2.1 有理数与数轴-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读题型专练》（北师大版2024新教材）

第第页2.1有理数与数轴

【考点1正数与负数】【考点2相反意义的量表示】【考点3相反意义的应用】【考点4有理数的概念辨析】【考点5有理数的分类】

【考点6数轴的画法及应用】【考点7用数轴上的点表示有理数】【考点8利用数轴比较有理数的大小】【考点9数轴上两点之间的距离】【考点10数轴上的动点问题】

知识点1：正数和负数（1）概念正数：大于0的数叫做正数。负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。【考点1正数与负数】【典例1】下列各数中：5，−5A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．【详解】解：5>0，是正数；−5−3<0，是负数；0既不是正数，也不是负数；−25.8<0，是负数；+2>0，是正数；∴负数有−57，−3，−25.8，共故选：C．【变式1-1】已知实数a，则下列各式中一定大于0的是（

）A．a+3 B．10a C．−a D．a【答案】D【分析】本题主要考查数的大小，对于选项A，B，C可以举反倒，由于a2≥0可得【详解】解：A．∵当a=−3时，a+3=0，∴不正确；B．∵当a=0时，10a=0，∴不正确；C．∵当a≥0时，−a≤0，∴不正确；D．∵a2≥0，∴故选：D．【变式1-2】在−3.5，+9，0，−34，526A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了正负数的概念，正确熟练掌握基本知识是解决本题的关键．根据正负数的定义即可对本题作出判断．【详解】解：在“−3.5，+9，0，−34，526”中，正数有+9∴有2个，故选：B．【变式1-3】下列各数是正数的是（

）A．17 B．0 C．−1 D．【答案】A【分析】本题考查正数和负数的定义．解题的关键是掌握：正数就是大于0的数，正数前面可以加上“+”来表示，也可以省略“+”；负数就是小于0的数，任何正数前面加上“−”是负数；0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界点．据此解答即可．【详解】解：A．17B．0既不是正数，也不是负数，故此选项不符合题意；C．−1是负数，故此选项不符合题意；D．−0.3是负数，故此选项不符合题意．故选：A．【考点2相反意义的量表示】【典例2】负数的概念最早出现在我国古代著名的数学著作《九章算术》中，如果小明向西行走30米记作“−30米”，那么“小明向东行走25米”应记作为（

）A．−25米 B．+25米 C．−30米 D．+30米【答案】B【分析】本题考查了正负数的意义，根据向西行走30米记作“−30米”，则向东行走25米”应记作为+25米，据此即可作答．【详解】解：∵小明向西行走30米记作“−30米”∴“小明向东行走25米”应记作为+25米，故选：B【变式2-1】如果把收入2024元记作+2024，那么支出2024元记作（

A．2024 B．12024 C．2024 D．【答案】D【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．【详解】解：收入2024元记作+2024，那么支出2024元记作−2024，故选：D【变式2-2】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若电梯上行5层楼记为+5，则电梯下行3层楼应记为（）A．−2 B．+2 C．+3 D．−3【答案】D【分析】本题主要考查了正数和负数，理解相反意义的量是解题的关键．根据正数和负数是一组具有相反意义的量，即可得到答案．【详解】解：由题意得，电梯下行3层楼应记为−3，故选D．【变式2-3】初中一年级女生仰卧起坐满分标准为50个，个数为54个记为+4个，则个数为46个应记为（

）A．−8个 B．−4个 C．4个 D．+46【答案】B【分析】本题考查了正负数的意义，理解题意是解题关键．根据正负数的意义即可得．【详解】解：初中一年级女生仰卧起坐满分标准为50个，则个数为46个应记为−4个，故选：B．【考点3相反意义的应用】【典例3】小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米）+5,−3,+10,−8,−6,−9,+12,−10，问：(1)小虫是否回到原点0？(2)爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？【答案】(1)小虫没有回到原点(2)小虫可得到315粒芝麻【分析】本题考查了正负数的应用：（1）利用有理数的加法，即可求解；（2）利用加法先求出总距离，再乘以每爬行1厘米奖励5粒芝麻即可求解；熟练掌握正负数的意义是解题的关键．【详解】（1）解：+5+=27−36=−9，答：小虫没有回到原点．（2）+5=5+3+10+8+6+9+12+10=63，63×5=315（粒），答：小虫可得到315粒芝麻．【变式3-1】某中学开展“阅读之星，书香班级”活动，七（1）班上周星期一至星期五的借书记录如下表，超过30册的部分记为正，少于30册的部分记为负．星期一星期二星期三星期四星期五+3−2+5+4−7问：上周星期一至星期五该班一共借书多少册？【答案】上周星期一至星期五该班一共借书153册；【分析】本题考查正负数意义的应用，用30乘以天数加上各天的正负数即可得到答案．【详解】解：由题意可得，30×5+3+(−2)+5+4+(−7)答：上周星期一至星期五该班一共借书153册．【变式3-2】某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表：与标准质量的差值（单位：g）−5−20136袋数143453(1)这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？(2)若标准质量为每袋200g，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准200±3g【答案】(1)这批样品的平均质量比标准质量重，重1.2克(2)这批样品的总质量是4024克，这批样品的合格率是80%【分析】本题主要考查正负数及有理数加法在实际生活中的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义，熟练掌握运算法则．（1）根据样本的平均质量减去标准的质量，可得答案；（2）根据有理数的加法，可得答案；找到所给数值中，绝对值小于或等于3的食品的袋数占总袋数的多少即可．【详解】（1）解：−5×1+−224÷20=1.2(克)．答:这批样品的平均质量比标准质量重，重1.2克．（2）由题意，得：200×20+24=4024(克)．由题意可知，与标准质量相差±3g的有4+3+4+5=16袋，所以16÷20×100答:这批样品的总质量是4024克，这批样品的合格率是80%．【变式3-3】出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：+5，−3，+3，−1，+2，−2，+4，−5，+6，−8（单位：千米）(1)小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？(2)若汽车耗油量为0.6升/千米，发车前油箱有32.2升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由．【答案】(1)小张向西行驶1千米才能回到出发地(2)小张今天上午不需要加油，理由见解析【分析】本题考查了有理数的加法，正数和负数，熟练掌握有理数的加法是解答本题的关键．（1）根据题意，将小张所有行程按照向东为“正”，向西为“负”，依次相加，得到结果，判断小张最后地点距离出发地的距离，以此分析小张该如何行驶才能回到出发地．（2）根据题意，计算出小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地一共行驶的距离，然后计算行驶了这些距离耗的油量，最终得到答案．【详解】（1）解：由题意得，+5−3+3−1+2−2+4−5+6−8=1（千米），∴小张将最后一名乘客送达的目的距离出发地正东方向1千米，故小张向西行驶1千米才能回到出发地．答：小张向西行驶1千米才能回到出发地．（2）不用加油，理由如下：小张将最后一名乘客送达目的地一共行驶了：5+3+3+1+2+2+4+5+6+8=39（千米），再返回出发地一共行驶了：39+1=40（千米），∴汽车耗油：40×0.6=24<32.2．答：小张今天上午不需要加油．

知识点2：有理数（1）概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。（2）分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数【考点4有理数的概念辨析】【典例4】下列各数：−1，3.1010010001……，4.11213415，0，227，3.14，其中有理数有（

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】B【分析】本题考查了有理数的定义，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．据此解答即可．【详解】解：−1，4.11213415，0，2273.1010010001……是无限不循环小数，不是有理数．故选B．【变式4-1】下列说法正确的是（

）A．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数 B．正整数和负整数统称整数C．一个有理数不是整数就是分数 D．0不是有理数【答案】C【分析】本题主要考查的是有理数的概念和分类，依据有理数的概念和分类进行求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】A、正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，故本选项错误，不符合题意；B、正整数和负整数和0统称为整数，故本选项错误，不符合题意；C、一个有理数不是整数就是分数，故本选项正确，符合题意；D、0是有理数，故本选项错误，不符合题意；故选：C．【变式4-2】在−1.732，2，π，3.1•4•，A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题主要考查有理数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，由此即可判断选项．也要注意理解无理数的概念，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．【详解】解：在−1.732，2，π，3.1•4•，这些数中，有理数有−1.732，3.1•4•，故选：B．【变式4-3】下列关于有理数的说法正确的是（）A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合C．0既不属于整数也不属于分数D．整数和分数统称为有理数【答案】D【分析】本题考查有理数的分类及定义，根据有理数的分类及定义逐项判断即可．【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意；B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意；C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意；D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意；故选：D．【考点5有理数的分类】

【典例5】把下列各数填在相应的大括号里：−1，−78，0，+3.6，−17%，3.142，911，−0.088，整数集合：{

…}正分数集合：{

…}负分数集合：{

…}【答案】−1，0，2008，−506；+3.6，3.142，911；−78，−17【分析】本题考查了有理数的概念及分类，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉整数、正分数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用．【详解】整数集合：{−1，0，2008，−506，…}；正分数集合：{+3.6，3.142，911负分数集合：{−78，−17%故答案为：−1，0，2008，−506；+3.6，3.142，911；−78，−17【变式5-1】把下列各数分别填入相应的集合里．−4，−43，0，227，−3.14，2006，(1)负数集合：｛

…｝；(2)分数集合：｛

…｝；(3)整数巢合：｛

…｝．【答案】(1)−4，−3.14，−(2)−43，227，(3)−4，0，2006，−【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．（1）根据负数包括负整数和负分数解答即可；（2）根据分数包括正分数和负分数解答即可；（3）根据整数包括正整数，零和负整数解答即可．【详解】（1）负数集合：｛−4，−3.14，−+5故答案为：−4，−3.14，−+5（2）分数集合：｛−43=43，22故答案为：−43，227，−3.14（3）整数集合：｛−4，0，2006，−+5故答案为：−4，0，2006，−+5【变式5-2】判断下列各数，并把它们填写在相应的数集中．−10，−6.5，212，0，6.5，−12，6，−6.2%，(1)整数集合：｛

…｝(2)分数集合：｛

…｝(3)非负数集合：｛

…｝(4)非正数集合：｛

…｝(5)正有理数集：｛

…｝【答案】(1)−10，0，6，(2)−6.5，212，6.5，−12，−6.2(3)212，0，6.5，6，0.6•(4)−10，−6.5，0，−12(5)212，6.5，6，0.【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数．根据整数、分数、非负数、正有理数以及负数的定义进行判断即可．【详解】（1）解：整数集合：｛−10，0，6，…｝故答案为：−10，0，6；（2）解：分数集合：｛−6.5，212，6.5，−12，−6.2%故答案为：−6.5，212，6.5，−12，−6.2%（3）解：非负数集合：｛212，0，6.5，6，0.6•，故答案为：212，0，6.5，6，0.6•，（4）解：非正数集合：｛−10，−6.5，0，−12，故答案为：−10，−6.5，0，−12，（5）解：正有理数集：｛212，6.5，6，0.6故答案为：212，6.5，6，0.6【变式5-3】把下列各数填在相应的集合内：−43，8，0.3，0，−2028，12%，−2负数集合{

……}；正分数集合{

……}；非负数集合{

……}；有理数集合{

……}．【答案】见解析【分析】本题考查了有理数的分类，据此填写即可，特别要注意带“非”字的分类，非负数：正数和0；非正数：负数和0；非负整数：正整数和0（自然数）；非正整数：负整数和0．【详解】解：负数集合{−43，−2028，正分数集合{0.3，12%非负数集合{8，0.3，0，12%，π有理数集合{−43，8，0.3，0，−2028，12%

知识点3：数轴（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（3）应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。（注意不带“+”“—”号）【考点6数轴的画法及应用】【典例6】如图，数轴上点A表示的数是−3，点B表示的数是4．(1)在数轴上标出原点O．(2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”连接起来．2.5，−4，−1.5，−【答案】(1)见解析(2)见解析，−4<−【分析】本题主要考查在数轴上表示有理数以及有理数的大小比较：（1）根据点A表示的数是−3，点B表示的数是4找出原点即可；（2）把各数在数轴上表示出来，从左到右用“＜”连接起来即可．【详解】（1）解：原点O如图，（2）解：−1.5=1.5，各点在数轴上表示为：故−4<−+【变式6-1】下列数轴正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查的是数轴．根据数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴，我们一般规定，数轴向右为正方向，单位长度必须一致，依据以上标准判断即可．【详解】解：A、不正确，错误原因：数轴单位长度不一致；B、正确；C、不正确，错误原因：缺少正方向；D、不正确，错误原因：缺少了原点．故选：B．【变式6-2】(1)如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数；

(2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：−32，【答案】(1)A，B，C，D表示的数分别是：−3，−1.5，0，2；(2)见解析．【分析】（1）根据数轴可以直接写出点A，B，C、D表示的数；（2）画出数轴，在数轴上描出题目中两个数在数轴上对应的点；此题主要考查了数轴，点在数轴上位置确定，解题的关键是熟练掌握画数轴以及在数轴上表示数，用数轴表示数时要注意画数轴有三个基本要素：原点、正方向、单位长度．【详解】（1）由数轴可得，点A，B，C，D表示的数分别是：−3，−1.5，0，2；（2）先画出数轴，表示如下图所示：

【考点7用数轴上的点表示有理数】【典例7】小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数共有（

）个．A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】B【分析】本题考查的是数轴，根据题意利用数形结合求解是解答此题的关键．根据数轴的单位长度，即可判断墨迹盖住部分的整数．【详解】解：由图可知，左边盖住的整数数值是−1，右边盖住的整数数值是2，3；墨迹盖住部分的整数共有5+2=7个．故选：B．【变式7-1】如图，数轴上点A表示的数可能是（

）A．1.5 B．−3 C．−2.4 D．2.4【答案】C【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，能根据数轴得出A点表示的数在−3和−2之间是解此题的关键．据此解答即可．【详解】解：根据数轴可知：A点表示的数在−3和−2之间，∴A点的表示的数可能为−2.4，故选：C【变式7-2】如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（

）

A．−3.3 B．−4.4 C．1.1 D．【答案】D【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，确定被墨迹所盖的数的取值范围是正确解答的前提．【详解】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于−3，且小于−1，因此备选项中，只有选项D符合题意，故选：D．【变式7-3】如图，数轴上表示数−1.5的点所在的线段是（

）A．AB B．BO C．OC D．CD【答案】A【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴上点的位置，结合−2<−1.5<−1即可得到答案．【详解】解：由数轴可知，数轴上表示数−1.5的点所在的线段是AB，故选：A．【考点8利用数轴比较有理数的大小】【典例8】a,b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．下列各式正确的是（

）A．−b<−a<a<bB．−a<−b<a<bC．b<−a<a<−b D．b<−b<−a<a【答案】C【分析】本题考查数轴，有理数大小的比较．根据a，b在数轴上的点的位置确定−a，−b的正负及绝对值，即可解答．【详解】由数轴可得，b<−1<0<a<1，b>∴−b>a，−a>b，∴b<−a<a<−b．故选：C【变式8-1】有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）A．a>−3 B．b>3 C．a>b D．−a>b【答案】D【分析】本题考查了根据数轴比较大小，根据用数轴上的点表示的数，左边<右边，即可解答．【详解】解：由图可知，a<−3<b<3，故A、B、C不正确，不符合题意；∵a<−3<b<3，∴−a>3>b，故D正确，符合题意；故选：D．【变式8-2】若数a,b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（

）A．a+b>0 B．−b+a<0 C．−a>b D．a⋅b>0【答案】C【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，有理数的加法、减法、乘法法则的应用，主要考查学生对法则的理解能力，难度不是很大．根据数轴得出b＜【详解】解：从数轴可知：b＜A、a+b＜B、−b+a>0，故原式不正确；C、−a>b，故原式正确；D、a⋅b<0，故原式不正确；故选：C．【变式8-3】若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（

）A．a<b B．a+1<b+1 C．a2【答案】B【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．根据图示，可得−2<a<−1，0<b<1，据此逐项判断即可．【详解】解：根据图示，可得−2<a<−1，0<b<1，∵−2<a<−1，0<b<1，∴1<|a|<2，0<|b|<1，∴|a|>|b|，∴选项A不符合题意；∵−2<a<−1，0<b<1，∴a<b，∴a+1<b+1，∴选项B符合题意；∵−2<a<−1，0<b<1，∴1<a2<4∴a∴选项C不符合题意；∵0<b<1，∴−1<−b<0，∵−2<a<−1，∴a<−b，∴选项D不符合题意．故选：B．【考点9数轴上两点之间的距离】【典例9】如果在数轴上A点表示−3，那么在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是（）A．−1 B．−1和−5 C．+1或−5 D．−5【答案】B【分析】本题综合考查了数轴上两点之间的路线，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．在数轴上表示出A点，找到与点A距离2个长度单位的点所表示的数即可．此类题注意两种情况：要求的点可以在已知点−3的左侧或右侧．【详解】如图所示，∴在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是−1和−5．故选B．【变式9-1】点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（）A．−2 B．6 C．−2或6 D．−6或2【答案】C【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，以及用数轴上的点表示有理数，由“点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度”得到点A表示的数（注意考虑在原点左侧或右侧两种情况），再根据向右爬了2个单位长度到达B点，得到点B表示的数，即可解题．【详解】解：因为点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，所以点A表示的数是4或−4，又因为蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，所以点B表示的数是：4+2=6或−4+2=−2．故选：C．【变式9-2】如图，在数轴上点A在原点右侧，距离原点5个单位长度，表示的数是5，点B距离点A是6个单位长度，则点B表示的数是（

）

A．6 B．6或−6 C．11或−6 D．11或−1【答案】D【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可列的式子，进而求解，求解数轴上两点之间的距离是解题的关键．【详解】解：∵点B距离点A是6个单位长度，则5+6=11，或5−6=−1，∴点B表示的数是11或−1，故选：D．【变式9-3】在数轴上，点M，N分别表示数m，1．若MN=4，则点M表示的数是（

）A．5 B．−3或5 C．4 D．−3【答案】B【分析】题考查数轴上两点间的距离表示方法，根据题意得到|m−1|=4是解题的关键．【详解】解：∵点M，N分别表示数m，1．若MN=4，∴|m−1|=4，解得m=5或m=−3，故选B．【考点10数轴上的动点问题】【典例10】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4cm到达A点，再向右移动5cm到达B点，然后再向右移动3cm到达C(1)请你在数轴上标出A、B、C三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______．(2)把点A到点C的距离记为AC，则AB=_____cm，AC=______cm；(3)若点A从（1）中的位置沿数轴以每秒1cm匀速向右运动，经过多少秒使AC=3cm【答案】(1)−4(2)5，8(3)5或11【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上两点间距离，数轴上动点问题．（1）根据题意利用观察即可得到本题答案；（2）根据题意利用两点间距离即可得到；（3）分情况讨论当点A在点C的左侧时和当点A在点C的右侧时，分别列式即可得到本题答案．【详解】（1）解：由题意得：A点对应的数为−4，B点对应的数为1，点C对应的数为4，点A，B，C在数轴上表示如图：A表示的数为−4，B表示的数为1，C表示的数为4，故答案为：−4，（2）解：∵A点对应的数为−4，B点对应的数为1，点C对应的数为4，∴AB=1−(−4)=5cm，AC=4−(−4)=8故答案为：5，8；（3）解∶①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，由题意得：8−x=3，解得：x=5；②当点A在点C的右侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，由题意得：x−8=3，解得：x=11，综上，经过5或11秒后点A到点C的距离为3cm．【变式10-1】如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．

(1)当t=0.5时，求点Q表示的数；(2)当t=2.5时，求点Q表示的数；(3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数．【答案】(1)6(2)2(3)−2或−6【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键．（1）计算出点Q运动的路程，即可解答；（2）计算出点Q的运动路程，即可解答；（3）分两种情况，点Q在还没达到原点，点Q到原点O的距离为4；到达原点后距离原点后，点Q到原点O的距离为4，计算时间，即可得到点P运动的路程，即可解答。【详解】（1）解：当t=0.5时，点Q表示的数为8−4×0.5=6；（2）解：当t=2.5时，点Q运动的路程为4×2.5=10>8，点Q表示的数为0+10−8=2（3）解：①点Q还没达到原点时，点Q运动的路程为8−4=4，∴t=4∴点P表示的数为0−2×1=−2；①点Q达到原点时，点Q运动的路程为8+4=12，∴t=12∴点P表示的数为0−2×3=−6，故点P表示的数为−2或−6．【变式10-2】如图A在数轴上所对应的数为−2．(1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数；(2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到−4所在的点处时，求A，B两点间距离．【答案】(1)点B所对应的数是4；(2)A，B两点间距离是12；【分析】（1）本题考查数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值；（2）本题考查数轴上动点及两点间距离，根据动点表示出数字，结合距离公式求解即可得到答案；【详解】（1）解：∵A在数轴上所对应的数为−2，点B在点A右边距A点6个单位长度，∴点B所对应的数为：−2+6=4，∴点B所对应的数是4；（2）解：∵点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点A运动到−4，∴t=−2−(−4)∵点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，∴点B运动到：4+2×2=8，∴A，B两点间距离为：8−(−4)=12．【变式10-3】已知数轴上有三个点A，B，C，点A表示的数是8，点B到点A的距离为12，点C到A点的距离为7．(1)点B表示的数为；(2)点C表示的数为；(3)若点A在点B右侧，动点R从点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点P从点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点P，R同时出发，点R运动多少秒时追上点P？【答案】(1)20或−4(2)1或15(3)5秒或19秒【分析】（1）分点B在点A的左边和右边两种情况求解即可；（2）分点C在点A的左边和右边两种情况求解即可；（3）分点C表示1和15两种情况，然后分别求出路程差，再根据路程差列方程求解即可．【详解】（1）解：当点B在点A的左边，点B表示的数为8−12=−4；当点B在点A的右边，点B表示的数为8+12=20；综上，点B表示的数为20或−4．故答案为：20或−4．（2）解：当点C在点A的左边，点C表示的数为8−7=1；当点C在点A的右边，点C表示的数为8+7=15；综上，点C表示的数为1或15．故答案为：1或15．（3）解：设点R运动a秒时追上点P，当C表示1时，则BC的距离为1−−4=5，则有2a−a=5，解得：当C表示15时，则BC的距离为15−−4=19，则有2a−a=19综上，点R运动多少秒时追上点P所需时间为5秒或19秒．答：点R运动5秒或19秒时追上点P．【点睛】本题主要考查了在数轴上表示数、数轴上的动点问题等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．一、单选题1．在−2，0，12A．−2 B．0 C．12 【答案】A【分析】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据负数的定义即可求得答案．【详解】解：−2是负数；12故选：A2．热气球上升5米记为+5，则下降3米应该记为（

）A．3 B．2 C．−2 D．−3【答案】D【分析】本题考查了正负数的意义，熟知正负数代表相反意义的量是解本题的关键．根据正负数代表相反意义的量可知：热气球向上记为正，则向下记为负即可．【详解】解：热气球上升5米记为+5，那么下降3米应该记为−3．故选：D．3．我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献．刘徽首先给出了正负数的定义，“今两算得失相反，要令正负以名之”．例，如果把收入10元记作+10元，那么支出15元应记作（

）A．−15元 B．0元 C．±15元 D．15元【答案】A【分析】本题考查了正负数的意义，根据把收入10元记作+10元，即可得出支出15元应记作−15元，即可作答．【详解】解：∵收入10元记作+10元，∴支出15元应记作−15元，故选：A．4．将−1在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（

）A．−1 B．1 C．−3 D．3【答案】B【分析】本题考查了数轴上的动点问题，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将−1在数轴上对应的点向右平移2个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数．【详解】根据题意：数轴上−1所对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是1．故选B．5．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，−a，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（

）A．a<−a<b B．−a<b<a C．−a<a<b D．b<−a<a【答案】A【分析】本题考查了数轴与有理数大小的比较，正确理解数轴与有理数大小的比较的方法是解题的关键．在数轴上标出有理数a的相反数−a所表示的点，再根据“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，即可判断答案．【详解】在数轴上标出有理数a的相反数−a所表示的点，则a，−a，b按照从小到大的顺序排列为a<−a<b．故选：A．6．数轴上表示数a的点在原点右侧，与原点相距2024个单位长度，则数a为（

）A．2024 B．−2024 C．±2024 D．不确定【答案】A【分析】本题主要考查了数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴上的点的特征是解题的关键．【详解】解：∵数轴上表示数a的点在原点右侧，与原点相距2024个单位长度，∴点a点表示的数是2024．故选：A．二、填空题7．一只电子蚂蚁沿数轴从点A向右爬行2个单位长度到达点B，若点B表示的数为−4，则点A表示的数为．【答案】−6【分析】本题考查的是数轴，正确判断出点A和点B在原点的左侧是解题的关键．由题意可知，一只电子蚂蚁沿数轴从点A向右爬行2个单位长度到达点B，点B表示的数为−4，可以判断点A在原点的左侧，且点A与点B的距离是2个单位长度，即可以求出点A表示的数．【详解】解：∵一只电子蚂蚁沿数轴从点A向右爬行2个单位长度到达点B，点B表示的数为−4，∴可以判断点A在原点的左侧，且点A与点B的距离是2个单位长度，∴点A表示的数为：−4−2=−6，故答案为：−68．某蓄水池的标准水位记为0m，若+0.08m表示水面高于标准水位0.08m，则水面低于标准水位1.2【答案】−1.2【分析】此题主要考查了正负数的意义，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【详解】解：若+0.08m表示水面高于标准水位0.08m，则水面低于标准水位1.2m故答案为：−1.2．9．小明和小佳是同班同学．放学后，两人同时从学校大门处向相反方向回家，小明向北走了800m记作“+800m”，小佳走的路程记作“−600m”．这时两人相距【答案】1400【分析】本题考查了加法计算的应用．根据题意，因为他们行驶的方向相反，所以把两人各自行驶的路程相加即是两人相距的距离．【详解】解：800+600=1400（m）答：这时两人相距1400m．故答案为：1400．10．包装袋上的净重（150±5克）的意思是实际质量的范围是．【答案】145克～155克【分析】此题主要考查了负数的意义的应用，要熟练掌握．首先用标准质量500加上5克，求出实际每袋最多不多于多少克；然后用这标准质量500减去5克，求出实际每袋最少不少于多少克即可．【详解】解：实际每袋最多不多于：150+5=155（克）；最少不少于：150−5=145（克），范围为：145克～155克；故答案为：145克～155克．三、解答题11．把下列各数填入相应的集合内．−10，8，−712，334，−10%，3101，2，0，3.14，−67，3正数集合{…}；负数集合{…}；整数集合{…}；分数集合{…}．【答案】见解析【分析】本题考查了有理数的分类：有理数分为整数和分数；有理数分为正有理数、0、负有理数；整数分为正整数、0、负整数．根据有理数的分类在所给的数中分别找出正数、负数、整数、分数．【详解】正数集合{8，334，3101，2，3.14，37，负数集合{−10，−712，−10%，−67整数集合{−10，8，2，0，−67，−1…}；分数集合{−712，334，−10%，3101，12．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”连接：+5，−3.5，12，−112，4【答案】见解析，−3.5<−1【分析】本题主要考查有理数与数轴的关系，理解并掌握数轴上的点与实数一一对应的关系是解题的关键．画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较．【详解】解：如图所示：因为在数轴上右边的数大于左边的数，所以−3.5<−1113．六一到了，嘉嘉和同学要表演节目．嘉嘉骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家，然后又向西骑了4.5km到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家．(1)以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出淇淇家，用点B表示出小敏家，用点C表示出学校的位置；(2)求淇淇家与学校之间的距离；(3)如果嘉嘉骑车的速度是300m/min【答案】(1)画图见解析(2)3km(3)30min【分析】本题考查了正负数的应用以及在数轴上表示有理数，两点间