专题2.6对称图形圆（章节复习考点讲练）学生版

20232024学年苏科版九年级上册册章节知识讲练专题2.6对称图形—圆（章节复习+考点讲练）知识点01：圆的定义、性质及与圆有关的角

1．圆的定义

(1)旋转一周，另一个端点A所形成的，叫做圆.

(2)圆是.

细节剖析：①圆心确定，半径确定；确定一个圆应先确定，再确定，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质

(1)旋转不变性：圆是，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是图形，对称中心是在中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是，经过圆心的任一直线都是它的.

(3)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径这条弦，并且平分②平分弦(不是直径)的直径于弦，并且平分弦所对的.

③弦的过圆心，且平分弦对的

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夹的弧.

细节剖析：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的、平分弦所对的在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．两圆的性质

(1)两个圆是一个，对称轴是.

(2)相交两圆的连心线，相切两圆的连心线经过4．与圆有关的角

(1)圆心角：叫圆心角.

圆心角的性质：.

(2)圆周角：顶点在，叫做圆周角.

圆周角的性质：

①圆周角等于

②所对的圆周角相等；在中，相等的圆周角所对的弧相等.

③所对的弦为直径；所对的圆周角为直角.

④如果，那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的.

细节剖析：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在；②角的两边都和圆

(2)圆周角定理成立的前提条件是在中.

知识点02：与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上

设⊙O的半径为，OP=，则有

点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内.

细节剖析：和是相对应的，即知道就可以确定；知道也可以确定.2．判定几个点在同一个圆上的方法

当时，在⊙O上.

3．直线和圆的位置关系

设⊙O半径为R，点O到直线的距离为.

(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.

(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.

4．切线的判定、性质

(1)切线的判定：

①是圆的切线.

②是圆的切线.

(2)切线的性质：

①圆的切线过切点的半径.

②经过圆心作圆的切线的垂线经过③经过切点作切线的垂线经过

(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这叫做切线长.

(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条，它们的切线长，这两条切线的夹角.

5．圆和圆的位置关系

设的半径为，圆心距.

(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离

.

(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含

(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.

(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.

(5)和有两个公共点相交.

知识点03：三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形

1．三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心：是三角形，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是.细节剖析：(1)任何一个三角形都一个内切圆，但任意一个圆都有个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形

(1)叫圆的内接四边形，圆内接四边形，外角等于.

(2)叫圆外切四边形，圆外切四边形相等.

知识点04：圆中有关计算

1．圆中有关计算

圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.细节剖析：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.考点一：垂径定理【典例精讲】（2023•薛城区二模）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子直径为（）A．10m B．8m C．6m D．5m【思路点拨】设半径为r，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案．【规范解答】解：设半径为rm，则OA＝OC＝rm，∴OD＝（r﹣2）m，∵AB＝8m，∴AD＝4m，在Rt△ODA中，有OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5m，则该桨轮船的轮子直径为10m．故选：A．【考点评析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道OC垂直平分AB这个隐藏的条件．【变式训练11】（2023•衢州二模）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯的直径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【变式训练12】（2023•高州市一模）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为多少？【变式训练13】（2022秋•石景山区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下，请解答：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．考点二：圆心角、弧、弦的关系【典例精讲】（2023•肃州区三模）下列语句中，正确的有（）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【思路点拨】由圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，等弧的概念，圆的对称性，即可判断．【规范解答】解：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故（1）不符合题意；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故（2）不符合题意；（3）长度和度数相等的两条弧是等弧，故（3）不符合题意；（4）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴，故（4）不符合题意．∴正确的有0个．故选：A．【考点评析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，等弧的概念，圆的认识，掌握以上知识点是解题的关键．【变式训练21】（2023•碑林区校级模拟）如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（）A． B．3 C． D．【变式训练22】（2022秋•大荔县期末）如图，⊙O上依次有A，B，C，D四个点，＝，连接AB，AD，BD，延长AB到点E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．求证：BF＝BD．【变式训练23】（2023•汉阳区模拟）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝16，以AB为直径作半圆交AC于D，F为劣弧AD上一点，过D作DE⊥BC于E，DE的反向延长线交AF于G．（1）求证：D是AC中点；（2）如图2，若F是的中点，连结FB交AC于H，求FH的长．考点三：圆周角定理【典例精讲】（2023•甘孜州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【思路点拨】根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形性质得出∠OBA＝∠OAB，根据三角形内角和定理求出即可．【规范解答】解：∵∠C＝30°，∴∠AOB＝2∠C＝60°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝×（180°﹣∠AOB）＝60°，故选：C．【考点评析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出∠AOB度数和得出∠OAB＝∠OBA．【变式训练31】（2023•南关区校级模拟）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（）A．30° B．60° C．80° D．90°【变式训练32】（2022秋•济宁期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．（1）求证：＝．（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．【变式训练33】（2022秋•海陵区校级期末）如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点．（1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件，并证明AC＝BC；（2）在（1）的条件下，若OA＝1，，求CD长．考点四：圆内接四边形的性质【典例精讲】（2023•长岭县模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝128°，则∠AOC的度数是（）A．100° B．128° C．104° D．124°【思路点拨】根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理求解即可．【规范解答】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°，由圆周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°，故选：C．【考点评析】此题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．【变式训练41】（2023•乐东县二模）如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB为半圆O的直径，连接OC，若点C为的中点，∠BCD＝140°，则∠ABC的度数为°．【变式训练42】（2023•方城县模拟）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，AC为圆O的直径，∠BAC＝∠ADB．（1）试说明△ABC的形状；（2）若，．①求CD的长度；②将△ABD沿BD所在的直线折叠，点A的对应点是A′，连接BA′、CA′，直接写出∠BA′C的度数．【变式训练43】（2023•南安市校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝90°，BA＝DA，作BF⊥AD于点F，DE⊥AB于点E，BF、DE相交于点M．求证：四边形BCDM是菱形．考点五：直线与圆的位置关系【典例精讲】（2022秋•华容区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以C为圆心所作的圆与边AB仅一个交点，则半径r为r＝4.8或6＜r≤8．【思路点拨】要使圆与斜边AB有1个交点，则应满足直线AB和圆相切即圆心到斜边的距离为半径即斜边上的高；或圆与直线AB相交，此时半径要大于AC且半径不大于BC．【规范解答】解：当直线AB和圆相切时，圆心到斜边的距离为半径即斜边上的高，过点C作CD⊥AB于点D，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴，∴；当圆与直线AB相交，此时半径要大于AC且半径不大于BC，∴6＜r≤8；故答案为：r＝4.8或6＜r≤8．【考点评析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确理解相切，相交的基本条件是解题的关键．【变式训练51】（2023•南关区校级三模）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是【变式训练52】（2023•未央区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）判定直线CE与⊙O的位置关系，并说明你的理由；（2）若AD＝3，AC＝4，求圆的半径．【变式训练53】（2023•任丘市校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，点C是的中点，过点C作AD的垂线，分别交AB与AD的延长线于点E和点F．（1）判断EF与⊙O的位置关系，并证明；（2）若，通过计算比较⊙O的直径与劣弧的长度哪个更长．考点六：切线的判定与性质【典例精讲】（2022秋•雄县期末）在黑板上有如下内容：“如图，AB是半圆O所在圆的直径，AB＝2，点C在半圆上，过点C的直线交AB的延长线于点D．”王老师要求添加条件后，编制一道题目，下列判断正确的是（）嘉嘉：若给出∠DCB＝∠BAC，则可证明直线CD是半圆O的切线；淇淇：若给出直线CD是⊙O的切线，且BC＝BD，则可求出△ADC的面积．A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．嘉嘉和淇淇的都不正确 D．嘉嘉和淇淇的都正确【思路点拨】根据切线的求证方法，如图所示（见详解），连接OC，证明OC⊥CD即可求解；根据切线的性质，BC＝BD，可求出等腰三角形，等边三角形，根据含特殊角的直角三角形的直线可求出各边的长度，由此即可求解．【规范解答】解：∵AB是半圆O所在圆的直径，∴∠ACB＝90°，如图所示，连接OC，∵OA，OC是半径，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OCA+∠OCB＝90°，∴∠OAC+∠OCB＝90°，嘉嘉给出的条件是：∠DCB＝∠BAC，∴∠DCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CD，且点C在圆上，∴直线CD是半圆O的切线，故嘉嘉给出的条件正确；淇淇给出的条件：直线CD是⊙O的切线，且BC＝BD，如图所示，∴OC⊥CD，且△BCD是等腰三角形，∴∠DCB+∠BCO＝∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠DCB，∵∠COB＝2∠ACO，∠CBO＝2∠DCB，∴CO＝CB，且CO＝BO，∴△OBC是等边三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝∠BCD＝∠D＝30°，∵AB＝2，∴OA＝OC＝OB＝BC＝BD＝1，∴AD＝3，如图所示，过点C作CE⊥OB于E，在△OBC是等边三角形，，∴，故淇淇给出的条件正确，故选：D．【考点评析】本题主要考查圆与特殊角的直角三角形的综合，掌握圆切线的求证方法，含特殊角的直角三角形的性质，等边三角形的性质是解题的关键．【变式训练61】（2022秋•顺平县期末）如图，AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，切点为点D，过点A的直线与DC交于点C，则下列结论错误的是（）A．∠BOD＝2∠BAD B．如果AD平分∠ODC，AD＝OD C．如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC D．如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切线【变式训练62】（2022秋•邯山区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．【变式训练63】（2023•泸县校级模拟）已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，交⊙O于G，CF⊥AB于F，点C是弧BG的中点．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AF，BF（AF＞BF）是一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两根，求CE和AG的长．考点七：切线长定理【典例精讲】（2022秋•潮州期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．20【思路点拨】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．【规范解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周长为16．故选：C．【考点评析】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．【变式训练71】（2022秋•滨海县期中）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝12，则四边形ABCD的周长为．【变式训练72】（2021秋•高安市期末）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求PA的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．【变式训练73】（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．考点八：切割线定理【典例精讲】（2021春•永嘉县校级期末）如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，AB、DC的延长线交于点P，若C是PD的中点，且PD＝6，PB＝2，那么AB的长为（）A．9 B．7 C．3 D．【思路点拨】根据切割线定理得到PC•PD＝PB•PA，代入计算得到答案．【规范解答】解：∵C是PD的中点，PD＝6，∴PC＝CD＝PD＝3，由切割线定理得，PC•PD＝PB•PA，即3×6＝2×PA，解得，PA＝9，∴AB＝PA﹣PB＝7，故选：B．【考点评析】本题考查的是切割线定理，掌握从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项是解题的关键．【变式训练81】．（2018秋•新吴区期中）如图，已知⊙O与Rt△AOB的斜边交于C，D两点，C、D恰好是AB的三等分点，若⊙O的半径等于5，则AB的长为．【变式训练82】．（2017秋•回民区期末）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的长．【变式训练83】（2016•洪山区校级模拟）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE＝2，CD＝1，求DE的长．考点九：正多边形和圆【典例精讲】（2022秋•安徽期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，PD与⊙O相切于点D，连接OE并延长，交PD于点P，则∠P的度数是（）A．36° B．28° C．20° D．18°【思路点拨】连接OD，利用切线的性质证明∠ODP＝90°，再利用正五边形的性质求出∠POD，可得结论．【规范解答】解：如图，连接OD．∵PD是⊙O的切线，∴∠ODP＝90°，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EOD＝＝72°，∴∠P＝90°﹣∠POD＝18°．故选：D．【考点评析】本题考查正多边形与圆，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正五边形的性质，切线的性质，属于中考常考题型．【变式训练91】（2023•东莞市校级二模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【变式训练92】（2023•鼓楼区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F在一条直线上，EF与⊙O相切于点C．​（1）求证：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是．【变式训练93】（2023•静安区二模）如图，在矩形ABCD中，点P是边BC的中点，⊙O是△PAD的外接圆，⊙O交边AB与于点E．（1）求证：PA＝PD；（2）当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：．考点十：弧长的计算【典例精讲】（2022秋•绥中县期末）已知：如图，在扇形OAB中，∠AOB＝100°，半径OA＝18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为（）A．2π B．3π C．4π D．5π【思路点拨】如图，连接OD．根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB是等边三角形，则易求∠AOD＝100°﹣∠DOB＝40°，然后由弧长公式弧长的公式l＝来求的长．【规范解答】解：如图，连接OD．根据折叠的性质知，OB＝DB．又∵OD＝OB，∴OD＝OB＝DB，即△ODB是等边三角形，∴∠DOB＝60°．∵∠AOB＝100°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝40°，∴的长为＝4π．故选：C．【考点评析】本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问题）．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．所以由折叠的性质推知△ODB是等边三角形是解答此题的关键之处．【变式训练101】（2023•定远县校级三模）东南环立交是苏州中心城区城市快速内环道路系统的重要节点，也是江苏省最大规模的城市立交．左图是该立交桥的部分道路示意图（道路宽度忽略不计），A为立交桥入口，D、G为出口，其中直行道为AB、CD、FG，且AB＝CD＝FG；弯道是以点O为圆心的一段弧，且BC、CE、EF所在的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以16m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图所示．结合题目信息，下列说法错误的是（）A．该段立交桥总长为672m B．从G口出比从D口出多行驶192m C．甲车在立交桥上共行驶22s D．甲车从G口出，乙车从D口出【变式训练102】（2023•浙江二模）如图，已知⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．（1）求的长；（2）求证：AD平分△ABC的外角∠EAC．【变式训练103】（2023•丛台区四模）如图，将半径为5的扇形AOB，绕点O逆时针旋转α°得到扇形COD．（1）∠A与∠D的数量关系是：∠A＝∠D；（2）求证：△AOG≌△DOE；（3）当AD为直径时，OB⊥CD，求a的值及优弧AB的长．考点十一：扇形面积的计算【典例精讲】（2023•乾安县四模）如图①，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图②，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为．【思路点拨】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【规范解答】解：连接OD，在Rt△OCD中，，∴∠ODC＝30°，，∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝，故答案为：．【考点评析】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，解题的关键是掌握扇形面积公式．【变式训练111】（2023•郸城县三模）如图，在△ABC中