高考真题+知识总结+方法总结+题型突破21二项式定理问题专题练习(学生版+解析)

第页近年高考真题+优质模拟题汇编(全国通用)专题21二项式定理问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅰ)的展开式中的系数为________________（用数字作答）．1．答案－28解析因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为－28．故答案为－28．2．(2022·北京)若，则()A．40B．41C．D．2．答案B解析令，则，令，则，故，故选B．3．(2022·浙江)已知多项式，则__________，___________．3．答案8－2解析含的项为：，故；令，即，令，即，∴，故答案为8，－2．【知识总结】二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)(a＋b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n＋1．(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n．(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．(4)二项式系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n)．(5)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．(6)(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．【题型突破】题型一形如(a＋b)n(n∈N)展开式中与特定项相关量的问题1．(2021·北京)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(1,x)))eq\s\up7(4)的展开式中常数项是________．1．答案－4解析二项展开式的通项为Ceq\o\al(k,4)(x3)4－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,4)(－1)kx12－4k(0≤k≤4，k∈N)．令12－4k＝0，得k＝3，故展开式中的常数项为Ceq\o\al(3,4)(－1)3＝－4．2．(2020·全国Ⅲ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))6的展开式中常数项是________(用数字作答)．2．答案240解析展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(x2)6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))k＝2kCeq\o\al(k,6)x12－3k．令12－3k＝0，解得k＝4，故常数项为24Ceq\o\al(4,6)＝240．3．(2020·北京)在(eq\r(x)－2)5的展开式中，x2的系数为()A．－5B．5C．－10D．103．答案C解析Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(eq\r(x))5－k(－2)k＝Ceq\o\al(k,5)·(－2)k，令eq\f(5－k,2)＝2，解得k＝1．所以x2的系数为Ceq\o\al(1,5)(－2)1＝－10．4．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))5的展开式中x2y3的系数是()A．－20B．－5C．5D．204．答案A解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))5－r·(－2y)r＝Ceq\o\al(r,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5－r·(－2)r·x5－r·yr．当r＝3时，展开式中x2y3的系数为Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×(－2)3＝－20．故选A．5．(2019·浙江)在二项式(eq\r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．5．答案16eq\r(2)5解析由题意，(eq\r(2)＋x)9的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)(eq\r(2))9－rxr(r＝0,1,2，…，9)，当r＝0时，可得常数项为T1＝Ceq\o\al(0,9)(eq\r(2))9＝16eq\r(2)；若展开式的系数为有理数，则r＝1，3，5，7，9，有T2，T4，T6，T8，T10共5个项．6．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6的展开式中，有理项共有()A．1项B．2项C．3项D．4项6．答案D解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(－1)r·36－r·x6－eq\f(3,2)r，令6－eq\f(3,2)r为整数，求得r＝0，2，4，6，共计4项．7．在(1－x)5＋(1－x)6＋…＋(1－x)18＋(1－x)19的展开式中，含x3的项的系数是()A．4840B．－4840C．3871D．－38717．答案B解析由题意得含x3的项的系数为－Ceq\o\al(3,5)－Ceq\o\al(3,6)－…－Ceq\o\al(3,18)－Ceq\o\al(3,19)＝－(Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,18)＋Ceq\o\al(3,19)－Ceq\o\al(4,5))＝－(Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,18)＋Ceq\o\al(3,19)－Ceq\o\al(4,5))＝…＝－(Ceq\o\al(4,20)－Ceq\o\al(4,5))＝－4840，故选B．8．若(2x＋1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋a4(x＋1)4＋a5(x＋1)5，则a4＝()A．－32B．32C．－80D．808．答案C解析因为(2x＋1)5＝[－1＋2(x＋1)]5的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·(－1)5－r·[2(x＋1)]r＝(－1)5－r·2r·Ceq\o\al(r,5)·(x＋1)r，所以a4＝(－1)1·24·Ceq\o\al(4,5)＝－80，故选C．9．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(1,\r(x))))5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．9．答案－2解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋\f(1,\r(x))))5的展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(ax2)5－r·x－eq\f(r,2)＝Ceq\o\al(r,5)a5－r·x10－eq\f(5,2)r，令10－eq\f(5,2)r＝5，得r＝2，所以Ceq\o\al(2,5)a3＝－80，解得a＝－2．10．若二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))n展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为()A．6B．10C．12D．1510．答案C解析由二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))n展开式的第5项Ceq\o\al(4,n)(eq\r(x))n－4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))4＝16Ceq\o\al(4,n)xeq\f(n,2)－6是常数项，可得eq\f(n,2)－6＝0，解得n＝12．题型二形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)展开式中与特定项相关量的问题11．(2020·全国Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为()A．5B．10C．15D．2011．答案C解析方法一∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，∴x3y3的系数为10＋5＝15．方法二当x＋eq\f(y2,x)中取x时，x3y3的系数为Ceq\o\al(3,5)，当x＋eq\f(y2,x)中取eq\f(y2,x)时，x3y3的系数为Ceq\o\al(1,5)，∴x3y3的系数为Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(1,5)＝10＋5＝15．12．(2019·全国Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．2412．答案A解析展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为Ceq\o\al(3,4)＋2Ceq\o\al(1,4)＝4＋8＝12．13．(3－2x－x4)(2x－1)6的展开式中，含x3项的系数为()A．600B．360C．－600D．－36013．答案C解析由二项展开式的通项可知，展开式中含x3项的系数为3×Ceq\o\al(3,6)23(－1)3－2×Ceq\o\al(4,6)22(－1)4＝－600．故选C．14．若(x2－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．1D．214．答案D解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))10展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·x10－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,10)·x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4项的系数为Ceq\o\al(3,10)，令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6项的系数为Ceq\o\al(2,10)，所以(x2－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))10的展开式中x6的系数为Ceq\o\al(3,10)－aCeq\o\al(2,10)＝30，解得a＝2．15．(1－eq\r(x))6(1＋eq\r(x))4的展开式中x的系数是()A．－4B．－3C．3D．415．答案解法1(1－eq\r(x))6的展开式的通项公式为Ceq\o\al(m,6)·(－eq\r(x))m＝Ceq\o\al(m,6)·(－1)mxeq\s\up8(eq\f(m,2))，(1＋eq\r(x))4的展开式的通项公式为Ceq\o\al(n,4)·(eq\r(x))n＝Ceq\o\al(n,4)xeq\s\up8(eq\f(n,2))，其中m＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4．令eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，得m＋n＝2，于是(1－eq\r(x))6(1＋eq\r(x))4的展开式中x的系数等于Ceq\o\al(0,6)·(－1)0·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,6)·(－1)1·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,6)·(－1)2·Ceq\o\al(0,4)＝－3．解法2(1－eq\r(x))6(1＋eq\r(x))4＝[(1－eq\r(x))(1＋eq\r(x))]4(1－eq\r(x))2＝(1－x)4(1－2eq\r(x)＋x)．于是(1－eq\r(x))6(1＋eq\r(x))4的展开式中x的系数为Ceq\o\al(0,4)·1＋Ceq\o\al(1,4)(－1)1×1＝－3．解法3在(1－eq\r(x))6(1＋eq\r(x))4的展开式中要出现x，可以分为以下三种情况：①(1－eq\r(x))6中选2个(－eq\r(x))，(1＋eq\r(x))4中选0个eq\r(x)作积，这样得到的x的系数为Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(0,4)＝15；②(1－eq\r(x))6中选1个(－eq\r(x))，(1＋eq\r(x))4中选1个eq\r(x)作积，这样得到的x的系数为Ceq\o\al(1,6)(－1)1·Ceq\o\al(1,4)＝－24；③(1－eq\r(x))6中选0个(－eq\r(x))，(1＋eq\r(x))4中选2个eq\r(x)作积，这样得到的x的系数为Ceq\o\al(0,6)·Ceq\o\al(2,4)＝6．所以x的系数为15－24＋6＝－3．故选B．16．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45B．60C．120D．21016．答案C解析在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为Ceq\o\al(m,6)，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为Ceq\o\al(n,4)，故f(m，n)＝Ceq\o\al(m,6)·Ceq\o\al(n,4)．所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,4)＝120．17．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－3x＋\f(4,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,\r(x))))5的展开式中常数项为()A．－30B．30C．－25D．2511．答案C解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－3x＋\f(4,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,\r(x))))5＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,\r(x))))5－3xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,\r(x))))5＋eq\f(4,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,\r(x))))5，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,\r(x))))5的展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(－1)req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))r，易知当r＝4或r＝2时原式有常数项，令r＝4，T5＝Ceq\o\al(4,5)(－1)4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))4，令r＝2，T3＝Ceq\o\al(2,5)(－1)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))2，故所求常数项为Ceq\o\al(4,5)－3×Ceq\o\al(2,5)＝5－30＝－25，故选C．18．已知(1＋x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x2)))n(n∈N*，n＜10)的展开式中没有常数项，则n的最大值是()A．6B．7C．8D．918．答案B解析∵(1＋x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x2)))n(n∈N*，n＜10)的展开式中没有常数项，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x2)))eq\s\up12(n)的展开式中没有x－1项和常数项．∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x2)))n的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)·xn－3r，故n－3r≠0，且n－3r≠－1，即n≠3r，且n≠3r－1，∴n≠3，6，9，且n≠2，5，8，故n的最大值为7，故选B．19．在(1＋x)8(1＋y)5的展开式中，记x3y2的系数为m，x5y3的系数为n，则m＋n＝()A．1260B．1120C．840D．63019．答案解析二项式(1＋x)8展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)xr(其中r＝0,1，…，8)，二项式(1＋y)5展开式的通项为TRB＋1＝Ceq\o\al(R,5)yR(其中R＝0,1，…，5)．令r＝3，R＝2，可得Ceq\o\al(5,8)x3Ceq\o\al(2,5)y2＝Ceq\o\al(3,8)Ceq\o\al(2,5)x3y2，即m＝Ceq\o\al(3,8)Ceq\o\al(2,5)；令r＝5，R＝3，可得Ceq\o\al(5,8)x5Ceq\o\al(3,5)y3＝Ceq\o\al(5,8)Ceq\o\al(3,5)x5y3，即n＝Ceq\o\al(5,8)Ceq\o\al(3,5)．所以m＋n＝560＋560＝1120．故选B．20．在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为()A．Ceq\o\al(2,n)B．Ceq\o\al(2,n＋1)C．Ceq\o\al(n－1,n)D．eq\f(1,2)Ceq\o\al(3,n＋1)20．答案B解析1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n·(n＋1),2)＝Ceq\o\al(2,n＋1)．题型三形如(a＋b＋c)n(n∈N*)展开式中与特定项相关量的问题21．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)＋2))5的展开式中x2的系数是________．21．答案120解析在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＋2))5的展开式中，含x2的项为2Ceq\o\al(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))4，23Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2，所以在这几项的展开式中x2的系数和为2Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)＋23Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(0,2)＝40＋80＝120．22．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＋1))5的展开式中的常数项为()A．1B．11C．－19D．5122．答案B解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＋1))5＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＋1))5展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))5－k，当k＝5时，常数项为Ceq\o\al(5,5)＝1，当k＝3时，常数项为－Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)＝－20，当k＝1时，常数项为Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)＝30．综上所述，常数项为1－20＋30＝11．23．将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)－4))3展开后，常数项是________．23．答案－160解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)－4))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,\r(x))))6展开式的通项是Ceq\o\al(k,6)(eq\r(x))6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,\r(x))))k＝(－2)k·Ceq\o\al(k,6)x3－k．令3－k＝0，得k＝3．所以常数项是Ceq\o\al(3,6)(－2)3＝－160．24．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－2x＋\f(1,x)))4的展开式中，常数项为()A．28B．－28C．－56D．5624．答案A解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－2x＋\f(1,x)))4的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)·x－r·(x3－2x)4－r．而(x3－2x)4－r的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,4－r)·(x3)4－r－k·(－2x)k＝(－2)k·Ceq\o\al(k,4－r)·x12－3r－2k(k≤4－r)，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－2x＋\f(1,x)))eq\s\up12(4)的展开式的通项为(－2)k·Ceq\o\al(r,4)·Ceq\o\al(k,4－r)·x12－4r－2k．令12－4r－2k＝0，可得k＝0，r＝3或k＝2，r＝2．∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－2x＋\f(1,x)))eq\s\up12(4)的展开式中常数项为Ceq\o\al(3,4)×Ceq\o\al(0,1)＋4×Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(2,2)＝28，故选A．25．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5的展开式中的常数项为(用数字作答)．25．答案eq\f(63\r(2),2)解析解法一原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋2\r(2)x＋2,2x)))5＝eq\f(1,32x5)·[(x＋eq\r(2))2]5＝eq\f(1,32x5)(x＋eq\r(2))10．求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋eq\r(2))10的展开式中含x5项的系数，即Ceq\o\al(5,10)·(eq\r(2))5．所以所求的常数项为eq\f(C\o\al(5,10)·\r(2)5,32)＝eq\f(63\r(2),2)．解法二要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行分类：①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为(eq\r(2))5．②5个括号中的1个选eq\f(x,2)，1个选eq\f(1,x)，3个选eq\r(2)，这样得到的常数项为Ceq\o\al(1,5)eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)(eq\r(2))3．③5个括号中的2个选eq\f(x,2)，2个选eq\f(1,x)，1个选eq\r(2)，这样得到的常数项为Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2Ceq\o\al(2,3)eq\r(2)．因此展开式的常数项为(eq\r(2))5＋Ceq\o\al(1,5)eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)(eq\r(2))3＋Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2Ceq\o\al(2,3)eq\r(2)＝eq\f(63\r(2),2)．26．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))3的展开式中x2的系数是(用数字作答)．26．答案15解析因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6，所以Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,6)(－1)rx6－2r，令6－2r＝2，解得r＝2，所以展开式中x2的系数是Ceq\o\al(2,6)(－1)2＝15．27．(x2＋2x＋3y)5的展开式中x5y2的系数为()A．60B．180C．520D．54027．答案D解析(x2＋2x＋3y)5可看作5个(x2＋2x＋3y)相乘，从中选2个y，有Ceq\o\al(2,5)种选法；再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号里选出x，有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,1)种选法．所以x5y2的系数为32Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3)·2·Ceq\o\al(1,1)＝540．28．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)＋y))6的展开式中，x3y3的系数是________．(用数字作答)28．答案－120解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)＋y))6表示6个因式x2－eq\f(2,x)＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－eq\f(2,x)，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,3)×(－2)＝20×3×(－2)＝－120．29．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(3,x))－y))6的展开式中含xy的项的系数为()A．30B．60C．90D．12029．答案B解析展开式中含xy的项来自Ceq\o\al(1,6)(－y)1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(3,x))))5，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(3,x))))5展开式通项为Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,5)x5－eq\f(4,3)r，令5－eq\f(4,3)r＝1⇒r＝3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(3,x))))5展开式中x的系数为(－1)3Ceq\o\al(3,5)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(3,x))－y))6的展开式中含xy的项的系数为Ceq\o\al(1,6)(－1)Ceq\o\al(3,5)(－1)3＝60，故选B．30．(多选)若(1－ax＋x2)4的展开式中x5的系数为－56，则下列结论正确的是()A．a的值为－2B．展开式中各项系数和为0C．展开式中x的系数为4D．展开式中二项式系数最大为7030．答案BD解析(1－ax＋x2)4＝[(1－ax)＋x2]4，故展开式中x5项为Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)(－ax)3x2＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)(－ax)(x2)2＝(－4a3－12a)x5，所以－4a3－12a＝－56，解得a＝2．(1－ax＋x2)4＝(x－1)8，则展开式中各项系数和为0，展开式中x的系数为Ceq\o\al(7,8)(－1)7＝－8，展开式中二项式系数最大为Ceq\o\al(4,8)＝70．故选B、D．题型四二项式系数和与各项的系数和的问题31．若(a＋x2)(1＋x)n的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为()A．30B．45C．60D．8131．答案B解析令x＝0，得a＝2，所以(a＋x2)(1＋x)n＝(2＋x2)(1＋x)n．令x＝1，得3×2n＝192，所以n＝6．故该展开式中x4的系数为2Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,6)＝45．故选B．32．设(x－2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则a0＝________，a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝________．32．答案－24380解析令x＝－1得a0＝(－1－2)5＝－243．二项式(x－2)5可以写为[(x＋1)－3]5，则a1＝Ceq\o\al(4,5)(－3)4＝405，a2＝Ceq\o\al(3,5)(－3)3＝－270，a3＝Ceq\o\al(2,5)(－3)2＝90，a4＝Ceq\o\al(1,5)(－3)1＝－15，a5＝Ceq\o\al(0,5)(－3)0＝1，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝405＋2×(－270)＋3×90＋4×(－15)＋5×1＝80．33．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)－\r(3,x)))n的展开式中所有项的系数的绝对值之和大于100，则n的最小值为________；当n取最小值时，该展开式中的常数项是________．33．答案4－12解析二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)－\r(3,x)))n的展开式中所有项的系数的绝对值之和等于二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)＋\r(3,x)))n的展开式中的所有项的系数之和，令x＝1得二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)＋\r(3,x)))n的展开式中的所有项的系数之和，即二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)－\r(3,x)))n的展开式中所有项的系数的绝对值之和为4n，由4n>100得n≥4(n∈N*)，所以n的最小值为4，当n＝4时，二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)－\r(3,x)))4的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)))4－r(－eq\r(3,x))r＝(－1)r34－rCeq\o\al(r,4)xeq\f(4r,3)－4，令eq\f(4r,3)－4＝0得r＝3，则该展开式中的常数项为(－1)334－3·Ceq\o\al(3,4)＝－12．34．若(1－x)2019＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a2019(x＋1)2019，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2019·32019的值为()A．－1－22019B．－1＋22019C．1－22019D．1＋2201934．答案A解析由(1－x)2019＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a2019(x＋1)2019，令x＝－1得a0＝22019；令x＝2得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2019·32019＝－1，即a1·3＋a2·32＋…＋a2019·32019＝－1－22019，故选A．35．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．35．答案－3或1解析令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1．36．设(2x－1)6－x6＝(x－1)(a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5)，其中a0，a1，a2，a3，a4，a5为实数，则a0＝________，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．36．答案－16解析令x＝0，得a0＝－1；(2x－1)6＝(x＋x－1)6＝Ceq\o\al(0,6)x6＋Ceq\o\al(1,6)x5(x－1)＋…＋Ceq\o\al(6,6)(x－1)6，所以(2x－1)6－x6＝Ceq\o\al(1,6)x5(x－1)＋…＋Ceq\o\al(6,6)(x－1)6＝(x－1)[Ceq\o\al(1,6)x5＋Ceq\o\al(2,6)x4(x－1)＋…＋Ceq\o\al(6,6)(x－1)5]，则Ceq\o\al(1,6)x5＋Ceq\o\al(2,6)x4(x－1)＋…＋Ceq\o\al(6,6)(x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝6．37．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为()A．10B．20C．30D．4037．答案D解析令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1．因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式中的常数项为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式中x的系数与eq\f(1,x)的系数的和．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,5)25－rx5－2r·(－1)r．令5－2r＝1，得r＝2，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式中x的系数为Ceq\o\al(2,5)25－2×(－1)2＝80；令5－2r＝－1，得r＝3，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式中eq\f(1,x)的系数为Ceq\o\al(3,5)25－3×(－1)3＝－40，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式中的常数项为80－40＝40．38．若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式中的各项系数和为243，则a1＋2a2＋…＋nan＝()A．405B．810C．243D．6438．答案B解析(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，两边求导得2n(2x＋1)n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1．令x＝1，则2n×3n－1＝a1＋2a2＋…＋nan．又因为(2x＋1)n的展开式中各项系数和为243，令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5．所以a1＋2a2＋…＋nan＝2×5×34＝810．故选B．39．若(2x＋1)6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a6(x＋1)6，则a0＋a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝________．39．答案13解析在(2x＋1)6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a6(x＋1)6中，令x＝－1得a0＝(－2＋1)6＝1，对(2x＋1)6＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a6(x＋1)6两边求导得12(2x＋1)5＝a1＋2a2(x＋1)＋3a3(x＋1)2＋…＋6a6(x＋1)5，令x＝0得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝12，则a0＋a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＝13．40．已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a7,27)＝－128，则有()A．m＝2B．a3＝－280C．a0＝－1D．－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝1440．答案BCD解析令1－x＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(1,2)，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,2)－m))7＝(1－m)7＝a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a7,27)＝－128，得m＝3，则令x＝1，得a0＝(－1)7＝－1，(2x－3)7＝[－1－2(1－x)]7，所以a3＝Ceq\o\al(3,7)×(－1)7－3×(－2)3＝－280．对(2x－3)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7两边求导得14(2x－3)6＝－a1－2a2(1－x)－…－7a7(1－x)6，令x＝2得－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14．故选B、C、D．题型五二项式系数与系数的最值问题41．已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．41．答案Ceq\o\al(7,15)(3x)7和Ceq\o\al(8,15)(3x)8解析由已知得Ceq\o\al(n－2,n)＋Ceq\o\al(n－1,n)＋Ceq\o\al(n,n)＝121，则eq\f(1,2)n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝Ceq\o\al(7,15)(3x)7和T9＝Ceq\o\al(8,15)(3x)8．42．在二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))n的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为()A．－360B．－160C．160D．36042．答案B解析因为展开式中，仅第四项的二项式系数最大，所以展开式共有7项．所以n＝6．所以展开式的通项公式为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))k＝(－2)kCeq\o\al(k,6)x6－2k．由6－2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝(－2)3Ceq\o\al(3,6)＝－160．故选B．43．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A．210B．180C．160D．17543．答案B解析若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x2)))n的展开式中只有第六项的二项式系数Ceq\o\al(5,n)最大，则n＝10，则展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(－2)rx5－eq\f(5r,2)．令5－eq\f(5r,2)＝0，得r＝2．所以展开式中的常数项为Ceq\o\al(2,10)(－2)2＝180．故选B．44．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是()A．－462B．462C．792D．－79244．答案D解析因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以n为偶数，展开式共有13项，则n＝12．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))12的展开式的通项公式为Tk＋1＝(－1)kCeq\o\al(k,12)x12－2k．令12－2k＝2，得k＝5．所以展开式中含x2项的系数是(－1)5Ceq\o\al(5,12)＝－792．故选D．45．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()A．6eq\r(3,x)B．eq\f(4,\r(x))C．4xeq\r(6,x)D．eq\f(4,\r(x))或4xeq\r(6,x)45．答案A解析令x＝1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4