数学教案：空间中的垂直关系平面与平面垂直

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o(\s\up7（),\s\do5（整体设计）)教学分析教材通过实例操作，归纳出了两个平面互相垂直的定义，进一步归纳出了平面与平面垂直的判定定理和性质定理．值得注意的是在教学中要留给学生适当的思考时间,避免出现直接给出定义和定理,那样做会不符合新课标的精神的．三维目标1．掌握两个平面互相垂直的定义,提高学生的归纳能力．2．掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理,以及应用定理解决有关问题，提高学生抽象思维能力，培养空间想象能力．重点难点教学重点：两个平面垂直的判定和性质．教学难点：归纳判定定理和性质定理．课时安排1课时eq\o（\s\up7(）,\s\do5（教学过程）)导入新课设计1。回顾直线与平面垂直的定义,是用线线垂直来定义的,那么如何定义平面与平面垂直呢？用什么来定义?教师点出课题．设计2。如下图所示，在长方体AC′中，棱AA′垂直平面AC，那么过AA′的平面AB′和平面AD′垂直于平面AC吗？教师点出课题．推进新课eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出问题))（1)如右下图，两个平面α，β相交，交线为CD，在CD上任取一点B，过点B分别在α，β内作直线BA和BE，使BA⊥CD,BE⊥CD。于是，直线CD⊥平面ABE。容易看到，当∠ABE为直角时,给我们两平面互相垂直的印象．由此归纳出两平面垂直的一个定义？(2)在下图中,由于∠ABE为直角，可知BA⊥BE.又BA⊥CD，所以BA⊥β.这就是说平面α过平面β的垂线BA。现在要问，如果平面α过平面β的垂线BA,那么这两个平面是否相互垂直呢？归纳平面与平面垂直的判定定理．(3）下面我们再来研究两平面垂直的性质．再观察右上图，设平面α与平面β垂直,α∩β＝CD，如果平面α内的直线BA⊥CD，这时，BA是否垂直平面β?归纳平面与平面垂直的性质定理，并加以证明．讨论结果：（1)如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直．平面α，β互相垂直，记作α⊥β。(2)答案是肯定的．事实上，只要在平面β内作BE⊥CD,由于BA⊥β，所以BA⊥BE，因此∠ABE为直角依两个平面垂直的定义，就可以推出α⊥β.由以上观察和分析,我们可以得到平面与平面垂直的判定定理:定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直(如下图)，实际上就是依据这个定理．(3)定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．已知：(如下图）平面α⊥平面β，α∩β＝CD,BAα，BA⊥CD，B为垂足．求证：BA⊥β。证明：在平面β内过点B作BE⊥CD。因为α⊥β，所以BA⊥BE.又因为BA⊥CD，CD∩BE＝B，所以BA⊥β.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(应用示例)）思路1例1已知:如下图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD的长．解：连结BC。因为BD⊥AB,直线AB是两个互相垂直的平面α和β的交线，所以BD⊥α，BD⊥BC.所以△CBD是直角三角形．在直角△BAC中，BC＝eq\r(32＋42)＝5.在直角△CBD中，CD＝eq\r(52＋122）＝13。所以CD长为13cm.变式训练如下图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，MN在平面BCC′B′内，MN⊥BC于M.判断MN与AB是否垂直?并说明理由．解：显然，平面BCC′B′⊥平面ABCD，交线为BC。因为MN在平面BCC′B′内，且MN⊥BC,所以MN⊥平面ABCD。从而MN⊥AB。例2已知Rt△ABC中,AB＝AC＝a,AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角(如下图)．(1）(2）求证:(1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；(2）∠BAC＝60°。证明：（1)如上图(2），因为AD⊥BD,AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC。因为平面ABD和平面ACD都过AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.（2）如上图(1)，在直角三角形BAC中，因为AB＝AC＝a，所以BC＝eq\r(2）a，BD＝DC＝eq\f(\r（2）,2)a。如上图(2）,△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝eq\r（2)BD＝eq\r（2)×eq\f（\r（2),2)a＝a。所以AB＝AC＝BC。因此∠BAC＝60°。点评：证明面面垂直转化为证明线面垂直．变式训练如下图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2,∠BAD＝60°.求证：平面PBD⊥平面PAC.证明:设AC与BD交于点O，连结PO,∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，∴PA⊥BD。又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又∵BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC。思路2例3如下图，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形,且∠DAB＝60°,AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．求证：（1)直线MF∥平面ABCD；（2）平面AFC1⊥平面ACC1A1.证明：如下图，（1）延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.∵F是BB1的中点,∴F为C1N的中点,B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN.又∵MF平面ABCD，AN平面ABCD,∴MF∥平面ABCD.（2）连结BD,由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，可知AA1⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，∴A1A⊥BD。∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN,∴四边形DANB为平行四边形．故NA∥BD。∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA平面AFC1,∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.变式训练如左下图,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ.求证：a⊥γ。证明：如右上图,设α∩γ＝AB，β∩γ＝AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB,PN⊥AC.∵γ⊥α，∴PM⊥α.而aα,∴PM⊥a。同理,PN⊥a.又PMγ,PNγ,且PN∩PM＝P，∴a⊥γ.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练）)如下图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB＝2，SC＝SD＝eq\r（2).求证：平面SAD⊥平面SBC.证明:在△SDC中，∵SC＝SD＝eq\r（2），CD＝AB＝2，∴∠DSC＝90°，即DS⊥SC。∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD，∴BC⊥面SDC。∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC。∵DS平面SAD，∴平面SAD⊥平面SBC.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（拓展提升））如下图，在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD＝60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．(1）求证：EN∥平面PCD；（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN。（1）证明：∵AD∥BC,BC面PBC，AD面PBC,∴AD∥面PBC。又面ADN∩面PBC＝MN，∴AD∥MN。∴MN∥BC。∴点M为PC的中点．∴MNeq\f（1，2)BC。又E为AD的中点，∴四边形DENM为平行四边形．∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.（2）证明:连结PE、BE,∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD，∴AD⊥面PBE。∴AD⊥PB。又∵PA＝AB且N为PB的中点，∴AN⊥PB.而AN∩AD＝A，∴PB⊥面ADMN。∴平面PBC⊥平面ADMN.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(课堂小结）)知识总结:利用垂直的判定定理找出平面的垂线,然后解决证明垂直问题、平行问题等．思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作业)）本节练习A4题；练习B3题．eq\o（\s\up7(),\s\do5（设计感想）)本节教学设计体现了学生的主体地位，充分调动了学生的积极性．在实际应用时,尽量借助于信息技术．eq\o(\s\up7(),\s\do5（备课资料））备选习题1。如下图,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点．求证：AB1⊥平面A1BD；证明：如下图，取BC中点O，连结AO。∵△ABC为正三角形,∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.∴AO⊥BD。连结B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD.又AO∩B1O＝O，∴BD⊥面AOB1。AB1面AOB1，∴AB1⊥BD。在正方形ABB1A1中,AB1⊥A1B,∴AB1⊥平面A1BD.2。如下图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点．（1)求证：B1C∥平面A1BD；(2）求证：B1C1⊥平面ABB1A1;（3)设E是CC1上一点,试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由．分析:(1)转化为证明B1C∥MD;(2)转化为证明A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1；(3）可猜测点E为C1C的中点．证明：(1）如下图，连结AB1与A1B相交于M.则M为A1B的中点,连结MD，又D为AC的中点，∴B1C∥MD，又B1C平面A1BD，MD平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.（2)∵A