湘教版九年级数学上册全册各章节课时教学设计

湘教版九年级数学上册教学设计

第1章反比例函数.................................................................2

1.1反比例函数...............................................................2

1.2反比例函数的图象与性质..................................................5

1.3反比例函数的应用........................................................14

第2章一元二次方程..............................................................17

2.1一元二次方程............................................................17

2.2一元二次方程的解法......................................................20

2.3一元二次方程根的判别式..................................................32

*2.4一元二次方程根与系数的关系.............................................34

2.5一元二次方程的应用......................................................38

第3章图形的相似................................................................46

3.1比例线段................................................................46

3.2平行线分线段成比例.....................................................52

3.3相似图形................................................................55

3.4相似三角形的判定与性质.................................................58

3.5相似三角形的应用........................................................75

3.6位似....................................................................77

第4章锐角三角函数..............................................................82

4.1正弦和余弦..............................................................82

4.2正切....................................................................89

4.3解直角三角形............................................................92

4.4解直角三角形的应用.....................................................96

第5章用样本推断总体...........................................................105

5.1总体平均数与方差的估计.................................................105

5.2统计的简单应用.........................................................107

第1章反比例函数

1.1反比例函数

教学目标

1.使学生理解并掌握反比例函数的概念。

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。

3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想。

教学重难点

【教学重点】

理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式。

【教学难点】

理解反比例函数的概念。

教学过程

一、创设情景探究问题

情境1：随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？

当路程一定时，速度与时间成什么关系？(s=vt)

当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系？

［说明］这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极

思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个

量成反比例关系，如xy=m(m为一个定值)，则x与y成反比例。

这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。

情境2：

汽车从南京出发开往上海(全程约300km),全程所用时间t(h)随速度v(km/h)

的变化而变化.

问题：

(1)你能用含有v的代数式表示t吗？

(2)利用(1)的关系式完成下表：

v/(km/

608090100120

h)

t/h

(3)速度v是时间t的函数吗？为什么？

情境3：

用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：

(1)一个面积为6400m2的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化；

(2)某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额

y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化；

(3)游泳池的容积为500(W,向池内注水，注满水所需时间t(h)随注水速度v(m7h)

的变化而变化；

(4)实数m与n的积为一200,m随n的变化而变化.

问题：

(1)这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？

(2)它们有一些什么特征？

(3)你能归纳出反比例函数的概念吗？

|z

一般地，形如y=-(k为常数，kWO)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y

X

是X的函数，k是比例系数.

反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数

二、例题教学

例1：下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？

/\x/、2/、y［3/、1/、*\/2+1/、

⑴y=7^；(2)y=---7;(3)y=—」一；(4)y=—-3；⑸y=U----；(6)y

15x—1xxx

x,/、一1

=3+2；⑺'

221

例2：在函数y=『—1,y=^7i»y=xy=2^中，y是x的反比例函数的有个.

［说明］这个例题也是引导学生从反比例函数概念入手，着重从形式上进行比较，识

别一些反比例函数的变式，如y=kxT的形式.还有y=4—1通分为y=——，y、X

XX

2

都是变量，分子不是常量，故不是反比例函数，但变为y+l=：可说成(y+1)与x

成反比例.

例3：若y与x成反比例，且x=-3时,y=7,则y与x的函数关系式为.

［说明］这个例题引导学生观察、讨论，并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法,

初步感知用“待定系数法”来求比例系数，并引导学生归纳求反比例函数关系式的一

般方法，即只需己知一组对应值即可求比例系数.

三、拓展练习

1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数.如果

是，指出比例系数k的值.

(1)底边为5cm的三角形的面积y(cm2)随底边上的高x(cm)的变化而变化；

(2)某村有耕地面积200ha,人均占有耕地面积y(ha)随人口数量x(人)的变化

而变化；

(3)一个物体重120N,物体对地面的压强p(N/m2)随该物体与地面的接触面积S

(m2)的变化而变化.

2、下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？

22

(1)y=ax；(2)y=—；(3)xy+2=0；

。ox

2

(4)xy=0；(5)x=­.

3y

3、已知函数丫=(m+1)是反比例函数，则m的值为,

四、课堂小结

这节课你学到了什么？还有那些困惑？

五、布置作业：

1.2反比例函数的图象与性质

第1课时

教学目标

1、体会并了解反比例函数的图象的意义。

2、能描点画出反比例函数的图象。

3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质。

教学重难点

【教学重点】

反比例函数的图象及图象的性质。

【教学难点】

画反比例函数的图象。

教学过程

1、情境创设

可以从复习一次函数的图象开始：你还记得一次函数的图象吗？在回忆与交流中，

进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质。转而导人关注新的函数一一反比

例函数的图象研究：反比例函数的图象又会是什么样子呢？

2、探索活动

探索活动反比例函数y=£的图象.

X

由于反比例函数y=9的图象是曲线型的，且分成两支.对此，学生第一次接触

X

有一定的难度，因此需要分几个层次来探求：

(1)可以先估计一一例如:位置(图象所在象限、图象与坐标轴的交点等)、趋势(上

升、下降等)；

(2)方法与步骤一一利用描点作图；

列表：取自变量x的哪些值？一一x是不为零的任何实数，所以不能取x的值的

为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。

描点：依据什么(数据、方法)找点？

连线：怎样连线？一一可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线

把所描的点连接起来。

3、例题教学课本安排例1,(1)巩固反比例函数的图象的性质。(2)是为了引导学

生认识到：由于在反比例函数y=&(k>0)中，只要常数k的值确定，反比例函数就

X

确定了.因此要确定一个反比例函数，只需要一对对应值或图象上一个点的坐标即

可.（3）可以先设问：能否利用图象的性质来画图？

4、应用知识，体验成功

练笔：课本“课内练习”1.2.3

5、归纳小结，反思提高

用描点法作图象的步骤

反比例函数的图象的性质

6、布置作业

作业本（1）课本“作业题”

教学反思：

本次教学过程中，引导学生动手绘制函数图象，切实感受函数图象的基本特性，在加

深学生理解的同时提升学生动手解决问题的能力.在自主探究和合作交流过程中，学

生能力得到有效提升，并为下一课时的学习打下良好的基础.

第2课时

教学目标

1、体会并了解反比例函数的图象的意义

2、能描点画出反比例函数的图象

3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质

教学重难点

【教学重点】

反比例函数的图象及图象的性质。

【教学难点】

画反比例函数的图象。

教学过程

1、情境创设

可以从复习一次函数的图象开始：你还记得一次函数的图象吗?在回忆与交流中，

进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质。转而导人关注新的函数一一反比

例函数的图象研究：反比例函数的图象又会是什么样子呢？

2、探索活动

探索活动2反比例函数y=-勺的图象.

X

可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：

(1)可以用画反比例函数＞的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；

X

(2)可以通过探索函数y=9与＞之间的关系，画出y=-9的图象.

XXX

探索活动3反比例函数了=-色与y=9的图象有什么共同特征？

XX

引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”

的特征.

反比例函数y=4(kWO)的图象是由两个分支组成的曲线。当女＞0时，图象在一、三

X

象限：当左＜0时，图象在二、四象限。

反比例函数y='(k#O)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。

x

3、例题教学课本安排例1,(1)巩固反比例函数的图象的性质。(2)是为了引导学

生认识到：由于在反比例函数y=&(krO)中，只要常数k的值确定，反比例函数就

X

确定了.因此要确定一个反比例函数，只需要一对对应值或图象上一个点的坐标即

可.(3)可以先设问：能否利用图象的性质来画图？

4、应用知识，体验成功

练笔：课本“课内练习”1.2.3

5、归纳小结，反思提高

〃图象的画法：列表、描点、连线

函数图象：由在第二、四象限内的两

k<支曲线组成

y=-(A<0)

x性质：在每个象限内，展x的增大

、而增大

6、布置作业

作业本(1)课本“作业题”

教学反思：

教学的过程中，引导新的问题引发学生自主解答，在解决问题的过程中，加深对知识

的理解和巩固.自主探究和合作交流相互结合，循序渐进，逐步积累解决问题的基本

技巧，使学生能够适应考试命题方向.

第3课时

教学目标

1.进一步巩固作反比例函数的图象.

2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.

教学重难点

【教学重点】

通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质.

【教学难点】

从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质.

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当k>0时，函数图象

的两个分支分别位于第一、三象限内；当k<0时，函数图象的两个分支分别位于第

二、四象限内.并讨论了反比例函数y=±与y=-3的图象的异同点.这是从函数的图象

XX

位于哪些象限来研究了反比例函数的.

我们知道在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当k>0时，y的值随x的

增大而增大，当kVO时，y的值随x值的增大而减小，即函数值随自变量的变化而

变化的情况，以及函数图象与x轴，y轴的交点坐标.本节课我们来研究一下反比例

函数的有关性质.

H.新课讲解

1.做一做

［师］观察反比例函数y=42,y=43,y=69的形式，它们有什么共同点？

XXX

［生］表达式中的k都是大于零的.

［师］大家的观察能力非同一般呐！下面再用你们的慧眼观察它们的图象，总结它们的

共同特征.

(1)函数图象分别位于哪几个象限？

(2)在每一个象限内，随着x值的增大.y的值是怎样变化

的？能说明这是为什么吗？

⑶反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相

交吗？为什么？

［师］请大家先独立思考，再互相交流得出结论.

［生］(1)函数图象分别位于第一、三象限内.

(2)从图象的变化趋势来看，当自变量x逐渐增大时，

函数值y逐渐减小.

(3)因为图象在逐渐接近x轴,y轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x

轴y轴相交.

［师］大家同意他的观点吗？

［生］不同意⑶的观点.

［师］能解释一下你的观点吗？

［生］从关系式y=4中看，因为xWO,所以图象与y轴不可能能有交点；因为不论x

x

取任何实数，2是常数，y=上2永远也不为0,所以图象与x轴心也不可能有交点.

x

［师］对于(1)和(3)我不需要再说什么了，因为大家都回答的非常棒，不面我再补充一

下(2).观察函数y=4的图象，在第一象限我任取两点A(xi,yjB(x2,y2),分别向

x

X轴，y轴作垂线，找到对应的Xi,X2,yi,丫2,因为在坐标轴上能比较出X1与x2,与y2

的大小，所以就可判断函数值的变化随自变址的变化是如何变化的.山图可知x.<

x2,y2<y1,所以在第一象限内有y随x的增大而减小.

同理可知在其他象限内y随x的增大而如何变化.大家可以分组验证上图中的其他五

种情况.

［生］情况都一样.

［师］能不能总结一下.

［生］当k>0时，函数图象分别位于第一、三象限内，并且在每一个象限内，y随x的

增大而减小.

2.议一议

［师］刚才我们研究了y=2,y=±y=9的图象的性质，下面用类推的方法来研究y

XXX

y=-±,y=-9的图象有哪些共同特征？

XXX

［生］(l)y=-2,y=--,y=-&中的k都小于0,它们的图象都位于第二，四象限，所

XXX

以当A<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限内.

⑵在图象丫=-±2中，在第二象限内任取两点A(Xi,y3B(X2,y，可知x〉X2,y»yz,所

x

以可以得出当自变量逐渐减小时，函数值也逐渐减小，即函数值y随自变量x的增大

而增大.

⑶这些反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.

［师］通过我们刚才的讨论，可以得出如下结论：

反比例函数y=七的图象，当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；

x

当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.

3.想一想

⑴在一个反比例函数图象任取两点P、Q,过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐

标轴围成的矩形面积为Sv过点Q分别作x轴y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面

积为S2,Si与S?有什么关系?为什么？

⑵将反比例函数的图象绕原点旋转180°后.能与原来的图象重合吗？

［师］在下面的图象上进行探讨.

J

4

3

2

Ep，，乂)

y

一

［生］设P(x“y3过P点分别作x轴，y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为

Si,则Si=IX)I-IyiI=IXiYi).

・.•（X］,y）在反比例函数y=X图象上，所以y1=',即x1yi=k.

xx}

.*.Si=IkI.

同理可知S2=IkI,

所以Si=S2

［师］从上面的图中可以看出，P、Q两点在同一支曲线上，如果P,Q分别在不同的曲

线，情况又怎样呢？

［生］Si=Ix,y,I=IkI,

S2=Ix2y2I=Ik|.

［师］因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P、Q.不管P、Q是在同一支曲

线上，还是在不同的曲线上.过P、Q分别作x.轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩

形面积为S”S2,则有S尸S2.

⑵将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合，这个问题在上

节课中我们已做过研究.

III.课堂练习

P155随堂练习

IV.课时小结

本节课学习了如下内容.

1.反比例函数y=（的图象，当k0时，在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随,

X

值的增大而减小；当k<0时，图象在第二、四象限内，y的值随X值的增大而增大.

2.在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,分别过P,Q作x轴、y轴的平行线，与

坐标轴围成的矩形面积为Si,Sz，则有Si=S?.

3.将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图形重合.即反比例函数是

中心对称图形.

4.反比例函数的图象既不能与x轴相交也不能与y轴相交，但是当x的值越来越接近

于0时，y的值将逐渐变得很大；反之，y的值将逐渐接近于0.因此，图象的两个分

支无限接近；轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.

V.课后作业

习题1.2

反比例函数图象与三等分角

历史上，曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.

任取一锐角NPOH,过点P作0H的平行线，过点0作直线，两线相交于点M,0M交PH

于点Q，并使QM=20P,设N为0M的中点.

VNP=NM=OP,.\Z1=Z2=2Z3.

VZ4=Z3,.,.Z1=2Z4.

.,.ZMOH=-ZPOH.

3

问题在于，如何确定线段OM两端点的位置，并且保证0,Q,M在同一条直线上?事实

上，用尺规作图无法解决这一问题.那么，退而求其次，能不能借助一些特殊曲线解决

这一问题呢？

帕普斯(Pappus,公元300前后)给出的一种方法是：如下图，将给定的锐角NA0B置

于直角坐标系中，角的一边0A与y=L的图象交于点P,以P为圆心；以20P为半径

X

作弧交图象于点R.分别过点P和B作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M,连接

0M得到NM0B.

(1)为什么矩形PQRM的顶点Q在直线0M上？

(2)你能说明/MOB=!NA0B的理由吗？

3

(3)当给定的已知角是钝角或直角时，怎么办?

解：⑴设P、R两点的坐标分别为P(a“-),R(a2,上)则Q(a“—),M(a2,-).

q?%

设直线0M的关系式为y=kx.

,当x=a?时，y=—

4

・・—二k@2，・・k=--.・・y=---x.

axa{a2a1a2

当*=2|时，y=—

a2

••.Q(a”,)在直线OM上.

a2

(2)•.•四边形PQRM是矩形.

/.PC=-PR=CM./.Z2=2Z3.

2

VPC=OP,.*.Z1=Z2,

VZ3=Z4,AZ1=2Z4,

BPZMOB=-ZAOB.

3

(3)当给定的已知角是钝角或直角时，钝角或直角的一半是锐角，该锐角可以用此方

法三等分.

备课资料

参考例题

如图能表示函数y=k(l-x)和y=&(kW0)在同一直角坐标系小的图象大致是()

D

分析：从对函数y=&的讨论入手，若k>0,双曲线分布在一、三象限，因此可考虑

x

A,

C两个答案，这时对于一次函数来说，y的值随x值的增大而减小，且一次函数的图

象与y轴正半轴相交，显然A,C两个答案都不对.

若k<0,双曲线分布在二四象限，因此考虑B,D两个答案，对于一次函数来说,

y的

值随x的增大而增大，且一次函数的图象与y轴的负半轴相交，应选D.

解:选D.

1.3反比例函数的应用

教学目标

1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题

2.渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力

教学重难点

【教学重点】

利用反比例函数的知识分析、解决实际问题。

【教学难点】

分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式。

教学过程

一、情境导入

小明和小华相约早晨一起骑自行车从力镇出发前往相距20km的5镇游玩，在返回时,

小明依旧以原来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回4镇.

假设两人经过的路程一样，而且自行车和公交车是速度保持不变，且自行车速度小于

公交车速度.你能找出两人来回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？

二、合作探究

探究点一：反比例函数与简单的数学问题相结合

例1三角形面积为6,它的底边a与这条边上的高力的函数关系式是.

11919

解析：由三角形面积公式得6=3@力，；"=—,又a>0,故填力=—(a>0).

2aa

方法总结：数学中一些常见问题可以利用反比例函数进行求解，在构建基本的数学模

型时，不要忽略反比例函数的基本性质.

探究点二：反比例函数在实际生活中的应用

例2某村的粮食总产量为a(a为常数)吨，该村的人均粮食产量为丁吨，人口数为x,

则y与x之间的函数关系式的大致图象应为()

解析:由题可知，a=x・y,...尸3(a为常数)是反比例函数.x>0,y>0,

X.

图象位于第一象限，故选C.

方法总结：将生活中的问题转化成为数学问题，利用所学知识构建数学模型.本题考

查的是反比例函数的图象的性质，在解题时要准确理解题意，选择正确的数学模型.

探究点三：反比例函数在物理问题中的应用

例3一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板

面积S(n?)的变化，人和木板对地面的压强0(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地

地面的压力为600N,回答下列问题：

(1)用含S的代数式表示o,。是S的反比例函数吗？为什么？

(2)当木板面积为0.21n2时，压强是多少？

(3)如果要求压强不超过6000Pa,那么木板面积至少要多大？

(4)画出相应的函数图象.

解析：根据两个变量之间的关系确定两个变量之间的函数解析式，首先要判断它属于

哪一类函数，然后根据实际意义解题，并注意自变量的取值范围，进而画出正确的函

数图象.

解：随着木板面积SOH?)变小(或大)，压强p(Pa)将变大(或小).

(1)夕=券，所以p是S的反比例函数，符合反比例函数的定义.

(2)0=黑=3000(Pa),所以当面积为0.am，时，压强是3000Pa.

⑶若压强?=券或6000,解得S20.1,故木板面积至少为0.1mL

(4)函数图象如图所示.

p/Pa

8000

6000

4000

2000

:；s/p?

O0.10.20.30.4

方法总结：反比例函数应用的常用解题思路是：（1）根据题意确定反比例函数解析式;

⑵由反比例解析式及题中条件去解决实际问题.

三、板书设计

’与数学问题相结合

应用类型＜

.学科间的综合（物理公式）

M「审题、准确判断数量关系

反比例函数的应用＜一般

建立反比例函数的模型

解题《

「取根据实际情况确定自变量的取值范围

步骤

”〔实际问题求解

四、教学反思

教学过程中，将实际问题和数学问题相结合，引导学生根据所学自主构建数学模型，

直观地感受数学的魅力所在.在引导学生建立新的数学模型解决实际问题的同时，开

拓思维，培养创新意识，提升学生解题技能.

第2章一元二次方程

2.1一元二次方程

教学目标

【知识与能力】

1、整式方程和一元二次方程的定义；能识别一元二次方程；

2、知道一元二次方程的一般形式aX2+bX+c=0(a70),能熟练的把一元二

次方程整理成一般形式；

3、在分析、揭示实际问题中的数量关系并把实际问题转化为数学模型。

【过程与方法】

从实际问题中抽象出一元二次方程的概念，经历探索、分析的过程，体会一元二次方

程的特征，树立数学建模思想。

【情感态度价值观】

1、体会数学与现实生活的密切联系。

2、学会与他人交流合作，提高数学的学习兴趣。

教学重难点

【教学重点】

实际生活中分式方程应用题数量关系的分析。

【教学难点】

将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示，并进行归纳总结。

教学过程

一、预学：

提出下面问题，由学生设未知数，并列出方程：

(1)一个正方形的面积的2倍等于31,求这个正方形的边长。

(2)一个数比另一个数小右，且两数之积为0,求这个数。

⑶一个数的平方的一二倍与一2的和等于2,求这个数。

2

(4)一个矩形的长比宽多5cm,面积为150cm2,求这个矩形的宽。

设所求的量或数为x,可得如下方程：

(1)2x2=31(2)x(x+73)=0

(3)--x2-2=2(4)x(x+5)=150

2

然后将上述方程改写成：

(1)2x2—31=0(2)x2+73x=0

(3)--x2-4=0(4)x2+5x-150=0

2

什么叫整式方程？怎样的方程叫一元一次方程？试举例说明。

(方程两边都是未知数的整式，叫整式方程；在整式方程中，只含一个未知数，并且

未知数的最高次数是1,这样的方程叫作一元一次方程)

二、探究：

问题1、引导性材料1中，所得出的四个方程有哪些共同点？

(学生分组讨论，然后各组交流)

(1)都是整式方程(2)只含有一个未知数(3)未知数的最高次数是2

从而教师导出一元二次方程的定义，得出一元二次方程的一般形式：

aX+bX+c=0(aWO)

问题2下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方

程？

(1)3x+2=5x-3(2)x2=4

(3)(x—1)(x—2)=x2+8(4)(x+3)(3x—4)=(x+2)'

(上列方程都是整式方程。其(1)、(3)是一元一次方程，(2)、(4)是一元二次方程)

说明：通过一元二次方程与一元一次方程的比较，既加深学生对整式方程的认识，又

可使学生深刻理解一元二次方程的意义。

2

问题3为什么在一元二次方程的一般形式aX+bX+c=0中，二次项系数不为0

呢？

2

说明：方程at+bX+c=0是一元二次方程，必须具备a#0的条件。如果所研究

2

的问题中，明确指出方程aX「+bX+c=0是一元二次方程，则它隐含了条件aWO。

2

若没有特别说明，方程at+bX+c=0既可能是一元二次方程(当a#0时)，也

有可能是一元一次方程(当a=0且bWO时)。

三、精讲

例题解析：

例1把方程(X+3)(3X-4)=(x+2)2化成一般形式，并指出它的二次项系

数、一次项系数及常数项。

解：2x?+x-16=0

二次项系数是2,一次项系数是1,常数项是一16。

2

一元二次方程的一般形式aX+bX+c=0(aWO)具有两个特征：一是方程的右边

为0;二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、

一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的，不同的一元二次方程的差异实质上是

系数的差异，从而能正确的找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

例2当a、b、c满足什么条件时，方程(a-l)x2+bx+c=0是一元二次方程？

这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么？当a、b、c满足什么条件时，方

程(a-l)x2+bx+c=0是一元一次方程？

本题供学有余力的同学讨论。当a=l时是一元二次方程；当a=l,bWO时是一元一

次方程；

四、提升：

1、一元二次方程属于“整式方程”，其次它“只含有一个未知数，并且未知数的最

高次数是2”，

2

2、一元二次方程的一般形式+bX+c=0(aWO),一元二次方程的项及系数都

是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

3、在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程

的必要性和重要性。

五、作业：

课本第5页练习第3题

六、板书设计

一、一元二次方程

二、新课引入

三、新课讲解

四、课堂练习

五、课堂小结

2.2一元二次方程的解法

第1课时

教学目标

【知识与能力】

1、知道根据平方根的定义解形如(x+h)2=m的方程，它的依据是数的开方；

2、会用平方根的定义解形如(x—a)2=b(b20)的方程；

3、在把(x—a)2=b(b20)看成x2=b(b»0)的过程中，引导学生体会“换元”的

数学方法。

【过程与方法】

经历探索形如(x+h)2=m的方程的解法，体会一元二次方程降次的思想和换元的思想。

【情感态度价值观】

让学生通过探索一元二次方程的解法的过程，体验将复杂问题简单化，从而提高学习

数学的学习兴趣。

教学重难点

【教学重点】

根据平方根的定义解形如(x+h)2=m的方程。

【教学难点】

用平方根的定义解形如(x-a)2=b(b»0)的方程。

教学过程

一、预学：

要求学生复述平方根的意义。

(1)文字语言表示：如果一个数的平方的等于a,这个数叫a的平方根。

2

(2)用式子表示：若xNa,则x叫做a的平方根。

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；

零的平方根是零；

负数没有平方根。

2

求适合等于X=4的X的值。

说明：学生不难看出本题的解(x=2或x=—2),教学中要注意引导学生观察这个方程

的特点，探索解这个方程与已学知识(数的开方)的联系。在求出方程X2-4=0的

解以后，引导学生总结：解这样的方程，就是要“求一个数，使它的平方是4”，即

求4的平方根，可用开平方的方法。这个过程体现了数学常用的一种重要的数学思想

方法一一化归。事实上，解决数学问题的过程，就是一系列的转化过程，把未知的转

化为已知的，最终使问题解决。

二、探究：

2

问题1如果一元二次方程：aX-+bX+c=0(aWO)的一次项系数b、常数项

c中至少有一个为0,那么就能得到那些特殊的一元二次方程？

(1)ax2=0(2)ax~+c=0(3)ax~+bx=0

问题2怎样解方程ax?=0?

(可以3/=0为具体例子，学生根据平方根的定义，得到x=0o应指出3六=0有两

个相等的实数根，即X]=0,x2=0；这与一元一次方程3x=0有一个根x=0是有区别

的，进而指出：方程a(=0有两个相等的实数根x】=X2=0)

问题3怎样解方程ax2+c=0(aNO)?

可以⑴x-4=0,(2)2x2—50=0,(3)2r+50=0等方程为例,由学生把它们变

形为六=一£的形式，用平方根的定义来求解。接着指出：这种解一元二次方程的方

a

法叫做直接开平方法，其中适合方程(3)的实数x不存在，所以原方程无实数解。

进而引导学生归纳方程ax?+c=0的解的情况：当a、c异号时，方程ax?+c=0有两

个不相等的实数根；当a、c同号时，方程ax'c=0没有实数根。

说明：以上教学设计让学生经历由简单到复杂的研究过程，对于一元二次方程的解有

全面了解；通过对方程ax2+c=0(aWO)解的情况的讨论，体会分类的思想；最

后设计的几个过程，让学生判断、求解，体现了“换元”的思想方法。

三、精讲

例1课本例2

在讲解例1时注意：

?9

1、对于形如“(X—a)/(b20)”型的方程，教科书给出的例子是解方程(x+3)=2。

2

这时，只要把x+3看作一个整体，就可以转化为x=b(b20)型的方法去解决，这里

渗透了“换元”的方法。

2

2、在对方程(x+3)一=2两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。要向学生

指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。“降次”也是一种数学方法

例2不解方程，说出下列方程根的情况：

22

(1)1—3x2=2x2；(2)-4X+1=0；(3)-0.5x-2=0.

(通过训练，使学生明确一元二次方程的解有三种情况)

例2解下列方程：

(1)(1-x)2=1；(2)(1+X)2-2=0；(3)(2x+l)2+3=0；(4)x2-2x+l=4.

(渗透换元思想训练)

四、课堂练习：

五、课堂小结：

29

1、直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：x-=b(b>0)；(x-a)=b(b20)。

解法的根据是平方根的定义。要特别注意，由于负数没有平方根，所以上述两式中规

定了b》0。当b<0时，方程无解。

2

2、求解形如x=b(b20)的方程，实质上是''求一个数x,使它的平方是b"，所以

用“直接开平方法”；对于形如(X—a)=b(b20)的方程，只要把x+a看作一个整体

2

X,就可转化为X=b(b20)的形式，这就是“换元”的方法

六、作业：

第2课时

教学目标

【知识与能力】

1、理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，

让学生进一步体会化归的思想方法。

2,会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

【过程与方法】

经历探索配方的过程来解一元二次方程的方法，进一步体会化归思想。

【情感态度价值观】

通过配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程，让学生

体会到学习数学的乐趣。

教学重难点

【教学重点】

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

【教学难点】

如何配方。

教学过程

一、预学

1、a2±2ab+b'=?

2、用两种方法解方程（x+3）2-5=0。

如何解方程x2+6x+4=0呢？

二、探究

如何解方程x2+6x+4=0呢？

1、利用“复习引入”中的内容引导学生思考，得知：反过来把方程X2+6X+4=0化成

（X+3）2-5=0的形式，就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。

2、怎样把方程X2+6X+4=0化成（X+3）2-5=0的形式呢？让学生完成课本P.10的

“做一做”并引导学生归纳：当二次项系数为"1"时，只要在二次项和一次项之后

加上一次项系数一半的平方,再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里,

这种做法叫作配方.将方程一边化为0,另一边配方后就可以用因式分解法或直接开

平方法解了，这样解一元二次方程的方法叫作配方法。

三、精讲

例1（课本P.11,例5）

［解］（1）X2+2X-3（观察二次项系数是否为“1”）

=x2+2x+l-l-3（在一次项和二次项之后加上一次项系数一半的平方，

再减去这个数，使它与原式相等）

=（X+1）2-4O（使含未知数的项在一个完全平方式里）

用同样的方法讲解（2）,让学生熟悉上述过程，进一步明确“配方”的意义。

例2引导学生完成P.1rP.12例6的填空。

（五）应用新知

1、课本P.12,练习。

2、学生相互交流解题经验。

（六）课堂小结

1、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方？

2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？

（七）思考与拓展

解方程：（1）xJ~6x+10=0；（2）x'+x+w=0；(3)x2-x-l=0o

说一说一元二次方程解的情况。

［解］(1)将方程的左边配方，得(x-3)2+l=0,移项，得(X-3)2=T,所以原方程无解。

(2)用配方法可解得x】=X2=-等-

(3)用配方法可解得x产学，x2=*

一元二次方程解的情况有三种：无实数解，如方程(1)；有两个相等的实数解，

如方程(2)；有两个不相等的实数解，如方程(3)。

(A)课后作业

课本习题1.2中A组第4题⑴(2)(3)o

第3课时

教学目标

【知识与能力】

1、理解用配方法解一元二次方程的基本步骤。

2、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。

3、进一步体会化归的思想方法。

【过程与方法】

经历将二次项系数不为“1”的一元二次方程化为二次项系数为“1”的一元二次方程

的过程，让学生体会化归思想。

【情感态度价值观】

通过分组讨论与合作交流，让学生体验到学习的乐趣。同时同过对复杂问题的抽象化

归，使问题简单化，培养学生的自信心。

教学重难点

【教学重点】

用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。

【教学难点】

如何配方。

教学过程

一、预学

1、用配方法解方程x'+xTR,学生练习后再完成课本P.13的“做一做”.

2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么？

二、探究

现在我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，而对于二次项系数

不为1的一元二次方程能不能用配方法解？

怎样解这类方程：2X2-4X-6=0

让学生议一议解方程2X2-4X-6=0的方法，然后总结得出：对于二次项系数不为1

的一元二次方程，可将方程两边同除以二次项的系数，把二次项系数化为1,然后按

上一节课所学的方法来解。让学生进一步体会化归的思想。

三、精讲

1、展示课本P.14例8,按课本方式讲解。

2、引导学生完成课本P.14例9的填空。

3、归纳用配方法解一元二次方程的基本步骤：首先将方程化为二次项系数是1

的一般形式；其次加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项

在一个完全平方式里；最后将配方后的一元二次方程用因式分解法或直接开平方法来

解。

四、课堂小结

1、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？

2、配方法是一种重要的数学方法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解

法中，在今后学习二次函数，高中学习二次曲线时都要经常用到。

3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的过程要进行较繁琐的运算,

在解一元二次方程时，实际运用较少。

4、按图的框图小结前面所学解

一元二次方程的算法。

五、巩固与提升

不解方程，只通过配方判定下列方程解的情况。

(1)4X2+4X+1=0；(2)x-2x-5=0；(3)-x2+2x-5=0；

［解］把各方程分别配方得

(1)(x+4)2=0；(2)(X-1)2=6；(3)(X-1)2=-4

由此可得方程⑴有两个相等的实数根，方程⑵有两个不相等的实数根，方程⑶

没有实数根。

六、布置作业

课本习题1.2中A组第3题的(4),选做B组第2,3题。

第4课时

教学目标

【知识与能力】

1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0,另一边可分解成两个一次因式乘积的

一元二次方程。

2、会用因式分解法解某些一元二次方程。

3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。

【过程与方法】

经历探索因式分解法解一元二次方程的方法，体会解一元二次方程的基本思想是“降

次”。

【情感态度价值观】

通过用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程的理解，让学生体会到数学的

学习循序渐进的，从而培养学生脚踏实地的精神。

教学重难点

【教学重点】

体会因式分解法适用于解一边为0,另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方

程。

【教学难点】

用因式分解法解某些一元二次方程。

教学过程

一、预学

1、提问：

(1)解一元二次方程的基本思路是什么？

(2)现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法？

2、用两种方法解方程：9(1-3X)2=25

二、探究

说明：可用因式分解法或直接开平方法解此方程。解得x尸之，x2=-^。

1、说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。

归纳结论：因式分解法适用于解一边为0