内蒙古乌兰察布市部分学校2024届九年级上学期期中数学试卷(含解析)

内蒙古乌兰察布市2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列四种图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）函数y＝﹣x2+2与y＝﹣x2﹣1的图象的不同之处是（）A．开口方向 B．对称轴 C．顶点 D．形状3．（3分）一元二次方程（x+1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x+1＝，则另一个一元一次方程为（）A．x﹣1＝ B．x+1＝2 C．x+1＝﹣ D．x+1＝﹣24．（3分）下列具有二次函数关系的是（）A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定6．（3分）如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝55°，则∠ADE等于（）A．5° B．10° C．15° D．20°7．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．28．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为（）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝39．（3分）某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行或列，那么列方程得（）A．（8﹣x）（10﹣x）＝8×10﹣40 B．（8﹣x）（10﹣x）＝8×10+40 C．（8+x）（10+x）＝8×10﹣40 D．（8+x）（10+x）＝8×10+4010．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．4a+2b+c＝0 D．9a+c＞3b二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）将y＝2x2的函数图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数解析式为．12．（3分）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝．13．（3分）在二次函数y＝（x﹣1）2+5中，当x＞1时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．14．（3分）在﹣3与﹣2中，是方程x2﹣x﹣6＝0的解的是．15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的对称轴是．16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△BOC与△B'O'C关于点C中心对称，连接AB'．若AC＝4，BO＝8，则AB'＝．三．解答题（共7小题，满分72分）17．（8分）（1）已知，求的值；（2）已知二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，3），且经过点A（0，2），求该二次函数的解析式．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣1，1）（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）；（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2（点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2）；（3）△ABC的面积为．（直接填结果）19．（8分）对于不相等的实数m，n，定义一种新运算“❈”如下：m❈n＝．（1）求﹣1❈的值；（2）若﹣1❈的值是关于x的方程的一个根，求m的值；（3）若a❈（﹣2）＝10，求实数a的值．20．（11分）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1．（1）求证：2a+b＝0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．21．（11分）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．（1）求点P的坐标和a的值；（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．22．（12分）“玫瑰香”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，在被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩．（1）求该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率．（2）某超市调查发现，当“玫瑰香”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克，已知该超市“玫瑰香”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元．若使销售“玫瑰香”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．

内蒙古乌兰察布市2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列四种图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．答案：解：A．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．原图是中心对称图形，故此选项符合题意；C．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．2．（3分）函数y＝﹣x2+2与y＝﹣x2﹣1的图象的不同之处是（）A．开口方向 B．对称轴 C．顶点 D．形状答案：解：函数y＝﹣x2+2与y＝﹣x2﹣1的图象的对称轴都是y轴，开口都向下，形状一样，而函数y＝﹣x2+2的顶点坐标为（0，2），函数y＝﹣x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），故选：C．3．（3分）一元二次方程（x+1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x+1＝，则另一个一元一次方程为（）A．x﹣1＝ B．x+1＝2 C．x+1＝﹣ D．x+1＝﹣2答案：解：∵（x+1）2＝2，∴x+1＝±，∴x+1＝或x+1＝﹣，故选：C．4．（3分）下列具有二次函数关系的是（）A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x答案：解：A、y＝4x，是一次函数，错误；B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；C、y＝x2，是二次函数，正确；D、y＝hx，h一定，是一次函数，错误．故选：C．5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定答案：解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：B．6．（3分）如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝55°，则∠ADE等于（）A．5° B．10° C．15° D．20°答案：解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，∴AC＝CD，∠CED＝∠B＝55°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，∴∠ADE＝∠CED﹣∠CAD＝55°﹣45°＝10°，故选：B．7．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2答案：解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，∴对称轴为直线x＝1，∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x＝0时，y＝﹣1，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x＝3时，y＝9﹣6﹣1＝2，∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，故选：D．8．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为（）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝3答案：解：由二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象可知：函数的对称轴x＝1，与x轴的交点为（3，0），设另一交点为（x，0）则有1＝，∴x＝﹣1，∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为：x1＝﹣1，x2＝3．故选：D．9．（3分）某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行或列，那么列方程得（）A．（8﹣x）（10﹣x）＝8×10﹣40 B．（8﹣x）（10﹣x）＝8×10+40 C．（8+x）（10+x）＝8×10﹣40 D．（8+x）（10+x）＝8×10+40答案：解：增加后的行数×增加后的列数＝原来行数×原来列数+40人，设增加了x行或列，得：（8+x）（10+x）＝8×10+40，故选：D．10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．4a+2b+c＝0 D．9a+c＞3b答案：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∵x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，∵x＝﹣3时，y＞0，∴9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b．故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）将y＝2x2的函数图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数解析式为y＝2（x+1）2+3．答案：解：将y＝2x2的函数图象向左平移1个单位，其解析式为y＝2（x+1）2，再把y＝2（x+1）2图象向上平移3个单位，其解析式为y＝2（x+1）2+3，故答案为：y＝2（x+1）2+3．12．（3分）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝5．答案：解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴a﹣b＝2+3＝5，故答案为：5．13．（3分）在二次函数y＝（x﹣1）2+5中，当x＞1时，y随x的增大而增大（填“增大”或“减小”）．答案：解：在二次函数y＝（x﹣1）2+5中，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∴对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．14．（3分）在﹣3与﹣2中，是方程x2﹣x﹣6＝0的解的是x＝﹣2．答案：解：方程左边因式分解得：（x﹣3）（x+2）＝0，即：x﹣3＝0或x+2＝0，解得：x＝﹣3或x＝﹣2，所以x＝﹣2是方程的解，故答案为：x＝﹣2．15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的对称轴是直线x＝﹣2．答案：解：∵当x＝﹣3和x＝﹣1时，y＝﹣3，∴点（﹣3，﹣3）和点（﹣1，﹣3）关于对称轴对称，∴对称轴为x＝＝﹣2，故答案为：直线x＝﹣2．16．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△BOC与△B'O'C关于点C中心对称，连接AB'．若AC＝4，BO＝8，则AB'＝10．答案：解：菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，OB＝8，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°．∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O′C，∴∠COB'＝∠BOC＝90°，且O'C′＝OC＝0A＝AC＝AO′＝2，∵AO′＝6，∴OB＝8，在Rt△AOB中，根据勾股定理，得AB'＝＝10，故答案为：10．三．解答题（共7小题，满分72分）17．（8分）（1）已知，求的值；（2）已知二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，3），且经过点A（0，2），求该二次函数的解析式．答案：解：（1）由，得，∴．（2）设该二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．∵顶点坐标为（﹣1，3），∴y＝a（x+1）2+3，把（0，2）代入得2＝a+3，解得a＝﹣1，∴该二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+3．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣1，1）（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）；（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2（点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2）；（3）△ABC的面积为4．（直接填结果）答案：解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）S△ABC＝3×3﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2＝4．故答案为：4．19．（8分）对于不相等的实数m，n，定义一种新运算“❈”如下：m❈n＝．（1）求﹣1❈的值；（2）若﹣1❈的值是关于x的方程的一个根，求m的值；（3）若a❈（﹣2）＝10，求实数a的值．答案：解：（1）﹣1❈＝（）2+（﹣1）+＝1+；（2）∵﹣1❈＝1+，∴方程的一个根式1+，∴（3﹣2）×（1+）2+（﹣1）×（1+）+m＝0，解得m＝﹣2；（3）当a＞﹣2时，a❈（﹣2）＝a2+a﹣2＝10，解得a＝3或a＝﹣4（舍），∴a＝3；当a＜﹣2时，a❈（﹣2）＝（﹣2）2+a﹣2＝10，解得a＝8（舍）；综上所述：a的值为3．20．（11分）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1．（1）求证：2a+b＝0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．答案：（1）证明：∵对称轴是直线x＝1＝﹣，∴2a+b＝0；（2）解：∵ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，∴16a+4b﹣8＝0，∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∴16a﹣8a﹣8＝0，解得：a＝1，则b＝﹣2，∴ax2+bx﹣8＝0为：x2﹣2x﹣8＝0，则（x﹣4）（x+2）＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣2，故方程的另一个根为：﹣2．方法二：∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1，∴抛物线y＝ax2+bx﹣8的对称轴是直线x＝1，∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0的一个根为4，∴方程的另一个根为：﹣2．21．（11分）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．（1）求点P的坐标和a的值；（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．答案：解：（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0得y＝2.8，∴点P的坐标为（0，2.8）；把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8，解得：a＝﹣0.4，∴a的值是﹣0.4；（2）∵OA＝3m，CA＝2m，∴OC＝5m，∴C（5，0），在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得x＝﹣2+1（舍去）或x＝2+1≈3.82，∵|7﹣5|＞|3.82﹣5|，∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近．22．（12分）“玫瑰香”葡萄品种是农科院研制的优质新品种，在被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩．（1）求该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率．（2）某超市调查发现，当“玫瑰香”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克，已知该超市“玫瑰香”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元．若使销售“玫瑰香”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？答案：解：（1）设该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为x，依题意，得64（1+x）2＝100，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：该基地这两年“玫瑰香”种植面积的平均增长率为25%；（2）设售价应上涨y元，则每天可售出（400﹣20y）千克，依题意，得（8﹣6+y）（400﹣20y）＝2240，整理，得y2﹣18y+72＝0，解得y1＝12，y2＝6．∵该水果售价不能超过15元，∴