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文档简介
江西省新干县第二中学2025届数学高二上期末经典模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线:()的离心率为,则的渐近线方程为()A. B.C. D.2.已知实数满足方程,则的最大值为()A.3 B.2C. D.3.函数的图象如图所示,是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是()A B.C. D.4.设双曲线C:的左、右焦点分别为,点P在双曲线C上,若线段的中点在y轴上,且为等腰三角形,则双曲线C的离心率为()A B.2C. D.5.已知点到直线的距离为1,则m的值为()A.或 B.或15C.5或 D.5或156.双曲线的渐近线方程和离心率分别是A. B.C. D.7.如果双曲线的一条渐近线方程为,且经过点,则双曲线的标准方程是()A. B.C. D.8.已知直线与直线垂直,则a=()A.3 B.1或﹣3C.﹣1 D.3或﹣19.已知直线过点,,则直线的方程为()A. B.C. D.10.已知,,若,则()A.9 B.6C.5 D.311.从某个角度观察篮球(如图1),可以得到一个对称的平面图形,如图2所示,篮球的外轮形为圆O,将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,AB=BC=CD,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.12.已知是双曲线的左焦点,为右顶点,是双曲线上的点,轴,若,则双曲线的离心率为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知变量X,Y的一组样本数据如下表所示,其中有一个数据丢失,用a表示.若根据这组样本利用最小二乘法求得的Y关于X的回归直线方程为,则_________.X1491625Y2a369314214.某人实施一项投资计划,从2021年起,每年1月1日,把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元,预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元;若投资年收益是10%,一年结算一次,当年的投资收益自动转入下一年的投资本金,若2031年1月1日结束投资计划,则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有__________万元.(参考数据:,,)15.如图,AD与BC是三棱锥中互相垂直的棱,,(c为常数).若,则实数的取值范围为__________.16.抛物线的聚焦特点:从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后,光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面,根据光路的可逆性,平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线,一条平行于抛物线对称轴的光线从点向左发出,先经抛物线反射,再经直线反射后,恰好经过点,则该抛物线的标准方程为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列的前项和满足(1)证明:数列为等比数列;(2)若数列为等差数列,且,,求数列的前项和18.(12分)如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,点是棱的中点(1)求证:平面,并求直线与平面的距离;(2)若,求平面与平面所成夹角的余弦值19.(12分)已知抛物线C的对称轴是y轴,点在曲线C上.(1)求抛物线的标准方程;(2)过抛物线焦点的倾斜角为直线l与抛物线交于A、B两点,求线段AB的长度.20.(12分)已知是数列的前n项和,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求的前n项和.21.(12分)阅读本题后面有待完善的问题,在下列三个条件:①,②,③中选择一个作为条件,补充在题中横线处,使问题完善,并解答你构造的问题.(如果选择多个关系并分别解答,在不出现逻辑混乱的情况下,按照第一个解答给分).问题:已知命题,,命题___________,若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.22.(10分)已知.(1)求在上的单调递增区间;(2)已知锐角内角,,的对边长分别是,,,若,.求面积的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先根据双曲线的离心率得到,然后由,得,即为所求的渐近线方程,进而可得结果【详解】∵双曲线的离心率,∴又由,得,即双曲线()的渐近线方程为,∴双曲线的渐近线方程为故选:A2、D【解析】将方程化为,由圆的几何性质可得答案.【详解】将方程变形为,则圆心坐标为,半径,则圆上的点的横坐标的范围为:则x的最大值是故选:D.3、A【解析】结合导数的几何意义确定正确选项.【详解】,表示两点连线斜率,表示在处切线的斜率;表示在处切线的斜率;根据图象可知,.故选:A4、A【解析】根据是等腰直角三角形,再表示出的长,利用三角形的几何性质即可求得答案.【详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M,因为O为的中点,所以,而,则,为等腰三角形,故,由,得,又为等腰直角三角形,故,即,解得,即,故选:A.5、D【解析】利用点到直线距离公式即可得出.【详解】解:点到直线的距离为1,解得:m=15或5故选:D.6、A【解析】先根据双曲线的标准方程,求得其特征参数的值,再利用双曲线渐近线方程公式和离心率定义分别计算即可.【详解】双曲线的,双曲线的渐近线方程为,离心率为,故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及离心率,属于简单题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,从而求出;②构造的齐次式,求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解7、D【解析】根据渐近线方程设出双曲线方程,然后将点代入,进而求得答案.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为,所以设双曲线方程为,将代入得:,即双曲线方程为.故选:D.8、D【解析】根据,得出关于的方程,即可求解实数的值.【详解】直线与直线垂直,所以,解得或.故选:D.9、C【解析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.【详解】由直线的两点式方程可得,直线l的方程为,即故选:C10、D【解析】根据空间向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】.故选:D.11、D【解析】设出双曲线方程,通过做标准品和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分,且AB=BC=CD,推出点在双曲线上,然后求出离心率即可.【详解】设双曲线的方程为,则,因为AB=BC=CD,所以,所以,因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,所以在双曲线上,代入可得,解得,所以双曲线的离心率为.故选:D12、C【解析】根据条件可得与,进而可得,,的关系,可得解.【详解】由已知得,设点,由轴,则,代入双曲线方程可得,即,又,所以,即,整理可得,故,解得或(舍),故选:C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、17【解析】根据回归直线必过样本点中心即可解出【详解】因为,,所以,解得故答案为:1714、24【解析】根据条件求得每一年投入在最终结算时的总收入,利用错位相减法求得总收入.【详解】由题知,2021年的投入在结算时的收入为,2022年的投入在结算时的收入为,,2030年的投入在结算时的收入为,则结算时的总投资及收益为:①,则②,由①-②得,,则,故答案为:2415、【解析】分析得都在以为焦点的椭球上,再利用椭球的性质得到,化简即得解.【详解】解:因为,所以都在以为焦点椭球上,由椭球的性质得,是垂直椭球焦点所在直线的弦,的最大值为,此时共面且过中点,即故实数的取值范围为.故答案为:16、【解析】根据抛物线的聚焦特点,经过抛物线后经过抛物线焦点,再经直线反射后经过点,则根据反射特点,列出相关方程,解出方程即可.【详解】设光线与抛物线的交点为,抛物线的焦点为,则可得:抛物线的焦点为:则直线的方程为:设直线与直线的交点为,则有:解得:则过点且垂直于的直线的方程为:根据题意可知:点关于直线的对称点在直线上设点,的中点为,则有:直线垂直于,则有:点在直线上,则有:点在直线上,则有:化简得:又故故答案为:【点睛】直线关于直线对称对称,利用中点坐标公式和直线与直线垂直的特点建立方程,根据题意列出隐含的方程是关键三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】(1)由与的关系,利用等比数列的定义证明即可;(2)由(1)求出,再利用裂项相消法求解即可【小问1详解】当时,,,当时,,,,数列是以为首项、以为公比的等比数列【小问2详解】由(1)得,,即,,设等差数列的公差为,则,,,,,18、(1)证明见解析,直线与平面的距离为(2)【解析】(1)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,设,利用空间向量法可证得平面,以及求得直线与平面的距离;(2)利用空间向量法可求得平面与平面所成夹角的余弦值【小问1详解】解:因为平面,四边形为矩形,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设,则、、、、、,,,,,所以,,,所以,,,又因为,因此,平面.所以,平面的一个法向量为,,平面,平面,则平面,所以,直线到平面的距离为.【小问2详解】解:若,则、,设平面的法向量为,,,则,取,可得,设平面的法向量为,,,则,取,可得,.因此,平面与平面所成夹角的余弦值为.19、(1)(2)16【解析】(1)设抛物线的标准方程为:,再代入求解即可.(2)根据焦点弦公式求解即可.【小问1详解】由题意知抛物线C的对称轴是y轴,点在曲线C上,所以抛物线开口向上,设抛物线的标准方程为:,代入点的坐标得:,解得则抛物线的标准方程为:.【小问2详解】焦点,则直线的方程是,设,,由得,,所以,则,故.20、(1)(2)【解析】(1)当时,化简得到,进而得到数列的通项公式;(2)由(1)得到,结合裂项法,即可求解.【小问1详解】解:由题意,数列的前n项和,且,当时,,当时,,满足上式,所以数列的通项公式为.【小问2详解】解:由,可得,所以.21、【解析】分别在、和的情况下得命题对应的集合;选条件后可求得命题对应的集合;根据充分不必要条件的定义可知,分别在、和的情况下得到结果.【详解】由得:,当时,不等式解集;当时,不等式解集为;当时,不等式解集为;是的充分不必要条件,命题对应集合是命题对应集合的真子集,即;若选条件①:由得:,;若选条件②:
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