=300。

又∵∠BAD=

∠BCD=

300，

∴∠APC=∠BAD+∠ADC=300＋700=1000。ＡＢＣＤOP.随堂训练1.判断：（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等.（）（2）相等的弦所对的圆周角也相等.（）（3）90°的角所对的弦是直径.（）（4）同弦所对的圆周角相等.（）√×××2.如图，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB=（）

A.70°

B.110°C.90°

D.120°ACBODEB3.如图，AB是⊙O的直径，

C，D是圆上的两点，∠ABD=40°，则∠BCD=＿＿＿.50°4.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°,∠ABC=47°，则∠AOB=

．ABOCDBACO166°5.如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB=

，∠ADB=

.DAOCB130°50°6.如图，△ABC的顶点A，B，C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是

.CABO解析：连接OA，OB.∵∠C=30°，∴∠AOB=60°.又∵OA=OB

，∴△AOB是等边三角形.∴OA=OB=AB=2，即⊙O的半径为2.27.如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；解：AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC.(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？解：当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．

8.如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,

求AB、BC的长．B解：(1)∵AC是直径，∴∠ADC=90°.在Rt△

ADC中，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(2)∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC

.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.B解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解，即“见直径得直角”.

归纳课堂小结圆心角类比圆周