数学教案：互斥事件第二课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第2课时导入新课设计思路一：（情境导入)某公司在一次庆祝活动中，为了活跃现场气氛,在活动现场举行了一次抽奖活动。在一个箱子里装有900张奖券，奖券的号码是从100到999的三位自然数，从中抽取一张。若中奖的号码是有且仅有两个数字相同的奖券.试问该活动的中奖率是多少？设计思路二：(问题导入）在一只口袋中装有4个红球，2个白球，现从口袋中任取4个球.记事件A：至少取到2个红球；事件B：至少取到2个白球；事件C：没有取到红球:事件D：没有取到白球；事件E：至多取到2个白球。请指出以上事件中的必然事件、不可能事件和随机事件，并找出哪两个事件为互斥事件或对立事件.推进新课新知探究对于导入思路一：该抽奖活动的中奖奖券可以分为以下三种情形：（1）有两个非零数字构成的三位数，共有×2×3=216个；（2）一个零与另一个出现两次的非零数字组成的三位数，共有9×2=18个；（3）含有两个零及一个非零数字组成的三位数，共有9个.以上三种情形的每一种情形作为一个事件，则这三个事件是互斥事件，所以，抽奖活动的中奖率为P==0.27。这就是我们用上节课学习的互斥事件的概率的求法来解答的，下面，一起来回顾上节课所学的内容.上节课主要学习了以下内容:1.互斥事件的概念在一次试验中,不可能同时发生的两个事件称为互斥事件。如果事件A1,A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，我们就说事件A1，A2，…，An彼此互斥.2。互斥事件有一个发生的记法如果事件A、B是互斥事件，当事件A、B有一个发生，就记为A+B.若事件A1，A2,…，An是彼此互斥事件，我们就记为A1+A2+…+An。3.互斥事件的概率的加法公式如果事件A，B是互斥事件，那么事件A+B发生的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A+B）=P（A）+P(B），这个公式可以推广到n个彼此互斥事件,即P（A1+A2+…+An)=P(A1)+P（A2)+…+P（An)。4.对立事件的概念如果两个互斥事件必定有一个发生，则称这两个事件为对立事件.事件A的对立事件记为.5.对立事件之间的概率关系由于对立事件A与必有一个发生，所以A+是必然事件，因而有P（A）+P（)=P(A+）=1，所以有P（A）=1－P(）.6。互斥事件与对立事件互斥事件不一定是对立事件，因为互斥事件可以有多于两个的事件，而对立事件只是两个互斥事件并且是其中必有一个发生。对于导入思路二：根据必然事件、不可能事件、随机事件以及互斥事件、对立事件的概念来判断。在一定条件下事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象。在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生,事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.对于在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件;在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件.必然事件与不可能事件反映的都是在一定条件下的确定性现象,而随机事件反映的是随机现象.事件A与B不可能同时发生。这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；一般地,如果事件A1,A2,…，An中的任何两个都是互斥的，那么就说A1，A2，…，An彼此互斥.根据上述概念，从4个红球,两个白球中任取4个球,红球必定至少2个，白球至多2个，所以，事件A、事件E为必然事件,事件B、事件D为随机事件，事件C为不可能事件；事件A与事件C为互斥事件也是对立事件,事件B与事件C为互斥事件但不是对立事件,事件B与事件D为互斥事件但不是对立事件，事件C与事件D为互斥事件但不是对立事件，事件C与事件E为互斥事件也是对立事件。其中的互斥事件与对立事件是上节课所学的内容，在上节课除学习了以上内容之外,还学习了互斥事件以及对立事件的概率的计算.如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生（即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和。即P（A＋B)＝P（A）＋P（B）.一般地，如果事件A1,A2,…，An彼此互斥,那么事件A1＋A2＋…＋An发生（即A1，A2，…，An中有一个发生)的概率,等于这个事件分别发生的概率的和,即P（A1＋A2＋…＋An)＝P（A1)＋P(A2）＋…＋P（An）。如果两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的，它们有区别又有联系。在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生;而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生.所以，两个事件互斥,它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.由于对立事件A与必定有一个发生,因此A+是必然事件，所以P(A)+P（)=P(A+)=1，由此，可以有如下的重要公式P（）=1－P(A）。应用示例例1下列命题中，真命题的个数是（）①将一枚硬币抛两次,设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A＋B为必然事件A.1B。2C.3 D.4分析:根据互斥事件的概念即不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件;以及对立事件的概念即如果两个互斥事件必有一个发生,则称这两个事件为对立事件。解：由互斥事件和对立事件的概念可知，①事件A与事件B不可能同时发生,因此,事件A与事件B是互斥事件,但由于事件A与事件B不满足必定有一个发生的条件，所以事件A与事件B不是对立事件，因而是假命题；②由于对立事件的前提是两个事件是互斥事件，因此,两个事件是对立事件必定是互斥事件，所以，是真命题;③互斥事件要成为对立事件必须还要满足两个事件中必有一个发生，所以,互斥事件不一定是对立事件，所以是假命题；④两个事件是对立事件则这两个事件中必有一个发生，因此，“若事件A与B为对立事件,则事件A＋B为必然事件”是真命题.综上所述，本题应该选择B.点评：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不能同时发生之外，还要求满足这两个事件必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件.此外，还需注意对关键词语“至多”“至少”等的深入理解.例2把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌"是（）A。对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上均不对分析：根据互斥事件与对立事件的概念及其相互关系来判断。解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌"是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生,所以应选C.点评：本题易错选A，本题错误的原因在于把“互斥”与“对立"混同,二者的联系与区别主要体现在：①两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立;②互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；③两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。例3用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为2的样本.试问：(1)总体中的某一个个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多少?(2）个体a在第一次未被抽到,而第二次被抽到的概率是多少？(3)在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是多少?分析：首先判断所求事件之间的关系，是否为互斥事件，如果是,则运用互斥事件概率的求解方法来解.解：（1)总体中的某一个个体a在第一次抽取时被抽到的概率是P=；（2)个体a在第一次未被抽到,而第二次被抽到的概率是P=；（3)由于个体a在第一次被抽到与第二次被抽到是互斥事件,所以，在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是P=.点评：当直接求某一个事件的概率较为繁杂时，可以考虑所求的事件是否可以看作几个互斥事件有一个发生的问题，如果可以，则可以运用公式P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P(An）来求解.例4某射手射击一次，(1）若事件A“射手射击一次,中靶”的概率为0.95,则事件的概率是多少?(2)若事件B“射手射击一次，中靶环数大于5”的概率为0。7,那么事件C“射手射击一次，中靶环数小于6”的概率是多少？事件D“射手射击一次,中靶环数大于0而小于6”的概率是多少？分析：根据题意可以运用对立事件的概率之和等于1的关系来求解.解：(1)因为P(A)=0.95,所以P(）=1－P(A)=1－0.95=0.05；(2）事件B与事件C是对立事件，又因为P(B)=0.7，所以P（C）=P(B）=1－0。7=0.3；P(D)=P(C）－P(）=0.3－0.05=0。25。点评：如果某事件A发生包含的情况比较多，而它的对立事件即事件A不发生所包含的情形较少,这时可以利用公式P（A)=1－P(）来计算事件A的概率比较简便。对于（2)中,事件C的发生可以看作事件D和事件A有一个发生的情形，而事件D和事件是互斥事件，所以P(C）=P(D）+P（），即P（D）=P(C）－P()，从这里可以看出，不仅要会直接运用公式，也要会运用公式的变形形式.知能训练1。从存放号码分别为1，2，3…10的卡片的盒子中,有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下：卡片号码12345678910取到的次数138576131810119则取到号码为奇数的概率是（）A.0.53B.0。5C。0.47D.0。372.如果事件A、B互斥,那么(）A.A+是必然事件B。+是必然事件C。与一定互斥D.与一定不互斥3.1人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(）A.至多有一次中靶B。2次都中靶C。2次都不中靶D。只有一次中靶4。战士小王在一次射击中命中9环的概率是0。27，命中8环的概率是0。21，命中7环的概率是0。24，不够7环的概率是0。19，试求:（1）该战士在一次射击中命中7环或8环的概率；（2)该战士在一次射击中命中10环的概率；（3)该战士在一次射击中命中8环或8环以上的概率。5。袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也为，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？6。甲、乙两个人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：（1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率.解答:1。A2.B3.C4.（1)射中7环或8环的概率为0.21+0.24=0。45;（2）射中10环的概率为1—0.27-0。21—0.24—0.19=0。09；(3）8环或8环以上的概率为0。21+0.27+0。09=0.57。5.设“取红球”为事件A，“取黑球”为事件B，“取黄球”为事件C，“取绿球"为事件D，则由题意知：6。(1)甲获胜的概率为1－－=；(2）甲不输的概率为1－=。课堂小结这节课我们继续学习了互斥事件以及对立事件的概念及概率的计算。在运用公式时,我们一定要先判断是否符合互斥事件以及对立事件的概念，然后再根据判断的结果进行解答。特别是互斥事件有一个发生的概率公式,对立事件的概率的和为1，这些公式的运用必须先要考查是否具备各事件彼此互斥和两个事件是对立事件的前提条件.在求较为复杂的事件的概率时，通常有以下两种方法：第一种方法是直接求解法，可以将所求事件的概率分解成一些彼此互斥事件的概率的和,分解后的每一个事件的概率的计算可以通过等可能事件的概率来解，其关键是确定事件是否互斥。第二种方法是间接求解法,先求出所求事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1－P()来计算，也就是运用逆向思维的思想方法.另外注意文字叙述的含义,例如“至少有一个发生"“至多有一个发生"等类型的概率时都采用间接求解的方法.作业课本习题3。47、8。设计感想在求解随机事件的概率时，可以根据题目的条件，先判断所求事件的概率类型,然后根据相应的概率类型，采用相应的概率计算公式来求解.在运用概率公式求解互斥事件有一个发生的概率以及对立事件的概率时，首先要考查是否具备各事件彼此互斥和两事件对立的前提条件，因此,要搞清楚互斥事件和对立事件的区别和联系，互斥事件是指两事件不能同时发生，对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生.在求较为复杂的事件的概率时，通常采取两种方法：一是将所求的事件看成是一些彼此互斥事件有一个发生的问题,二是先求所求事件的对立事件的概率.习题详解习题3.41.(1)记A=｛摸出红球｝,B={摸出黄球}，C={摸出蓝球}，D={摸出红球或黄球｝，因为事件A与B互斥,运用互斥事件概率加法公式得P(D）=P（A)+P（B)=0.45+0。33=0.78.（2）因为事件C与D对立，运用对立事件概率公式得P（C）=1—P（D)=1—0。78=0。22。答：（1)摸出红球或黄球的概率为0。78；（2）摸出蓝球的概率为0.22。2。运用互斥事件及对立事件概率公式得所求事件的概率为1-0。4-0。2=0。4.3。运用互斥事件及对立事件概率公式得P（至多2人排队等候)=0。1+0.16+0.3=0.56，P（至少3人排队等候）=1-0.56=0。44.4。分别记“这台彩电是一等品"“这台彩电是二等品”“这台彩电是次品"为事件A、B、C，则事件A、B、C两两互斥.(1)记D={这台彩电是正品｝，运用互斥事件概率加法公式得P(D）=P(A）+P（B)=0。9+0.08=