2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.5.1正弦函数的图像学案含解析北师大版必修4

PAGE5正弦函数的图像与性质5．1正弦函数的图像考纲定位重难突破1.会用五点法画出正弦函数的图像．2.依据图像理解函数y＝sinx，x∈[0,2π]的性质.重点：1.借助单位圆了解正弦函数的图像与周期性．2.能画y＝sinx的图像．难点：正弦线的理解和应用.授课提示：对应学生用书第12页[自主梳理]1．从单位圆看正弦函数的性质(1)原理(2)正弦函数的性质定义域R最小值－1最大值1值域[－1,1]周期性周期函数，周期为2π在[0,2π]上的单调性在[0，eq\f(π,2)]上是增加的；在[eq\f(π,2)，π]上是削减的；在[π，eq\f(3π,2)]上是削减的；在[eq\f(3π,2)，2π]上是增加的2.正弦函数的图像(1)画法：(2)有关概念①正弦线：设随意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，我们称MP为角α的正弦线，P叫正弦线的终点．②“五点法”画图．③正弦曲线：[双基自测]1．用五点法画y＝sinx，x∈[0,2π]的图像时，下列不是关键点的是()A．(eq\f(π,6)，eq\f(1,2)) B．(eq\f(π,2)，1)C．(π，0) D．(2π，0)答案：A2．函数y＝sinx与x轴交点的个数是()A．0 B．3C．6 D．多数个解析：y＝sinx的图像向左右无限伸展，重复出现．答案：D3．用五点法作函数y＝－sinx的图像时，首先应描出的五点的横坐标是________．解析：y＝－sinx与y＝sinx的图像关于x轴对称．答案：0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π授课提示：对应学生用书第12页探究一用五点法作正弦函数的图像[典例1]用五点法作函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的图像．[解析](1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－101－sinx10121(2)描点、连线，图像如图．五点法作图：“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分分别找出图像的最高点，最低点及平衡点等五个关键点，由这五个点大致确定图像的位置和形态．1．画函数y＝2sinx－1，x∈[0,2π]的简图．解析：步骤：(1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－102sinx－1－11－1－3－1(2)描点：在平面直角坐标系中描出(0，－1)，(eq\f(π,2)，1)，(π，－1)，(eq\f(3π,2)，－3)，(2π，－1)五个点．(3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得到函数y＝2sinx－1，x∈[0,2π]的简图，如图所示．探究二正弦函数图像的应用[典例2]写出访sinx≥eq\f(\r(3),2)(x∈R)成立的x的取值．[解析]如图，画出y＝sinx在x∈[0,2π]内的图像．其中直线y＝eq\f(\r(3),2)与y＝sinx的交点M，M′的横坐标分别是eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)，故在0≤x≤2π中满意sinx≥eq\f(\r(3),2)的角x的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(π,3)≤x≤\f(2π,3))).因此当x∈R时，集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,3)≤x≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)).利用正弦函数图像可解简洁的三角不等式．因为正弦函数是以2π为周期的周期函数，所以用正弦函数图像解三角不等式的步骤是：(1)作出相应的正弦函数的图像；(2)写出适合不等式的在区间[0,2π]上的解集；(3)依据正弦函数的周期性把此解集拓延到整个定义域上．2．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根 B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根解析：在同一坐标系中作出函数y＝|x|及函数y＝cosx的图像，如图所示．由图知两函数的图像有两个交点，所以方程|x|＝cosx有两个根．答案：C数形结合思想的应用[典例]求满意下列条件的角的范围．(1)sinx≥eq\f(1,2)；(2)sinx≤－eq\f(\r(2),2).[解析](1)利用“五点法”作出y＝sinx的简图，过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))作x轴的平行线，在[0,2π]上，直线y＝eq\f(1,2)与正弦曲线交于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，\f(1,2)))两点．结合图形可知，在[0,2π]内，满意y≥eq\f(1,2)时x的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(π,6)≤x≤\f(5π,6))).因此，当x∈R时，若y≥eq\f(1,2)，则x的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,6)≤x≤2kπ＋\f(5,6)π，k∈Z)).(2)同理，满意sinx≤－eq\f(\r(2),2)的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(5π,4)＋2kπ≤x≤\f(7,4)π＋2kπ，k∈Z)).[感悟提高]形如sinx>a(<a)的不等式，求角x的范围，一般采纳数形结合的思想来解题，详细步骤：(1)画出y＝s