探究式导学案2：1-1-1-1正弦定理（一）

高中数学课程PAGEPAGE71.1.1.1《正弦定理》探究式学案【学习目标】1.掌握正弦定理的内容；2.掌握正弦定理的证明方法；3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．【重、难点】重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.【知识链接】问题1.在一个三角形中，有几个角？有几条边？答：三个角，三条边问题2.在一个三角形中，三个内角有怎样的数量关系？三条边有怎样的数量关系？答：三角形三个内角角，三条边问题3.在一个三角形中，边与角有怎样的数量关系？答：大边对大角.【自主探究】（一）要点识记1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a2.三角形的元素：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.3.解三角形：已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．（二）深层探究1.对定理的证明，教材用___________方法证明了直角三角形和锐角三角形的情况，为证明任意三角形中的正弦定理，还需要证明_______三角形的情况.【答案】等高法，钝角2.请给出上述情况下的定理的证明.证明：如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：eq\f(CD,b)＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，eq\f(CD,a)＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).同理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).3.正弦定理可以解决哪几种三角形问题？答：（1）两角任一边；（2）两边一对角4.正弦定理有哪些变形？答：变式1：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.变式2：sinA＝a2R，sinB＝b2R，sin变式3：a:b:c＝sinA:sinB:sinC.（三）拓展探究1.你能用外接圆法证明正弦定理吗？证明：（1）当∆ABC是直角三角形时，斜边c就是外接圆的直径2R，易证eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.（2）当∆ABC是直锐角三角形时，作三角形∆ABC的外接圆O（如图1），过点B作圆O的直径BD，连接AD则由圆的性质易得∠ACB=∠ADB，BA⊥DA.∴sin∠ACB=sin∠ADB又在Rt∆ABD中，sin∠ADB=ABBD=c2R∴sin∠ACB同理，a∴在锐角∆ABC中（3）当∆ABC是直锐角三角形时，作三角形∆ABC的外接圆O，过点B作圆O的直径BD，连接CD，如图3，由四边形及圆的性质易得∠A＝180°－∠∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(a,sin180°－D)＝eq\f(a,sinD)＝2R.同理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，∴在钝角∆ABC中eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R仍成立．2.你能用正弦定理解释“大边对大角”吗？答：在任意ABC中，不妨设a<b，则由正弦定理得2RsinA<2R若A,B都是锐角，因为正弦函数y=sinx在区间上单调递增，所以有A若A是锐角，B是直角或钝角，显然有A<B；若A是钝角，B是直角或锐角，则A+B<π，即0∴y=sinB<sin综上所述：任意∆ABC中，若a<b，则A<B，即大边对大角.【典例突破】题型一.两角任一边例1.已知∆ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°【解析】∵A＝30°，B＝∴C＝180°-30°-120°=30°∴由正弦定理得AC=ABsin∴C＝30°，AC=63，变式1.在∆ABC中，已知B=45º，C=60º，a=12cm，解此【答案】A=75°题型二.两边一对角例2.已知∆ABC中，a=15，b=10，A＝60°，则sin33B.63C.2【答案】A【解析】由正弦定理asinA变式2.在∆ABC中，若3a=2【答案】B=60°或B=120°【解题反思】从解题过程和结果上看，上述两个题型有什么不同？谈谈你的理解.答：“两边一对角”的三角形问题的解可能有一组，也可能有两组，求解时要根据三角形的性质判断取舍.2.你能否解释为什么“角角边”和“角边角”可以判定两个三角形全等，而“边边角”不能？答：“角角边”与“角边角”就是“两角任一边”的题型，从例2可以看出这两个条件都可唯一确定三角形，因而可以作为三角形全等的判定条件；“边边角”即“两边一对角”的题型，从例2及其变式可知，这种题型的可能有两组解，即它不能唯一确定三角形，因而不是三角形全等的判定条件.一课一练1.在∆ABC中，已知a=8，A.42B.43C.462.在∆ABC中，若a=5,b=3，则sinA.53B.35C.573.在∆ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系为A.A>BB.C.A≥BD.A,B的大小关系不能确定4.以下关于正弦定理的叙述错误的是（）A.在∆ABC中，B.在∆ABC中，若sin2A=sin2B，则C.在∆ABC中，若sinA>sinB，则A>D.在∆ABC中，5.在∆ABC中，b=2aA.30°或60°B.45°或60°C.120°或60°D.30°6.在∆ABC中，角A,C的对边分别为a,c，若A.2B.12C.32D选择题答题栏1234567.已知∆ABC中，sinA：sin8.已知∆ABC中，A=60°,a=9.已知a,b,c分别是∆ABC则A=10.已知∆ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°11．已知∆ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为ba12.用向量法证明正弦定理.《导学案》参考答案例1.【解析】∵A＝30°，B＝120°∴C＝180°-30°-120°=30°∴由正弦定理得AC=ABsin∴C＝30°，AC=63，变式1.【答案】A=75°例2.【答案】A【解析】由正弦定理asinA=bsin变式2.【解析】由正弦定理得3∵sinA≠0∴sinB=又B∈0，π∴《一课一练》参考答案1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A【解析】（1）当A≥90°时，一定有A>B（2）当A<90°时，①若B<90°，则由正弦函数的单调性得则A<90°，180°-BA>180°-B，即A+B>180°综合（1）（2）知A4.【答案】B【解析】∵在△ABC中，0°∴0°∴由sin2A=sin2B可得2A=2B或2A=180°-2B∴A=B或A=180°-B∴当A=B时a=b；当A=180°-B时，a5.【答案】D【解析】由b=2asinB得bsinB所以A=30°或A=150°6.【答案】C【解析】由正弦定理得ca=sin7.【答案】1【解析】由正限定理得a=2R8.【答案】2【解析】asinA=b9.【答案】30°【解析】由A+C=2BA又a<b，所以A<10.【解析】∵△ABC中C=180°-A-B=60