安徽省泗县一中2025届高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

安徽省泗县一中2025届高二数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆及以下3个函数：①；②；③，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有（）A.0个 B.1个C.2个 D.3个2．某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为A.11 B.12C.13 D.143．在正方体中，下列几种说法不正确的是A. B.B1C与BD所成的角为60°C.二面角的平面角为 D.与平面ABCD所成的角为4．在长方体，，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.5．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A. B.C. D.6．抛物线的准线方程是（）A. B.C. D.7．若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.8．如图，在棱长为1的正方体中，点B到直线的距离为（）A. B.C. D.9．若方程表示双曲线，则（）A. B.C. D.10．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是A. B.C. D.11．等差数列中，已知，则（）A.36 B.27C.18 D.912．若定义在R上的函数满足，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为____.14．已知向量，，若，则实数=________.15．直线与圆交于A、B两点，当弦AB的长度最短时，则三角形ABC的面积为________16．用组成所有没有重复数字的五位数中，满足与相邻并且与不相邻的五位数共有____________个.(结果用数值表示)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求；（2）若，求的面积的最大值18．（12分）如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面ABCD，Q为PB中点（1）求证：平面平面PBC；（2）求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值19．（12分）设函数（1）求在处的切线方程；（2）求在上的最大值与最小值20．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且过点.（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求m的值.21．（12分）已知数列的前n项和为，且（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，求数列的前n项和22．（10分）如图，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，，，以EF为轴，将正方形AEFD翻折至与平面EBCF垂直的位置处.请按图中所给的方法建立空间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由椭圆的几何性质可得椭圆的图像关于原点对称，因为函数,函数为奇函数,其图像关于原点对称，则①②满足题意,对于函数在轴右侧时，，只有时，，即函数在轴右侧的图像显然不能等分椭圆在轴右侧的图像的面积,又函数为偶函数,其图像关于轴对称，则函数在轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在轴左侧的图像的面积,即函数的图像不能等分该椭圆面积，得解.【详解】解：因为椭圆的图像关于原点对称，对于①，函数为奇函数，其图像关于原点对称，即可知的图象能等分该椭圆面积；对于②，函数为奇函数，其图像关于原点对称，即可知的图象能等分该椭圆面积；对于③，对于函数在轴右侧时，，只有时，，即函数在轴右侧的图像（如图）显然不能等分椭圆在轴右侧的图像的面积,又函数为偶函数,其图像关于轴对称，则函数在轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在轴左侧的图像的面积,即函数的图像不能等分该椭圆面积，即函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有2个，故选C.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、函数的奇偶性及函数的对称性，重点考查了函数的性质，属基础题.2、B【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人∴从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人考点：系统抽样3、D【解析】在正方体中，利用线面关系逐一判断即可.【详解】解：对于A，连接AC，则AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正确；对于B，∵B1C∥D，即B1C与BD所成的角为∠DB，连接△DB为等边三角形，∴B1C与BD所成的角为60°，故B正确；对于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD＝BC，A1B⊂平面A1BC，AB⊂平面BCD，∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正确；对于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD＝A，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D错误故选D【点睛】本题考查了线面的空间位置关系及空间角，做出图形分析是关键,考查推理能力与空间想象能力4、A【解析】在长方体中建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求得向量，的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案.详解】如图，由题意可知DA，DC，两两垂直，则以D为原点，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，，，，从而，故异面直线与所成角的余弦值是，故选：A.5、A【解析】设七巧板正方形边长为4，求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率公式计算作答.【详解】设七巧板正方形边长为4，则大阴影等腰三角形底边长为4，底边上的高为2，可得小正方形对角线长为2，小正方形边长为，小阴影等腰直角三角形腰长为，小白色等腰直角三角形底边长为2，则左上角阴影等腰直角三角形腰长为2，因此，图中阴影部分面积，而七巧板正方形面积，于是得七巧板中白色部分面积为，所以在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为.故选：A6、D【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的准线方程.【详解】抛物线的标准方程为，则，可得，因此，该抛物线的准线方程为.故选：D.7、B【解析】求出抛物线的焦点坐标，可得出的值，进而可求得椭圆的离心率.【详解】抛物线的焦点坐标为，由已知可得，可得，因此，该椭圆的离心率为.故选：B.8、A【解析】以为坐标原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，取，，利用向量法，根据公式即可求出答案.【详解】以为坐标原点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，取，，则，，则点B到直线AC1的距离为.故选：A9、C【解析】根据曲线方程表示双曲线方程有，即可求参数范围.【详解】由题设，，可得.故选：C.10、A【解析】如图：如图，取小圆上一点，连接并延长交大圆于点，连接，，则在小圆中，，在大圆中，，根据大圆的半径是小圆半径的倍，可知的中点是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是，综上可知小圆在大圆内壁上滚动，圆心转过角后的位置为点，小圆上的点，恰好滚动到大圆上的也就是此时的小圆与大圆的切点．而在小圆中，圆心角（是小圆与的交点）恰好等于，则，而点与点其实是同一个点在不同时刻的位置，则可知点与点是同一个点在不同时刻的位置．由于的任意性，可知点的轨迹是大圆水平的这条直径．类似的可知点的轨迹是大圆竖直的这条直径.故选A.11、B【解析】直接利用等差数列的求和公式及等差数列的性质求解.【详解】解：由题得.故选：B12、B【解析】构造函数，根据题意，求得其单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】构造函数，则，故在上单调递减；又，故可得，则，即，解得，故不等式解集为.故选：B.【点睛】本题考察利用导数研究函数单调性，以及利用函数单调性求解不等式，解决本题的关键是根据题意构造函数，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知找到异面直线所成角的平面角，再运用余弦定理可得答案.【详解】解：设BD的中点为O，连接EO，FO，所以，则∠EOF（或其补角）就是异面直线AD，BC所成的角的平面角，又因为EO=AD=1，FO=BC=，EF=.根据余弦定理得=-，所以∠EOF=150°，异面直线AD与BC所成角的大小为30°.故答案为：30°.14、【解析】由可求得【详解】因为，所以，故答案为：【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题15、【解析】由于直线过定点，所以当时，弦AB的长度最短，然后先求出的长，再利用勾股定理可求出的长，从而可求出三角形ABC的面积【详解】因为直线恒过定点，圆的圆心，半径为，所以当时，弦AB的长度最短，因为，所以，所以三角形ABC的面积为，故答案为：16、【解析】由题意，先利用捆绑法排列和，再利用插空法排列和，即可得答案.【详解】因为满足与相邻并且与不相邻，则将捆绑，内部排序得，再对和全排列得，利用插空法将和插空得，所以满足题意得五位数有.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;（2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案.【小问1详解】由正弦定理及，得，∵∴,∵，∴【小问2详解】由余弦定理，∴，即，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时等号成立，∴的面积的最大值为18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点为，连接，可证，从而可利用面面垂直的判定定理可证平面平面.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量后可得二面角的正弦值.【小问1详解】如图，取的中点为S，连接，因为为等边三角形，故，，而平面平面ABCD，平面平面，平面，故平面，而平面，故，而，故，因，故平面，因平面，故，因，故平面，而平面，故平面平面.【小问2详解】连接，因为，故四边形为平行四边形，而，故四边形为矩形，所以，由（1）可得平面，故建立如图所示的空间直角坐标系，则所以，，设平面的法向量为，则即，取，则，设平面的法向量为，则即，取，则，故，故平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为.19、（1）（2），【解析】（1）对函数求导，然后求出，，运用点斜式即可求出切线方程；（2）利用导数研究出函数在区间的单调性，即可求出函数在区间上的最大值与最小值【小问1详解】，，，所以在点处的切线方程为，即.【小问2详解】，因为，所以与同号，令则，由，得，此时为减函数，由，得，此时为增函数，则，故，在单调递增，所以，20、（1）（2）或【解析】（1）由已知设圆C的方程为，点代入计算即可得出结果.（2）由已知可得圆心C到直线的距离,利用点到直线的距离公式计算即可求得值.【小问1详解】设圆心坐标为，半径为，圆C的圆心在直线上，.则圆C的方程为，圆C过点，则，解得：则，圆C的圆心坐标为.则圆C的方程为；【小问2详解】圆心C到直线的距离.则，解得或21、（1）证明见解析，（2）【解析】（1）根据公式得到，得到，再根据等比数列公式得到答案.（2）根据等差数列定义得到，再利用错位相减法计算得到答案.【小问1详解】，当时，，得到；当时，，两式相减得到，整理得到，即，故，数列是首项为，公比为的等比数列，，即，验证时满足条件，故.【小问2详解】，故，，，两式相减得到：，整理得到：，故.22、（1）证明见解析；（2）.【解析】