2025届河南省驻马店市上蔡二高数学高二上期末调研试题含解析

2025届河南省驻马店市上蔡二高数学高二上期末调研试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设等差数列的前项和为，已知，，则的公差为（）A.2 B.3C.4 D.52．若，则=（）A.244 B.1C. D.3．我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序进行疫苗接种工作，下面是我国甲、乙两地连续11天的疫苗接种指数折线图，根据该折线图，下列说法不正确的是（）A.这11天甲地指数和乙地指数均有增有减B.第3天至第11天，甲地指数和乙地指数都超过80%C.在这11天期间，乙地指数的增量大于甲地指数的增量D.第9天至第11天，乙地指数的增量大于甲地指数的增量4．在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（）A. B.C. D.5．若，则（）A.0 B.1C. D.26．若数列是等差数列，其前n项和为，若，且，则等于（）A. B.C. D.7．已知向量，且与互相垂直，则k=（）A. B.C. D.8．已知是边长为6的等边所在平面外一点，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（）A. B.C. D.9．已知，若，则（）A. B.2C. D.e10．在数列中，，则（）A.2 B.C. D.11．命题：，否定是（）A.， B.，C.， D.，12．过坐标原点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________14．已知正方形的边长为分别是边的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，则两点间的距离为__________15．已知函数，则曲线在处的切线方程为___________.16．已知函数，若在定义域内有两个零点，那么实数a的取值范围为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和为，且.（1）求的通项公式；.（2）求数列的前n项和.18．（12分）长方体中，，点分别在上，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.19．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离.20．（12分）已知数列中，，的前项和为，且数列是公差为-3的等差数列.（1）求；（2）若，数列前项和为.21．（12分）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示：其中一个数字被污损.（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率.（2）随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识的学习积累的热情，从中获益匪浅.现从观看该节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）年龄（岁）20304050周均学习成语知识时间（小时）2.5344.5由表中数据，试求线性回归方程，并预测年龄为55岁观众周均学习成语知识时间.参考公式：，.22．（10分）如图，已知顶点，，动点分别在轴，轴上移动，延长至点，使得，且.（1）求动点的轨迹；（2）过点分别作直线交曲线于两点，若直线的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值；（3）过点分别作直线交曲线于两点，若，直线是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由以及等差数列的性质，可得的值，再结合即可求出公差.【详解】解：，得，，又，两式相减得，则.故选：B.2、D【解析】分别令代入已知关系式，再两式求和即可求解.【详解】根据，令时，整理得：令x=2时，整理得:由①+②得，，所以.故选：D.3、C【解析】由折线图逐项分析得到答案.【详解】对于选项A，从折线图中可以直接观察出甲地和乙地的指数有增有减，故选项A正确；对于选项B，从第3天至第11天，甲地指数和乙地指数都超过80%，故选项B正确；对于选项C，从折线图上可以看出这11天甲的增量大于乙的增量，故选项C错误；对于选项D，从折线图上可以看出第9天至第11天，乙地指数的增量大于甲地指数的增量，故D正确；故选：C.4、B【解析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.【详解】因为，则，解得.故选：B.5、D【解析】由复数的乘方运算求，再求模即可.【详解】由题设，，故2.故选：D6、B【解析】由等差数列的通项公式和前项和公式求出的首项和公差，即可求出.【详解】设等差数列的公差为，则解得：，所以.故选：B.7、C【解析】利用垂直的坐标表示列方程求解即可.【详解】由与互相垂直得，解得故选：C.8、C【解析】由题意分析可得，当时三棱锥的体积最大，然后作图，将三棱锥还原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半径的计算方法来计算，即可计算出球半径，从而完成求解.【详解】由题意可知，当三棱锥的体积最大时是时，为正三角形，如图所示，将三棱锥补成正三棱柱，该正三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圆圆心连线的中点上，设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，由正弦定理可得：，所以，，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：C.9、B【解析】求得导函数，则，计算即可得出结果.【详解】,.,解得：.故选：B10、D【解析】根据递推关系，代入数据，逐步计算，即可得答案.【详解】由题意得，令，可得，令，可得，令，可得，令，可得.故选：D11、D【解析】根据给定条件利用全称量词命题的否定是存在量词命题直接写出作答.【详解】命题：，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题：，的否定是：，.故选：D12、D【解析】求出直线直线过的定点A，由题意可知垂足是落在以OA为直径的圆上，由此可利用的几何意义求得答案,【详解】直线，即，令，解得，即直线过定点,由过坐标原点作直线的垂线，垂足为，可知：落在以OA为直径的圆上，而以OA为直径的圆为，如图示：故可看作是圆上的点到原点距离的平方，而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为，但将原点坐标代入直线中，不成立，即直线l不过原点，所以不可能和原点重合，故，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、±1【解析】由题意得＝≠，∴a＝－4且c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，由两平行线间的距离公式，得＝，解得c＝2或c＝－6，∴＝±114、.【解析】取BE的中点G，然后证明是二面角的平面角，进而证明，最后通过勾股定理求得答案.【详解】如图，取BE的中点G，连接AG,CG，由题意，则是二面角的平面角，则，又，则是正三角形，于是.根据可得：平面ABE，而平面ABE，所以，而，则平面BCFE，又平面BCFE，于是，，又，所以.故答案为：.15、【解析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程【详解】解：∵，∴，又，∴曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：.16、【解析】先求定义域，再求导，针对分类讨论，结合单调性，极值，最值得到，研究其单调性及其零点，求出结果.【详解】定义域为，，当时，恒成立，在单调递减，不会有两个零点，故舍去；当时，在上，单调递增，在上，单调递减，故，又因为时，，时，，故要想在定义域内有两个零点，则，令，，，单调递增，又，故当时，.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件结合当时，探求数列的性质即可计算作答.(2)由(1)求出，再利用错位相减法计算作答.小问1详解】依题意，当时，因为，则，当时，，解得，于是得数列是以1为首项，为公比的等比数列，则，所以的通项公式是.【小问2详解】由(1)可知，，则，因此，两式相减得：，于是得，所以数列的前n项和.18、（1）证明见解析.（2）【解析】（1）根据线面垂直的性质和判定可得证；（2）以为坐标原点，分以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由面面角的空间向量求解方法可得答案.【小问1详解】证明：长方体中，平面，又平面，又平面，又平面同理可证，而平面，平面【小问2详解】解：以为坐标原点，分以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.从而，，，由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，，则，从而，令，则，得平面的一个法向量为由图示得平面与平面所成的角为锐角，平面与平面所成的角的余弦值为19、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）易得，再由勾股定理逆定理证明，即可得线面垂直；（2）根据（1）得，进而根据几何关系，利用等体积法求解即可.【详解】解：（1）连接，∵，是中点，∴，，又，，∴，∴，∵，∴，∴，，平面，∴平面；（2）∵点在棱上，且，，为的中点.∴，∴由余弦定理得，即，∴，由（1）平面，设点到平面的距离为∴，即，解得：所以点到平面的距离为.20、（1）（2）【解析】（1）由条件先求出通项公式，得出，再由可得出答案.(2)由（1）可知,由裂项相消法可得答案.【小问1详解】由，则由数列是公差为的等差数列，则所以当时，当时，符合上式所以【小问2详解】由（1）可知则21、（1）；（2）详见解析.【解析】（1）先根据两个平均值的大小得到的取值范围，再利用古典概型的概率公式进行求解；（2）先利用最小二乘法求出线性回归方程，再利用方程进行预测.试题解析：（1）设被污损的数字为，则的所有可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10种等可能结果，令，解得，则满足“东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的”的取值有0,1,2,3,4,5,6,7共8个，所以其概率为.（2）由表中数据得，，∴，线性回归方程.可预测年龄为55观众周均学习成语知识时间为4.9小时.22、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）设点M,P,Q的坐标,将向量进行坐标化，整理即可得轨迹方程；（2）设点，，直线的倾斜角互补，则两直线斜率互为相反数，用斜率公式计算得到，即可计算kAB；（3）若