2024届黑龙江省北安市第一中学高三下-第三次阶段考试（1月）数学试题试卷

2024届黑龙江省北安市第一中学高三下-第三次阶段考试（1月）数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线与直线则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．3．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则A．PQ B．QPC．Q D．Q4．已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．25．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A．8 B．32 C．64 D．1286．已知复数满足，则的值为（）A． B． C． D．27．若命题p：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题q：在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB>90°的概率为π8A．p∧qB．(¬p)∧qC．p∧(¬q)D．¬q8．已知函数，若函数的极大值点从小到大依次记为，并记相应的极大值为，则的值为（）A． B． C． D．9．已知，则（）A． B． C． D．210．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）A． B． C． D．11．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为，则该几何体外接球的表面积为__________．14．在矩形ABCD中，，，点E，F分别为BC，CD边上动点，且满足，则的最大值为________.15．下图是一个算法流程图，则输出的S的值是______.16．已知，则________.(填“>”或“=”或“<”).三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）设射线与曲线交于不同于极点的点，与曲线交于不同于极点的点，求线段的长．18．（12分）第十四届全国冬季运动会召开期间，某校举行了“冰上运动知识竞赛”，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（1）求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率；（2）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动，并指定2名负责人，求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.组号分组频数频率第1组150.15第2组350.35第3组b0.20第4组20第5组100.1合计1.0019．（12分）已知函数．（1）当（为自然对数的底数）时，求函数的极值；（2）为的导函数，当，时，求证：．20．（12分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：研发费用（百万元）2361013151821销量（万盒）1122.53.53.54.56（1）求与的相关系数精确到0.01，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的数学期望．附：（1）相关系数（2），，，．21．（12分）对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.（1）证明：等比数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”又是“数列”，证明：数列是等比数列.22．（10分）已知数列是等差数列，前项和为，且，．（1）求．（2）设，求数列的前项和．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.【详解】若，则，故或，当时，直线，直线，此时两条直线平行；当时，直线，直线，此时两条直线平行.所以当时，推不出，故“”是“”的不充分条件，当时，可以推出，故“”是“”的必要条件，故选：B.【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断，前者应根据系数关系来考虑，后者依据两个条件之间的推出关系，本题属于中档题.2、B【解析】

由题可知，，再结合双曲线第一定义，可得，对有，即，解得，再对，由勾股定理可得，化简即可求解【详解】如图，因为，所以.因为所以.在中，，即，得，则.在中，由得.故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题3、C【解析】

解：因为P={y|y=-x2+1，x∈R}={y|y1}，Q={y|y=2x，x∈R}={y|y>0},因此选C4、B【解析】

求出圆心，代入渐近线方程，找到的关系，即可求解.【详解】解：，一条渐近线，故选：B【点睛】利用的关系求双曲线的离心率，是基础题.5、C【解析】

根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.【详解】由题意，执行上述程序框图，可得第1次循环，满足判断条件，；第2次循环，满足判断条件，；第3次循环，满足判断条件，；第4次循环，满足判断条件，；不满足判断条件，输出.故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6、C【解析】

由复数的除法运算整理已知求得复数z，进而求得其模.【详解】因为，所以故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.7、B【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为P1=1C42=16，即命题p是错误，则¬p是正确的；在边长为4的正方形ABCD内任取一点M点睛：本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假（含或、且、非等连接词）的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用，以及分析问题解决问题的能力。8、C【解析】

对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当时有极大值，而后一部分是前一部分的定义域的循环，而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点的通项公式，且相应极大值，分组求和即得【详解】当时，，显然当时有，，∴经单调性分析知为的第一个极值点又∵时，∴，，，…，均为其极值点∵函数不能在端点处取得极值∴，，∴对应极值，，∴故选：C【点睛】本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列和函数的熟悉程度高，为中档题9、B【解析】

结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.【详解】由，以及，解得..故选：B【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.10、C【解析】

根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案.【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.此时输出.故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.11、B【解析】

或，从而明确充分性与必要性.【详解】，由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分条件故选【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.12、C【解析】

根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥，并且平面SAC平面ABC，，过S作，连接BD，，再求得其它的棱长比较下结论.【详解】如图所示：由三视图得：该几何体是一个三棱锥，且平面SAC平面ABC，，过S作，连接BD，则，所以，，，，该几何体中的最长棱长为.故选：C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】三视图还原如下图：，由于每个面是直角，显然外接球球心O在AC的中点.所以，，填。【点睛】三视图还原，当出现三个尖点在一个位置时，我们常用“揪尖法”。外接球球心到各个顶点的距离相等，而直角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等，所以本题的球心为AC中点。14、【解析】

利用平面直角坐标系，设出点E，F的坐标，由可得，利用数量积运算求得，再利用线性规划的知识求出的最大值.【详解】建立平面直角坐标系，如图（1）所示：设，，，即，又，令，其中，画出图形，如图（2）所示：当直线经过点时，取得最大值.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.15、【解析】

根据流程图，运行程序即得.【详解】第一次运行，；第二次运行，；第三次运行，；第四次运行；所以输出的S的值是.故答案为：【点睛】本题考查算法流程图，是基础题.16、【解析】

注意到，故只需比较与1的大小即可.【详解】由已知，，故有.又由，故有.故答案为：.【点睛】本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

曲线的参数方程转换为直角坐标方程为．再用极直互化公式求解，曲线的极坐标方程用极直互化公式转换为直角坐标方程．射线与曲线的极坐标方程联解求出，射线与曲线的极坐标方程联解求出，再用得解【详解】解：曲线的参数方程为（为参数，转换为直角坐标方程为．把，代入得：曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．设射线与曲线交于不同于极点的点，所以，解得．与曲线交于不同于极点的点，所以，解得，所以【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程直角坐标方程相互转换及极坐标下利用和的几何意义求线段的长.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的分别用，代替即可得到相应极坐标方程．参数方程化为极坐标方程必须先化成直角坐标方程再转化为极坐标方程.（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.18、（1），，，；（2）【解析】

（1）根据第1组的频数和频率求出，根据频数、频率、的关系分别求出，进而求出不低于70分的概率；（2）由（1）得，根据分层抽样原则，分别从抽出2人，2人，1人，并按照所在组对抽出的5人编号，列出所有2名负责人的抽取方法，得出第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的抽法数，由古典概型概率公式，即可求解.【详解】（1），，，由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为：（2）因为第3、4、5组共有50名学生，所以利用分层抽样在50名学生中抽取5名学生，每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人，所以第3、4、5组分别抽取2人，2人，1人设第3组的3位同学为、，第4组的2位同学为、，第5组的1位同学为，则从五位同学中抽两位同学有10种可能抽法如下：，，，，，，，，，，其中第4组的2位同学、至少有一位同学是负责人有7种抽法，故所求的概率为.【点睛】本题考查补全频率分布表、古典概型的概率，属于基础题.19、（1）极大值，极小值；（2）详见解析.【解析】

首先确定函数的定义域和；（1）当时，根据的正负可确定单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；（2）通过分析法可将问题转化为证明，设，令，利用导数可证得，进而得到结论.【详解】由题意得：定义域为，，（1）当时，，当和时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为.（2）要证：，即证：，即证：，化简可得：．，，即证：，设，令，则，在上单调递增，，则由，从而有：.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.20、（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）【解析】

（1）根据题目提供的数据求出，代入相关系数公式求出，根据的大小来确定结果；（2）求出药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，服从二项分布，利用二项分布的期望公式求解即可.【详解】解：（1）由题意可知，，由公式，，∴与的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为，，，由题意，，.【点睛】本题考查相