数学教案：平面直角坐标系中的基本公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o(\s\up7(），\s\do5（整体设计))教学分析教材首先把数轴上的基本公式、距离公式和中点公式，推广到平面直角坐标系，再把二维的问题转化为一维问题来处理．等学完平面向量后，可作为练习，让学生用向量方法重新证明这些基本公式和几何问题．应向学生指出,中点公式是中心对称的坐标表示,应多做练习，让学生掌握中点公式的应用．这一节的习题后用探索与研究的方式安排了一个系列习题．通过直线上的距离公式,求解含绝对值符号的方程．新课标只要求学生理解了距离公式的几何意义，学生应能解出即可，而且,这能进一步帮助学生更好地理解距离公式的意义．不妨在学习椭圆方程和双曲线方程时重温此题．如果点在坐标平面上，让学生写出点的轨迹方程．值得注意的是对于平面内两点间距离公式的教学,第一，应向学生指出,距离公式是勾股定理的坐标形式，通过两点的坐标分量来计算两点间的距离；第二，贯彻算法思想(机械化计算）．这是按步骤计算(一点都马虎不得）,是学好数学的基本功.三维目标1．掌握平面内两点间距离公式和中点公式，提高学生推理和类比能力．2．能够利用平面内两点间距离公式和中点公式解决有关问题；掌握坐标法解决几何问题，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点:平面内两点间距离公式和中点公式及其应用．教学难点:平面内两点间距离公式的推导．课时安排1课时eq\o(\s\up7(）,\s\do5(教学过程))导入新课设计1.上一节我们学习了直线坐标系中的两点间距离公式，本节我们把这个公式推广到平面直角坐标系中,教师点出课题．设计2.已知平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2），如何求A(x1，y1),B（x2，y2)的距离|AB｜呢？教师点出课题．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出问题）)（1）回顾平面直角坐标系中点的坐标的意义．（2)已知点A(x,y），试求d(O，A）．(3)如何求任意两点A（x1，y1)、B(x2，y2）的距离呢？(4）已知两点的坐标,用两点距离公式计算两点之间的距离,写出步骤．(5）已知A(x1，y1）、B(x2,y2），设点M（x，y)是线段AB的中点，试推导中点公式．讨论结果：(1)在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内的点的集合具有一一对应关系．如下图所示，有序数对(x，y)与点P对应,这时(x，y）称作点P的坐标，并记为P（x，y），x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标．（2）如下图所示．从点A(x，y）作x轴的垂线段AA1，垂足为A1，这时，同学们只要想到勾股定理，会马上写出计算d(O,A）的公式：d（O,A）＝eq\r（x2＋y2）。（3)如下图所示，从点A和点B分别向x轴、y轴作垂线AA1、AA2和BB1、BB2,垂足分别为A1(x1，0)、A2（0，y1）、B1（x2,0）、B2(0,y2）．其中直线BB1和AA2相交于点C.在直角△ACB中，｜AC|＝｜A1B1｜＝｜x2－x1|，｜BC｜＝|A2B2|＝｜y2－y1|。由勾股定理，得｜AB｜2＝｜AC|2＋|BC|2＝|x2－x1｜2＋｜y2－y1|2。由此得到计算A（x1，y1)、B（x2,y2)两点的距离公式:d（A，B)＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).（4）步骤是：①给两点的坐标赋值:x1＝?，y1＝？,x2＝？,y2＝？；②计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1；③计算d＝eq\r(Δx2＋Δy2)；④给出两点的距离d。通过以上步骤，对任意两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值,最后算出两点的距离．（5）如下图所示：过点A、B、M分别向x轴、y轴作垂线AA1、AA2、BB1、BB2、MM1、MM2，垂足分别为A1（x1，0）、A2(0，y1），B1(x2，0）、B2（0，y2），M1（x，0)、M2(0，y)．因为M是线段AB的中点,所以点M1和点M2分别是A1B1和A2B2的中点，则A1M1＝M1B1，A2M2＝M2B2。所以x－x1＝x2－x,y－y1＝y2－y,即x＝eq\f(x1＋x2，2)，y＝eq\f(y1＋y2,2)，这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例）)思路1例1已知A（2，－4)，B（－2，3），求d(A，B)．解：x1＝2，x2＝－2，y1＝－4，y2＝3,Δx＝x2－x1＝－2－2＝－4，Δy＝y2－y1＝3－(－4)＝7,d（A，B）＝eq\r（Δx2＋Δy2)＝eq\r(－42＋72）＝eq\r（65）.变式训练1．已知A(2,1）,B(－1，b)，｜AB｜＝5，则b等于（)A．－3B．5C．－3或5D．－1或－3解析：由题意，得eq\r(2＋12＋1－b2)＝5，解得b＝－3或5。答案：C2．已知点A(1，2），B（3,4),C（5,0)，求证△ABC是等腰三角形．证明：因为d(A，B)＝eq\r（3－12＋4－22）＝eq\r(8），d（A,C)＝eq\r（5－12＋0－22)＝eq\r（42＋－22)＝eq\r(20）,d(B，C）＝eq\r（5－32＋0－42)＝eq\r（22＋－42）＝eq\r(20),所以｜AC|＝｜BC｜.又A、B、C不共线，所以△ABC是等腰三角形．例2已知ABCD，求证：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2）．分析:如果在ABCD所在的平面上建立直角坐标系,写出点A、B、C、D的坐标，则由距离公式就能证明题中结论是否成立，由于点的坐标与坐标系有关，所以我们建立的坐标系，要尽量使点的坐标容易表示出来．证明：取A为坐标原点、AB所在直线为x轴，建立直角坐标系xOy。如下图依据平行四边形的性质可设点A、B、C、D的坐标为A（0，0)，B(a，0)，C（b，c),D(b－a，c）．所以AB2＝a2,AD2＝(b－a）2＋c2，AC2＝b2＋c2，BD2＝(b－2a）2＋c2.得AC2＋BD2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab），AB2＋AD2＝2a2＋b2＋c2－2ab，所以AC2＋BD2＝2（AB2＋AD2)．点评：本例证明了一个重要的定理:平行四边形两条对角线的平方和等于它的四边的平方和．从中我们看到，几何问题可以转化为代数问题，通过一步步地计算来解决．这种解决问题的方法叫做坐标法，同学们在整章的学习中，都将体会到坐标法在研究几何问题中的作用和威力．变式训练已知：△ABC中，D是BC边上任意一点(与B，C不重合），且｜AB｜2＝｜AD|2＋｜BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形．证明：作AO⊥BC，垂足为O.以BC所在直线为x轴,以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系，如下图．设A（0，a)，B(b，0),C（c,0），D(d，0)．因为|AB|2＝｜AD｜2＋|BD｜·|DC|,所以，由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋（d－b)（c－d）,即－（d－b)（b＋d）＝(d－b)(c－d），又d－b≠0，故－b－d＝c－d,即－b＝c.所以|AB|＝|AC｜，所以，△ABC为等腰三角形．思路2例3已知ABCD的三个顶点A（－3,0），B(2，－2),C（5,2)，求顶点D的坐标（如下图)．解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同,设点D的坐标为(x,y)，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（x＋2,2）＝\f(－3＋5，2)＝1，，\f（y－2，2)＝\f（0＋2,2)＝1。）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝0，，y＝4）)所以点D的坐标为（0,4）．变式训练1．已知平行四边形ABCD的三个顶点是A(3，－2），B（5,2)，C(－1,4）,求它的第四个顶点D的坐标．分析：由于平行四边形是中心对称图形,利用中点坐标公式即可求得D点的坐标．解:∵对角线AC,BD互相平分，∴AC,BD的中点重合．设第四个顶点为D1（x1,y1），由中点公式有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（x1＋5,2）＝\f（3－1，2)，,\f(y1＋2,2）＝\f(4－2,2）.）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－3，,y1＝0。）)即点D的坐标为（－3,0)．2．点P(x，y）满足:eq\r（x－12＋y－22)＋eq\r(x－32＋y－42)＝eq\r(3－12＋4－22),那么点P的轨迹形状为______．解析:设A(1，2)，B(3,4）,则有｜PA｜＋｜PB|＝｜AB|，所以点P的轨迹是线段AB,故填线段．答案：线段3．点A（a，b）关于点M（m,n）的对称点的坐标是______．解析：设点A(a，b）关于点M（m，n）的对称点为A′(x，y），则x＋a＝2m，y＋b＝2n,整理,得x＝2m－a，y＝2n－b.答案:(2m－a，2n－b)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练)）1．以A(5,5），B(1，4)，C（4,1)为顶点的三角形是(）A．直角三角形B．等腰三角形C．正三角形D．等腰直角三角形答案:B2．已知点A(－1,3），B（2,4），点P在x轴上，且|PA|＝｜PB|，则点P的坐标是______．解析：设P(x,0)，则eq\r（x＋12＋9)＝eq\r(x－22＋16），解得x＝eq\f(5，3）。答案:eq\f(5,3)3．若A（a,b),B(b,a)，则|AB｜＝______。答案：eq\r(2)｜a－b｜4．判断A(－1，－1)，B(0，1)，C（1，3)三点是否共线,并说明理由．解：｜AB｜＝eq\r(－1－02＋－1－12）＝eq\r（5）；|BC|＝eq\r（1－02＋3－12）＝eq\r（5）；|AC｜＝eq\r（－1－12＋－1－32)＝2eq\r(5)；则|AC|＝｜AB|＋|BC｜，所以三点共线．5．已知点P（x，y），求：①关于y轴的对称点；②关于x轴的对称点；③关于原点的对称点；④关于直线y＝x的对称点;⑤关于直线y＝－x的对称点．答案：①(－x，y）②（x，－y)③(－x,－y)④(y,x)⑤（－y，－x）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（拓展提升）)已知点A（2，5)，B(4,－7)，(1)求|PA｜＋|PB｜的最小值；(2）求｜｜QA｜－|QB||的最大值．分析：借助于三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,分别利用对称确定取最小值时点P和Q的位置．解：(1)如下图，点A关于y轴的对称点是A′(－2，5),则|PA｜＋｜PB|＝｜PA′|＋｜PB|，由三角形的知识得|PA′|＋｜PB|≥｜A′B|，又｜A′B|＝eq\r(－2－42＋5＋72)＝6eq\r（5），即|PA｜＋｜PB｜的最小值是6eq\r（5)。(2）如下图,点A关于x轴的对称点是A″(2,－5），则｜｜QA｜－｜QB||＝｜|QA″|－|QB|｜，由三角形的知识得｜｜QA″｜－｜QB|｜≤|A″B|,又｜A″B｜＝eq\r（2－42＋－5＋72)＝2eq\r（2)，所以｜|QA｜－|QB｜｜的最大值为2eq\r（2）。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结）)本节课学习了：平面直角坐标系中的两点间距离公式和中点公式、坐标法及其应用．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业))本节练习B1,2,3题。eq\o(\s\up7()，\s\do5（设计感想)）通过本节课的教学,教师应引导学生学会思考、类比、证明，这样更有利于学生掌握知识，更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构,让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习．eq\o（\s\up7(），\s\do5(备课资料))备选习题1．证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．分析:首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译"成几何关系．这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤．证明:建立直角坐标系,如下图,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系，有A(0,0）设D（a，0)，D（b,c），则由平行四边形的性质的点C的坐标为(a＋b，c)，因为｜AB｜2＝a2，｜CD|2＝a2，｜AD|2＝b2＋c2＝｜BC|2，|AC｜2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝（b－a)2＋c2，所以,|AB|2＋｜CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2（a2＋b2＋c2)，｜AC｜2＋｜BD|2＝2（a2＋b2＋c2）．所以|AB｜2＋|CD｜2＋｜AD｜2＋|BC|2＝｜AC|2＋｜BD|2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．△ABC中，AD是BC边上的中线,求证：｜AB｜2＋|AC｜2＝2(｜A