云南省玉溪市红塔区第一中学2025届数学高一上期末统考试题含解析

云南省玉溪市红塔区第一中学2025届数学高一上期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期或战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位、…上的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位、…上的数按横式的数码摆出，如可用算筹表示为.这个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则的运算结果用算筹表示为（）A. B.C. D.2．已知，为锐角，，，则的值为()A. B.C. D.3．函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为A. B.C. D.4．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（）A.6 B.C.12 D.5．已知函数为奇函数，，若对任意、，恒成立，则的取值范围为（）A. B.C. D.6．已知全集，集合，，则（）A.{2，3，4} B.{1，2，4，5}C.{2，5} D.{2}7．已知是幂函数，且在第一象限内是单调递减，则的值为()A.－3 B.2C.－3或2 D.38．已知集合0，，1，，则A. B.1，C.0，1， D.9．已知，则下列结论中正确的是（）A.的最大值为 B.在区间上单调递增C.的图象关于点对称 D.的最小正周期为10．已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．过点且与直线垂直的直线方程为___________.12．已知函数是定义在上且以3为周期的奇函数，当时，，则时，__________，函数在区间上的零点个数为__________13．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，过点；当时，图象是线段BC，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为____________.（写成区间形式）14．已知函数，若是的最大值，则实数t的取值范围是______15．已知幂函数y=xα的图象经过点2,8，那么16．已知集合，，则集合中的元素个数为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数的图象关于原点对称（1）求实数b的值；（2）若对任意的，有恒成立，求实数k的取值范围18．设是常数，函数.(1)用定义证明函数是增函数；(2)试确定的值，使是奇函数；(3)当是奇函数时，求的值域.19．如图,△ABC中,,在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上,半圆与AC、AB分别相切于点C、M,与BC交于点N),将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.20．已知直线的倾斜角为且经过点.（1）求直线的方程；（2）求点关于直线的对称点的坐标.21．已知函数（I）求函数图象的对称轴方程；（II）求函数的最小正周期和值域.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】先利用指数和对数运算化简，再利用算筹表示法判断.【详解】因为，用算筹记数表示为，故选：.2、A【解析】，根据正弦的差角公式展开计算即可.【详解】∵，，∴，又∵，∴，又，∴，∴，，∴故选：A.3、D【解析】∵由得，∴函数（且）的图像恒过定点，∵点在直线上，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴最大值为，故选D【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误4、B【解析】根据海伦秦九韶公式和基本不等式直接计算即可.【详解】由题意得：，，当且仅当，即时取等号，故选：B5、A【解析】由奇函数性质求得，求得函数的解析式，不等式等价于，由此求得答案.【详解】解：因为函数的定义域为，又为奇函数，∴，解得，∴，所以，要使对任意、，恒成立，只需，又，∴，即，故选：A.6、B【解析】分析】根据补集的定义求出，再利用并集的定义求解即可.【详解】因为全集，，所以，又因为集合，所以，故选：B.7、A【解析】根据幂函数的定义判断即可【详解】由是幂函数，知，解得或.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴.故.故选：A.【点睛】本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题，属于基础题8、A【解析】直接利用交集的运算法则化简求解即可【详解】集合，，则，故选A【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.9、B【解析】利用辅助角公式可得，根据正弦型函数最值、单调性、对称性和最小正周期的求法依次判断各个选项即可.【详解】；对于A，，A错误；对于B，当时，，由正弦函数在上单调递增可知：在上单调递增，B正确；对于C，当时，，则关于成轴对称，C错误；对于D，最小正周期，D错误.故选：B.10、C【解析】转化为两个函数交点问题分析【详解】即分别画出和的函数图像，则两图像有4个交点所以，即故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】利用垂直关系设出直线方程，待定系数法求出，从而求出答案.【详解】设与直线垂直的直线为，将代入方程，，解得：，则与直线垂直的直线为.故答案为：12、①.②.5【解析】（1）当时，，∴，又函数是奇函数，∴故当时，（2）当时，令，得，即，解得，即，又函数为奇函数，故可得，且∵函数是以3为周期的函数，∴，，又，∴综上可得函数在区间上的零点为，共5个答案：，513、【解析】当，时，设，把点代入能求出解析式；当，时，设，把点、代入能求出解析式，结合题设条件，列出不等式组，即可求解.详解】当x∈（0，12]时，设，过点（12，78）代入得，a则f（x），当x∈(12，40]时，设y＝kx+b，过点B（12，78）、C（40，50）得，即，由题意得，或得4＜x≤12或12＜x＜28，所以4＜x＜28，则老师就在x∈（4，28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，故答案为：（4，28）【点睛】本题考查解析式的求法，考查不等式组的解法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用，属于中档题14、【解析】先求出时最大值为，再由是的最大值，解出t的范围.【详解】当时，，由对勾函数的性质可得：在时取得最大值；当时，，且是的最大值，所以，解得：.故答案为：15、3【解析】根据幂函数y=xα的图象经过点2,8，由2【详解】因为幂函数y=xα的图象经过点所以2α解得α=3，故答案：316、【解析】解不等式确定集合，解方程确定集合，再由交集定义求得交集后可得结论【详解】由题意，，∴，只有1个元素故答案为：1三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）－1（2）【解析】（1）由得出实数b的值，再验证奇偶性即可；（2）由结合函数的单调性解不等式，结合基本不等式求解得出实数k的取值范围【小问1详解】∵函数的定义域为R，且为奇函数，解得经检验，当b＝－1时，为奇函数，满足题意故实数b的值为－1【小问2详解】，∴f(x)在R上单调递增，在上恒成立，在上恒成立（当且仅当x＝0时，取“＝”），则∴实数k的取值范围为18、(1)详见解析(2)【解析】（1）证明函数单调性可根据函数单调性定义取值，作差变形，定号从而写结论（2）因为函数是奇函数所以（3）由.故，∴试题解析：(1)设，则.∵函数是增函数，又，∴，而，，∴式.∴，即是上的增函数.(2)∵对恒成立，∴.(3)当时，.∴，∴，继续解得，∴，因此，函数的值域是.点睛：本题考差了函数单调性，奇偶性概念及其判断、证明，函数的值域求法，对于定义来证明单调性要注意做差后的式子的化简.19、(1);(2)【解析】根据旋转体的轴截面图，利用平面几何知识求得球的半径与长，再利用面积公式与体积公式计算即可.【详解】解：（1）连接，则，设，在中，，；（2），∴圆锥球.【点睛】本题考查旋转体的表面积与体积的计算，球的表面积，圆锥的体积.20、