2024-2025学年高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4两条直线的交点学案含解析北师大版必修2

PAGE1．4两条直线的交点考纲定位重难突破1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2.会用方程组解的个数判定两条直线的位置关系．3.会用求交点坐标的方法解决直线过定点、三条直线交于一点等问题.重点：驾驭两点间距离公式并能敏捷应用．难点：驾驭通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法.授课提示：对应学生用书第42页[自主梳理]一、两直线的交点已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若两直线方程组成的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0,y＝y0))，则两直线相交，交点坐标为(x0，y0)．二、方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组的解交点个数两直线的位置关系无解0平行有唯一解1相交有多数组解多数个重合[双基自测]1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为()A．(3,2)B．(2,3)C．(－2，－3) D．(－3，－2)解析：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))故两条直线的交点坐标为(2,3)．答案：B2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k＝()A．－2B．－eq\f(1,2)C．2D.eq\f(1,2)解析：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0,x－y－1＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－2，))所以两直线的交点为(－1，－2)，将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝－2))代入x＋ky＝0，得k＝－eq\f(1,2).答案：B3．当m∈R时，直线(2m＋1)x＋(3m－2)y－18m＋5＝0恒过定点M解析：原方程可整理为(x－2y＋5)＋m(2x＋3y－18)＝0，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋5＝0，,2x＋3y－18＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4，))所以直线恒过定点M(3,4)．答案：(3,4)4．求经过两条直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点，且在x轴上的截距等于4的直线方程．解析：依题意，可设所求直线方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0，其中λ∈R.整理得(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋(2λ－2)＝0.令y＝0，得x＝eq\f(2－2λ,3＋2λ)，依题意有eq\f(2－2λ,3＋2λ)＝4，解得λ＝－1，即所求直线方程为x＋3y－4＝0.授课提示：对应学生用书第43页探究一两直线的交点问题[典例1]推断下列各对直线的位置关系，假如相交，求出交点的坐标．(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.[解析](1)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0,3x＋3y－10＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3),y＝\f(5,3))).所以l1与l2相交，且垂直，交点是M(eq\f(5,3)，eq\f(5,3))．(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y＋4＝0①,6x－2y－1＝0②))①×2－②，得9＝0冲突．故方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.(3)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0①,6x＋8y－10＝0②))①×2，得6x＋8y－10＝0，因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．1．已知两个直线的方程，求它们的交点坐标，就是解两个直线方程组成的方程组，方程组的解就是交点的坐标．2．解二元一次方程组时，可以利用加减消元法，也可以利用代入消元法．1．已知在平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(7,1)，D(4,6)，点M是边AB的中点，CM与BD交于点P.(1)求直线CM的方程；(2)求点P的坐标．解析：(1)设点C的坐标为(x，y)，因为在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－1,7－1)＝\f(y－6,x－4),\f(6－1,4－1)＝\f(y－1,x－7)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10,y＝6))，即C(10,6)．又点M是边AB的中点，所以M(4,1)，所以直线CM的方程为eq\f(y－1,6－1)＝eq\f(x－4,10－4)，即5x－6y－14＝0.(2)因为B(7,1)，D(4,6)，所以直线BD的方程为eq\f(y－1,6－1)＝eq\f(x－7,4－7)，即5x＋3y－38＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－6y－14＝0,5x＋3y－38＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6,y＝\f(8,3)))，即点P的坐标为(6，eq\f(8,3))．探究二过两条直线交点的直线方程[典例2]求经过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程．解法一解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋8＝0，,x＋y＋3＝0))得交点P(－5,2)．∵直线2x＋3y－10＝0的斜率k＝－eq\f(2,3)，∴所求直线的斜率是eq\f(3,2).因此所求直线方程为3x－2y＋19＝0.解法二设所求直线方程为3x－2y＋m＝0，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋8＝0，,x＋y＋3＝0))得交点P(－5,2)．把点P(－5,2)的坐标代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19.因此所求直线方程为3x－2y＋19＝0.解决此类问题有两种方法．一种是常规法，即由题目已知条件求出交点和直线斜率，利用点斜式写出直线方程；二是利用待定系数法写出方程，再求出交点，代入求出待定系数．2．求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．解析：解法一由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝－\f(7,5).))∵直线l和直线3x＋y－1＝0平行，∴直线l的斜率k＝－3，∴依据点斜式有y－(－eq\f(7,5))＝－3[x－(－eq\f(3,5))]，即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.解法二∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，∴可设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行，∴eq\f(λ＋2,3)＝eq\f(λ－3,1)≠eq\f(2λ－3,－1)，解得λ＝eq\f(11,2).从而所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.探究三两直线交点的综合应用[典例3]已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0及l3：2x－3my－4＝0，求m的值，使l1，l2，l3三条直线能围成三角形．[解析](1)若l1，l2，l3三条直线交于一点．明显m≠4，若m＝4，则l1∥l2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y－4＝0，,mx＋y＝0))得l1，l2的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,4－m)，\f(－4m,4－m))).代入l3的方程得eq\f(8,4－m)－3m·eq\f(－4m,4－m)－4＝0.解得m＝－1或m＝eq\f(2,3)，∴当m＝－1或m＝eq\f(2,3)时，l1，l2，l3交于一点．(2)若l1与l2不相交，则m＝4，若l1与l3不相交，则m＝－eq\f(1,6)，若l2与l3不相交，则m∈∅.综上知：当m＝－1或m＝eq\f(2,3)或m＝4或m＝－eq\f(1,6)时，三条直线不能构成三角形，即构成三角形的条件是m∈(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，4))∪(4，＋∞)．1．将几何条件转化为代数问题是解决本题的关键；2．在分类探讨时，不能遗漏；3．此题是从结论的反面即求出不能围成三角形的条件入手解决的．3．平行四边形的两邻边所在直线的方程是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，对角线的交点是O′(3,3)，求另外两边的方程．解析：建立如图所示的直角坐标系，依据eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋1＝0，,3x－y＋4＝0，))得顶点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，\f(1,4))).因为O′是对角线AC的中点，且O′为(3,3)，所以顶点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)，\f(23,4))).由x＋y＋1＝0知，kAB＝－1，所以kCD＝－1，由点斜式得直线CD的方程为y－eq\f(23,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(29,4)))，即x＋y－13＝0.因为kAD＝3.所以kBC＝3，由点斜式得直线BC的方程为y－eq\f(23,4)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(29,4)))，即3x－y－16＝0.有关对称问题的解法[典例]已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4,5)关于直线l的对称点坐标；(2)直线l1：y＝x－2关于直线l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．[解析](1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y′＋5,2)＝3·\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)·3＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝－2，,y′＝7.))所以P′(－2,7)．(2)法一联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，,3x－y＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,2)，,y＝－\f(9,2).))所以直线l1与l的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2))).在直线l1：x－y－2＝0上任取一点(2,0)，过点(2,0)与直线l：3x－y＋3＝0垂直的直线方程为x＋3y＝2.设直线x＋3y＝2与直线l的交点坐标为(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x0－y0＋3＝0，,x0＋3y0＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(7,10)，,y0＝\f(9,10).))即交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,10)，\f(9,10))).又点(2,0)关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,10)，\f(9,10)))对称的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,5)，\f(9,5)))，所以过两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,5)，\f(9,5)))的直线方程为eq\f(y＋\f(9,2),\f(9,5)＋\f(9,2))＝eq\f(x＋\f(5,2),－\f(17,5)＋\f(5,2))，整理，得7x＋y＋22＝0.则所求直线方程为7x＋y＋22＝0.法二在直线l1上任取一点P(x1，y1)(P∈l1)，设点P关于直线l的对称点为Q(x′，y′)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3·\f(x1＋x′,2)－\f(y1＋y′,2)＋3＝0，,\f(y′－y1,x′－x1)·3＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(－4x′＋3y′－9,5)，,y1＝\f(3x′＋4y′＋3,5).))又点P在直线l1上运动，所以x1－y1－2＝0.所以eq\f(－4x′＋3y′－9,5)－eq\f(3x′＋4y′＋3,5)－2＝0，即7x′＋y′＋22＝0.所以所求直线方程为7x＋y＋22＝0.(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l′，由l∥l′，设l′：y′＝3x′＋b.任取y＝3x＋3上的一点(0,3)，则该点关于点A(3,2)的对称点肯定在直线l′上，设其对称点为(x′，y′)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0＋x′,2)＝3，,\f(3＋y′,2)＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝6，,y′＝1.))代入y′＝3x′＋b，得b＝－17.故直线l′的方程为y′＝3x′－17，即所求直线的方程为3x－y－17＝0.[感悟提高](1)点关于直线对称问题：求对称点的坐标，一般设P点关于直线l的对称点为P′，由PP′⊥l，线段PP′的中点在直线l上，列方程组求解．(2)线关于线对称问题：求对称直线的方程，一般求l与l1的交点，再在直线l1上取一点(不是交点)，求该点关于直线l的对称点，最终由两点式写出直线方程．(3)线关于点对称问题：求对称直线的方程可依据几何意义求解．[随堂训练]对应学生用书第44页1．直线2x－y＝7与直线3x＋2y－7＝0的交点坐标是()A．(3，－1) B．(－1,3)C．(－3，－1) D．(3,1)解析：解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,3x＋2y－7＝0，))得eq\b