高中数学 正弦定理

高中数学课程PAGEPAGE4§1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理学习目标1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理思考1如图，在Rt△ABC中，eq\f(a,sinA)，eq\f(b,sinB)，eq\f(c,sinC)分别等于什么？答案eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝c.思考2在一般的△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)还成立吗？答案在一般的△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)仍然成立．梳理在任意△ABC中，都有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，这就是正弦定理．特别提醒：正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．对任意△ABC，都有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).(√)2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×)3．在△ABC中，已知a，b，A，则三角形有唯一解．(×)类型一正弦定理的证明例1在钝角△ABC中，证明正弦定理．考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的理解证明如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知，eq\f(CD,b)＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，eq\f(CD,a)＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).同理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).故eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).反思与感悟(1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，证明：eq\f(a,sinA)＝2R.考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的理解证明连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角A′＝A.∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝eq\f(BC,A′B)＝eq\f(a,2R)，∴sinA＝eq\f(a,2R)，即eq\f(a,sinA)＝2R.类型二已知两角及一边解三角形例2在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，解三角形．考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解根据正弦定理，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(10sin60°,sin30°)＝10eq\r(3).又C＝180°－(30°＋60°)＝90°.∴c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(10sin90°,sin30°)＝20.反思与感悟(1)正弦定理实际上是三个等式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．跟踪训练2在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值．考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解根据三角形内角和定理，得A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.根据正弦定理，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(18sin60°,sin45°)＝9eq\r(6).类型三已知两边及其中一边的对角解三角形例3在△ABC中，已知c＝eq\r(6)，A＝45°，a＝2，解三角形．考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(6)sin45°,2)＝eq\f(\r(3),2)，∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin75°,sin60°)＝eq\r(3)＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin15°,sin120°)＝eq\r(3)－1.∴b＝eq\r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq\r(3)－1，B＝15°，C＝120°.引申探究若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？解∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴sinA＝eq\f(asinC,c)＝eq\f(2·\f(\r(2),2),\r(6))＝eq\f(\r(3),3).∵c＝eq\r(6)>2＝a，∴C>A.∴A为小于45°的锐角，且正弦值为eq\f(\r(3),3)，这样的角A只有一个．反思与感悟已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边．跟踪训练3在△ABC中，若a＝eq\r(2)，b＝2，A＝30°，则C＝________.考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案105°或15°解析由正弦定理eq\f(a