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专题12利用切线求解恒成立【方法点拨】1.利用“形”解决恒成立问题(两个均为曲线),可考虑两曲线在公切点处的取值情况;2.零点问题有时也可以转化为【典型题示例】例1(2021·江苏南京市期初)若不等式对一切xR恒成立,其中a,bR,e为自然对数的底数,则a+b的取值范围是.【答案】(-∞,﹣1]【分析】思路一:直接转化为为最值问题;思路二:利用“形”,不等式对一切xR恒成立,即,设,,因为恒过点,故只需开口朝下,且在点与有相同的公切线即可.【解析一】令,恒成立,显然a≤0,,则,,当a=0时,在(,0)递增,(0,)递减,符合题意,a<0时,在(,)递减,(,0)递增,(0,)递减x<,,故符合题意,综上,a≤0,b=﹣1,因此a+b(,﹣1].【解析二】不等式可化为,令,当时,因为恒过点,故只需直线为在点处的切线即可,易得,此时.当时,因为恒过点,为使对一切xR恒成立,只需开口朝下,且在点与有相同的公切线即可,故,此时.综上,a+b的取值范围是.例2已知e为自然对数的底数,函数的图像恒在直线上方,则实数a的取值范围为.【答案】【解析】依题意,有:,即恒成立,a=0时显然成立,a>0时,右边为开口向上的抛物线,不可能恒成立,所以,要使不等式恒成立,需a≤0.当a<0时,设,易知两函数的凸凹性相反,故只需考虑两函数图象有且仅有一个公共点,即有公切线的“临界状态”时的切点坐标.设公切点为,则,解之得∴切点为为使,只需,故又a<0,所以.综上,实数a的取值范围为.【巩固训练】函数xax2--x,中∈,若等式x1-a恒成,数a取范围为.2.(2019·天津理·8)已知,设函数若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为A. B. C. D.3.设函数,为正实数,若函数有且只有个零点,则的值为.4.若曲线与曲线存在公共切线,数a取范围为.
【答案或提示】【答案】2.【答案】C3.【答案】1【解析】遇含参问题能分离变量则分离.函数有且只有个零点,意即与的图
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