2024版.新高考版 数学　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示

高考

数学专题六平面向量6.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇考点一平面向量的概念及线性运算1.向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法

(1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法数乘(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb2.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使b=λa.考点二平面向量基本定理及坐标运算1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向

量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我们把{e1、e2}叫做表示这个平

面内所有向量的一个基底.零向量和共线向量不能作基底.2.平面向量的坐标运算已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),a∥b⇔x1y2-x2y1=0.3.向量的坐标表示若A(x1,y1),B(x2,y2),则

=(x2-x1,y2-y1).综合篇考法一平面向量线性运算的解题策略1.尽可能转化到三角形或平行四边形中,灵活运用三角形法则、平行四

边形法则,结合图形的几何性质进行运算.2.复杂的向量问题可建立坐标系,借助向量的坐标运算,也可灵活地选取

基底,利用平面向量基本定理及相关的向量知识进行求解.例1

(多选)(2022济南开学检测,5)等边三角形ABC中,

=

,

=2

,AD与BE交于F,则下列结论正确的是

(

)A.

=

(

+

)

B.

=

+

C.

=

D.

=

+

解析如图,∵

=

,∴D为BC的中点,∴

=

(

+

),∴A正确;∵

=2

,∴

=

=

(

-

),∴

=

+

=

+

(

-

)=

+

,∴B错误;设

=λ

,λ∈R,则

=

+

=

+

,∵B,F,E三点共线,∴

+

=1,解得λ=

,∴

=

,∴C正确;

=

+

=

+

=

+

(

-

)=

+

-

=

+

,∴D错误.故选AC.答案

AC考法二向量共线问题的求解方法1.两非零向量共线是指存在实数λ,使两向量可以相互表示,在应用时注意

待定系数法和方程思想的应用.2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线和三点共

线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.3.对于平面上的任一点O,

,

不共线,

=λ

+μ

,则A,B,C共线⇔λ+μ=1,特别地,当λ=μ=

时,C为线段AB的中点.4.若两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.5.若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.例2

(2022广东肇庆统一检测,6)如图,在平行四边形ABCD中,AE=

AD,BF=

BC,CE与DF交于点O.设

=a,

=b,若

=λa+μb,λ,μ∈R,则μ-λ=

(

)

A.

B.

C.

D.

解析连接AF,AC,∵D,O,F三点共线,∴可设

=x

+y

,则x+y=1,∴

=x

+y(

+

)=x

+y

=

b+ya.∵E,O,C三点共线,∴可设

=m

+n

,则m+n=1,∴

=

+n(

+

)=

b+na,∴

解得

∴

=

a+

b,∴λ=

,μ=

,μ-λ=

-

=

,故选C.答案

C例3

(2022山东质检,14)已知向量a=(

,1),b=(0,1),d=(k,

),若2a-b与d平行,则实数k=

.解析因为a