导数的应用医学高等数学课件

第四节导数的应用一、拉格朗日(Lagrange)中值定理二、洛必达（L’Hospital）法则三、函数的单调性四、函数的极值五、函数的凸凹性和拐点六、函数的渐近线本节主要内容有：一、Lagrange中值定理定理（拉格朗日定理）设函数f(x)在[a,b]上有定义，如果（1）函数f(x)在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f(x)在开区间(a，b)内可导；则在(a，b)内至少存在一个点a<

<b，使得拉格朗日中值定理的几何意义当曲线方程满足拉格朗日定理的要求时，在区间内至少存在一点

，使得该点的切线平行于曲线两端点(a,f(a))与(b,f(b))的连线，其斜率为oxf(b)yy=f(x)a

bf(a)推论1：如果对于任意x∈(a,b)，有f’(x)=0，则f(x)=c(c为常数)证明：根据微分中值定理（即拉各朗日中值定理）及已知条件，现任取(a,b)区间中两点x1

,x2，假设x2

>x1

，则存在一点ξ，使得故f(x1)=f(x2)由于x1

,x2是任意选取的，故在整个(a,b)区间内，f(x)取恒定的值，即f(x)在(a,b)恒为常数。我们假设它为c，故可得f(x)=c。推论2：如果对于任意x∈(a,b)，有f’(x)=g’(x)，则f(x)=g(x)+c(c为常数)故由推论1知f(x)－g(x)=c即f(x)=g(x)+c由已知条件知u’(x)=0证明：令u(x)=f(x)－g(x),则

u’(x)=f’(x)－g’(x)例:证由上式得例如,定义:二、L’hospital法则定理1设函数f(x),g(x)在点x0

的某个去心邻域上有定义，如果（1）当x

x0

时，函数f(x)及g(x)都趋于0或都趋于无穷大；（2）函数f(x)，g(x)在x0

的某个去心邻域内可导，且g

(x)0；（3）极限存在（或者为无穷大）,则有

如果极限仍属于型的不定式，且满足定理的条件，则可以继续使用上述定理，即例1求极限解：容易验证，该极限满足洛必达法则的要求，所以

定理2设函数f(x),g(x)在|x|>N时有定义，如果（1）当x

时，函数f(x)及g(x)都趋于0或都趋于无穷大；（2）函数f(x)，g(x)在|x|>N时可导，且g

(x)0；

（3）极限存在（或者为无穷大）；则有如果极限仍属于型的不定式，且满足定理的条件，则可以继续使用上述定理，即例2求极限解：这是一个型的不定式，且满足洛必达法则的条件，所以有例3求极限解：这是一个型的不定式，且满足罗必达法则的条件，相继应用洛必达法则n次，即有例4求极限（对于这种类型的不定式，我们也可以将其变形为形）解：这是一个型的不定式，将它变形为形

例5求极限则解：对于这种型的不定式，我们的方法是例6：求解：根据复合函数连续性，我们可以把极限号拿入，故其中例7：求解：根据复合函数连续性，我们可以把极限号拿入，故其中例8：求解：故对于这三种类型求极限，我们要使用洛必达法则时，先将其化为指数函数的形式，再对其指数使用洛必达法则求极限，然后根据我们的复合函数连续性，就可以把极限符号拿进函数符号里面，这样我们就可以求出极限了。注意三、函数的单调性αabxy=f(x)axbαy=f(x)f’(x)=tanα≥0f’(x)=tanα≤0单调增函数单调减函数沿x轴正向逐渐上升沿x轴正向逐渐下降的曲线定理设函数f(x)在区间（a，b）内可导，如果在区间（a，b）内，f

(x)>0（或f

(x)<0）,则函数y=f(x)在区间(a，b)上单调增加（或单调减少）。

由于f

(

)>0，因此，f(x2)>

f(x1)。即f(x)为单调增加。(对于单调减少的情况类似可以证明。)证明：在区间（a，b）内的任意两点x1，

x2，且设x1

<

x2，则f(x)在[x1，x2]上满足拉格朗日中值定理，从而有利用导数和单调性关系求单调区间的步骤：4、判断分段区间内导数的符号，利用定理判断在此区间内函数的单调性。3、以上述求出的点作为分界点划分区间；2、找出使一阶导数为零或使其不存在的点；1、先求给定函数的一阶导数；例1确定函数的单调区间。当x=1和x=2时，f

(x)=0，故以1，2作为分界点。解：该函数的定义域为（-，），由于当x（-，1）时，有f

(x)

0，所以，函数f(x)在这个区间内为单调增加。当x（1，2）时，有f

(x)<0，所以，函数f(x)在该区间内为单调减少。当x（2，）时，有f

(x)

0，所以，函数f(x)在这个区间内为单调增加。例2证明【注意】可用单调性条件来比较给定区间上两个函数的大小。又由于f(0)=0，所以，f(x)

f(0)=0，即不等式成立。从而，当x（0，）时，函数f(x)为单调增加。则证明：令四、函数的极值与最值1.函数的极值定义设函数f(x)在x0的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意一点x

，只要

x

x0，就一定满足f(x)<f(x0)（或f(x)

f(x0)）,则称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（或极小值），而点x0称为函数f(x)的极大值（或极小值）点。函数的极大值和极小值统称为函数的极值。而极大值点和极小值点统称为极值点。xy0x0ab注意：函数的极值是函数的一个局部最大值或局部最小值，它通常并不等于函数的整体最大值或最小值。函数在整个区间上可能有若干个极大值和极小值，极大值可能必极小值还小，因为极值是一个局部性的概念。同时，我们还看到，在函数取得极值的地方，曲线的切线是水平的，即f’(x)=0；但切线水平，即

f’(x)=0，该点未必取极值，如下图所示此类点。定理1设函数f(x)在点x0可导，且函数f(x)在点x0取得极值，则f

(

x0)=0。注意，当函数f(x)在点x0不可导时，上述定理不成立，但它也可能会取得极值。例如，函数在x0=0处不可导，但f(0)=0为函数的极小值。今后，我们称使得f

(x)=0的点为函数f(x)的驻点（显然，可导下的极值点必是驻点）。函数的极值点只可能在驻点和导数不存在的点中取得。定理2（函数在一点取得极值的第一充分条件）设函数f(x)在点x0的去心邻域内可导，在点x0处连续，则有如下结果：（1）当x<x0时，有f

(x)

0；当x

x0时，有

f

(x)

<0；则函数在点x0处取得极大值。（2）当x<x0时，有f

(x)<0；当x

x0时，有

f

(x)

0；则函数在点x0处取得极小值。（3）如果在x0的两侧，导数f

(x)不变号，则函数在点x0处不能取得极值。例：解极大值极小值图形如下解例：定理3（函数在一点取得极值的第二充分条件）设函数f(x)在点x0有二阶导数，且f

(x0)=0，则函数

f(x)在点x0有极值：（1）当f

(x0)<0时，函数f(x)在点x0有极大值；（2）当f

(x0)

0时，函数f(x)在点x0有极小值；（3）当f

(x0)

=0时，无法判定f(x)在点x0是否取得极值。（第（3）个的情况如f(x)=x3在x=0点处，不取极值；而g(x)=x4在x=0点处，可以取到极小值。）例解【注意】如果一个函数在某一点存在二阶导数，且一阶导数为零，那么判断在这一点处是否取得极值，我们使用第一、第二判别法均可；若其左右邻域内一阶导数符号很难判断，则可用第二判别法。而对于一阶导数不存在的点，我们要判断其是否为极值点，就直接用第一判别法判断。利用导数求极值的步骤：4.判断分段区间内导数的符号，利用定理判断第2步中所求出的点是否为极值点。3.以上述求出的点作为分界点划分区间；2.找出使一阶导数为零或使其不存在的点；1.先求给定函数的一阶导数；2.函数的最值由连续函数的性质可知，闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。根据函数极值的定义，连续函数的最大值和最小值只能在区间的端点、驻点以及导数不存在的点中取得。1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个最大哪个就是最大值,那个最小那个就是最小值;求最值的步骤:解计算例：比较得例求的极值,并问是否存在最值。当x

(0，)时,有f

(x)

0；当x

(-2，0)时,有f

(x)

<0；当x

(-

，-2)时,有f

(x)

0；当x=0，x=-2时，f

(x)=0。解：函数f(x)的定义域为（-，），且f(x)0，其导数为由此可得，f(-2)为极大值，f(0)为极小值，而

因此，f(0)为函数的最小值，其图形如图所示。-20xy五、函数曲线的凹凸性和拐点1.凹凸性在讨论函数的性质时，只知道函数的单调性是不够的，如函数

在

x=0，x=1时,它们具有相同的值，而且在区间[0，1]内都是单调增的，但它们的图形却相差很大。如图所示它们的差异就是凹凸性不同。xy01定义设函数f(x)在区间[a,b]内有定义，如果对于区间[a,b]内的任意两点x1，x2，恒有则称函数f(x)在区间[a,b]上的图形是（向上）凹的，而区间[a,b]称为函数f(x)的一个凹区间；如果对于区间[a,b]内的任意两点x1，x2，恒有则称函数f(x)在区间[a,b]上的图形是（向上）凸的，而区间[a,b]称为函数f(x)的一个凸区间。我们从图上来看一下：xy0x1x2x0x1x2y例讨论函数的凹凸性。0xy1解：如图所示，函数f1(x)在区间[0，1]上是向上凹的；函数f2(x)在区间[0，1]上是向上凸的。定理设函数f(x)在（a,b）内具有二阶导数，则有（1）若对任意x∈(a,b)，有f

(x)>0，则函数f(x)在区间（a,b）上的图形是凹的；（2)若对任意x∈(a,b)，有

f

(x)<0,则函数f(x)在区间（a,b）上的图形是凸的。曲线的凹凸性与导数的关系：2.拐点曲线上凹凸的分界点，称为拐点。如图所示：在拐点两侧由于凹凸性不同，那么相应的二阶导数的符号就不同。f(x)=x3xyof”(x)>0f”(x)<0例:解上凹上凸上凹拐点拐点利用导数判断曲线凹凸性及拐点：（3）判别f”(x)在每个开区间内的符号，从而得出曲线在各个区间内的凹凸性，同时可以确定出上述各点对应的曲线上的点是否为拐点（拐点可以是二阶导数为零的点，也可以是二阶导数不