新高考数学专题复习专题05分段函数研究专题练习(学生版+解析)

专题05分段函数研究一、题型选讲题型一、分段函数的求值问题由于分段函数的解析式与对应的定义域有关，因此求值时要代入对应的解析式。含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）例1、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设函数，则（）A．2 B．3 C．5 D．6例2、(2019南京三模）若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(2x，x≤0,f(x－2)，x＞0))，则f(log23)＝▲．例3、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）对于给定正数k，定义，设，对任意和任意恒有，则（）A．k的最大值为2 B．k的最小值为2 C．k的最大值为1 D．k的最小值为1题型二、与分段函数有关的方程或不等式含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式例4、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．例5、(2019苏锡常镇调研）.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(log2（3－x），,x≤0，,2x－1，,x>0，)))若f(a－1)＝eq\f(1,2)，则实数a＝________．例6、(2019苏北四市、苏中三市三调）已知函数则不等式的解集为▲．题型三、分段函数的单调性分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。例7、已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是_________例8、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）函数为定义在上的奇函数，则____________________，_________________.题型四分段函数的零点问题分段函数的零点，有时需要对新函数如何构建是关键，通常的原则是：一是两个新函数图像是常见初等函数图像，二是一个函数图像是定的，另一个函数图像是动的，三是参数放在直线型中，即定曲线动直线，这样便于解决问题，基于这三点例8、【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0例9、(2017苏锡常镇调研）若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)－1，,x＜1，,\f(lnx,x2)，,x≥1，)))则函数y＝|f(x)|－eq\f(1,8)的零点个数为________．例10、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0） B．[0，+∞）C．[–1，+∞） D．[1，+∞）二、达标训练1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）若,则__________．2、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知，若，则_______，______；2、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）已知函数，若，则实数_____；若存在最小值，则实数的取值范围为_____.，3、（2020·全国高三专题练习（文））函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设．（1）当时，f（x）的最小值是_____；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是_____．5、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知函数若，则实数的取值范围为___．6、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（）A． B． C． D．7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，以下结论正确的是（）A．B．在区间上是增函数C．若方程恰有3个实根，则D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是8、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是________．专题05分段函数研究一、题型选讲题型一、分段函数的求值问题由于分段函数的解析式与对应的定义域有关，因此求值时要代入对应的解析式。含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）例1、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设函数，则（）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】∵函数，∴，.故选：C.例2、(2019南京三模）若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(2x，x≤0,f(x－2)，x＞0))，则f(log23)＝▲．【答案】．EQ\F(3,4)【解析】因为1＜＜2，所以f(log23)＝f(log23－2)＝.例3、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）对于给定正数k，定义，设，对任意和任意恒有，则（）A．k的最大值为2 B．k的最小值为2 C．k的最大值为1 D．k的最小值为1【答案】B【解析】因为对任意和任意恒有，根据已知条件可得：对任意恒成立，即，，，当时有，即故选：B题型二、与分段函数有关的方程或不等式含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式例4、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4)；【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.例5、(2019苏锡常镇调研）.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(log2（3－x），,x≤0，,2x－1，,x>0，)))若f(a－1)＝eq\f(1,2)，则实数a＝________．【答案】log23【解析】当a－1≤0，即a≤1时，f(a－1)＝log2(4－a)＝eq\f(1,2)，解得a＝4－eq\r(2)(舍)；当a－1>0，即a>1时，f(a－1)＝2a－1－1＝eq\f(1,2)，解得a＝log23.eq\a\vs4\al(解后反思)本题以分段函数为背景，考查指数及对数的基本运算及分类讨论的数学思想．例6、(2019苏北四市、苏中三市三调）已知函数则不等式的解集为▲．【答案】【解析】：若，则，由得：，故.若，则，由得：，故.综上，不等式的解集为.题型三、分段函数的单调性分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。例7、已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是_________【答案】【解析】思路：若在单调增，则在上任取，均有，在任取中就包含均在同一段取值的情况，所以可得要想在上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一种取值可能为不在同一段取值，若也满足，均有，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。代入，有左段右端，即综上所述可得：例8、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）函数为定义在上的奇函数，则____________________，_________________.【答案】【解析】根据题意，为定义在上的奇函数，则有，解可得：，则，则；故答案为：；.题型四分段函数的零点问题分段函数的零点，有时需要对新函数如何构建是关键，通常的原则是：一是两个新函数图像是常见初等函数图像，二是一个函数图像是定的，另一个函数图像是动的，三是参数放在直线型中，即定曲线动直线，这样便于解决问题，基于这三点例8、【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0【答案】C【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3−12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3−12，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴b1−a＜0且解得b＜0，1﹣a＞0，b＞−16（a则a>–1，b<0.故选C．例9、(2017苏锡常镇调研）若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)－1，,x＜1，,\f(lnx,x2)，,x≥1，)))则函数y＝|f(x)|－eq\f(1,8)的零点个数为________．【答案】.4【解析】设g(x)＝eq\f(lnx,x2)，则由g′(x)＝eq\f(x－lnx·2x,x4)＝eq\f(1－2lnx,x3)＝0，可得x＝eq\r(e)，所以g(x)在(1，eq\r(e))上单调递增，在(eq\r(e)，＋∞)上单调递减，当x→＋∞时，g(x)→0，故g(x)在(1，＋∞)上的最大值为g(eq\r(e))＝eq\f(1,2e)＞eq\f(1,8).在同一平面直角坐标系中画出y＝|f(x)|与y＝eq\f(1,8)的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个．例10、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0） B．[0，+∞）C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图象，在y轴右侧的图象去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，（公众号：高中数学最新试题）并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即.故选C．二、达标训练1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）若,则__________．【答案】【解析】因为，所以，应填答案.2、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知，若，则_______，______；【答案】【解析】，，，，，故答案为：；2、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）已知函数，若，则实数_____；若存在最小值，则实数的取值范围为_____.【答案】【解析】，，，.易知时，；又时，递增，故，要使函数存在最小值，只需，解得：.故答案为：，.3、（2020·全国高三专题练习（文））函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令,画出与的图象,平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件,故故选：A4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设．（1）当时，f（x）的最小值是_____；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是_____．【答案】[0，]【解析】（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2，当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号，则函数的最小值为，（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，要使f（0）是f（x）