2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价第8章函数应用8.2.2函数的实际应用含解析苏教版必修第一册

PAGE课时素养评价四十八函数的实际应用(15分钟30分)1.随着社会发展对环保的要求,越来越多的燃油汽车被电动汽车取代,为了了解某品牌的电动汽车的节能状况,对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如表:记录时间累计里程(单位:公里)平均耗电量(单位:kW·h/公里)剩余续航里程(单位:公里)2024年1月1日50000.1253802024年1月2日51000.126246（注:累计里程指汽车从出厂起先累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂起先累计消耗的电量,平均耗电量=QUOTE,剩余续航里程=QUOTE）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是()A.等于12.5kW·hB.12.5kW·h到12.6kW·h之间C.等于12.6kW·hD.大于12.6kW·h【解析】选D.由题意可得:5100×0.126-5000×0.125=642.6-625=17.6,所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计为17.6kW·h.2.某网站开展了以核心价值观为主题的系列宣扬活动,并将“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜寻.此后,该网站的点击量每月都比上月增长50%,那么4个月后,该网站的点击量和原来相比,增长为原来的 ()A.2倍以上,但不超过3倍B.3倍以上,但不超过4倍C.4倍以上,但不超过5倍D.5倍以上,但不超过6倍【解析】选D.4个月后网站点击量变为原来的QUOTE=QUOTE,所以是5倍以上,但不超过6倍.3.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特别动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到()A.300只 B.400只C.600只 D.700只【解析】选A.将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100,所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.4.甲准备从A地动身至B地,现有两种方案:第一种:在前一半路程用速度v1,在后一半路程用速度v2(v1≠v2),平均速度为QUOTE;其次种:在前一半时间用速度v1,在后一半时间用速度v2(v1≠v2),平均速度为QUOTE;则QUOTE,QUOTE的大小关系为 ()A.QUOTE>QUOTE B.QUOTE<QUOTEC.QUOTE=QUOTE D.无法确定【解析】选B.第一种:设总路程为2s,则QUOTE=QUOTE=QUOTE,其次种:设时间为2t,则QUOTE=QUOTE=QUOTE,,QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE=QUOTE>0,所以QUOTE>QUOTE.5.生产肯定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=QUOTEx2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获得更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为________万件.

【解析】利润L(x)=20x-C(x)=-QUOTE(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.答案:186.李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择:方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度,每度0.4元,超过30度时,超过部分按每度0.5元.方案二:不收管理费,每度0.48元.(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系;(2)小李家九月份按方案一交费34元,问小李家该月用电多少度?(3)小李家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?【解析】(1)当0≤x≤30时,L(x)=2+0.4x;当x>30时,L(x)=2+30×0.4+(x-30)×0.5=0.5x-1,所以L(x)=QUOTE(2)当0≤x≤30时,由L(x)=2+0.4x=34,解得x=80,舍去;当x>30时,由L(x)=0.5x-1=34,解得x=70,所以小李家该月用电70度.(3)设按其次方案收费为F(x)元,则F(x)=0.48x,当0≤x≤30时,由L(x)<F(x),解得2+0.4x<0.48x,解得x>25,所以25<x≤30;当x>30时,由L(x)<F(x),得0.5x-1<0.48x,解得x<50,所以30<x<50,综上25<x<50.故小李家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时,选择方案一比方案二更好.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.2024年8月到11月这四个月的某产品价格的市场平均价f(x)(单位:元/千克)与时间x(单位:月份)的数据如表x891011f(x)28.0033.9936.0034.02现有三种函数模型:①f(x)=bx+a;②f(x)=ax2+bx+c;③f(x)=QUOTE+a,找出你认为最适合的函数模型,并估计2024年12月份的该产品市场平均价()A.②,28元/千克 B.①,25元/千克C.②,23元/千克 D.③,21元/千克【解析】选A.因为f(x)的值随x的值先增后减,所以选f(x)=ax2+bx+c最合适.其次组数据近似为(9,34),第四组近似为(11,34),得f(x)图象的对称轴为x=10,故f(12)=f(8)=28.2.某企业今年3月份产值为a万元,4月份比3月份削减了10%,5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是 ()A.(a-10%)(a+15%)万元B.a(1-10%)(1+15%)万元C.(a-10%+15%)万元D.a(1-10%+15%)万元【解析】选B.由题意,5月份的产值为a(1-10%)(1+15%)万元.3.某人若以每股17.25元的价格购进股票一万股,可以预知一年后以每股18.96元的价格销售.已知该年银行利率为0.8%,按月计复利,为获得最大利润,某人应将钱[注:(1+0.8%)12≈1.100339] ()A.全部购买股票B.全部存入银行C.部分购买股票,部分存银行D.购买股票或存银行均一样【解析】选B.买股票利润:x=(18.96-17.25)×10000,存银行利润:y=17.25×10000×(1+0.8%)12-17.25×10000,计算得x<y.4.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为QUOTEa.若一个新丸体积变为QUOTEa,则需经过的天数为 ()A.125 B.100 C.75 D.50【解析】选C.由已知得QUOTEa=a·e-50k,即e-50k=QUOTE=QUOTE,所以QUOTEa=QUOTE·a=(e-50kQUOTE·a=e-k·75·a,所以t=75.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量削减QUOTE,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477) ()A.6 B.9 C.8 D.7【解析】选BC.设经过n次过滤,产品达到市场要求,则QUOTE×QUOTE≤QUOTE,即QUOTE≤QUOTE,由nlgQUOTE≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥QUOTE≈7.4.6.如图,摩天轮的半径为40米,摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米,摩天轮匀速逆时针旋转,每6分钟转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最高点处,下面的有关结论正确的有 ()A.经过3分钟,点P首次到达最低点B.第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高C.从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度始终在降低D.摩天轮在旋转一周的过程中点有2分钟距离地面不低于65米【解析】选ABD.可以以点O在地面上的垂足为原点,OP所在直线为y轴,与OP垂直的向右的方向为x轴正方向建立坐标系,设y=Asin(ωx+φ)+k,x表示时间.由题意可得A=40,k=45,PQUOTE,T=6,可得ω=QUOTE=QUOTE,故有点P离地面的高度y=40sinQUOTE+45=40cosQUOTEx+45.A.经过3分钟,y=40cosQUOTE+45=5.点P首次到达最低点,正确;B.第4分钟和第8分钟点P距离地面的高度分别为f(4)=40cosQUOTE+45=25,f(8)=40cosQUOTE+45=25.所以第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高,正确;C.从第7分钟至第9分钟摩天轮上的点P距离地面的高度始终在降低,而从第9分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度起先上升.C项不正确.D.由40cosQUOTEx+45=65,化为:cosQUOTEx=QUOTE,取QUOTEx=QUOTE,可得x=1.结合图形可得:摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟距离地面不低于65米.因此正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价为20元/m2,侧面造价为10元/m2,则该容器的最低造价是______元.

【解析】设容器底的长和宽分别为am,bm,成本为y元,所以S底=ab=4,y=20S底+10[2(a+b)]=20(a+b)+80≥20×2QUOTE+80=160,当且仅当a=b=2时,y取最小值160,则该容器的最低造价为160元.答案:1608.(2024·菏泽高一检测)某制造商制造并出售圆柱形瓶装的某种饮料,瓶子的底面半径是r,高h=QUOTEr(单位:cm),一个瓶子的制造成本是0.8πr2分,已知每出售1mL(注:1mL=1cm3)的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子底面的最大半径为6cm.记每瓶饮料的利润为f(r),则f(3)=________,其实际意义是________.

【解析】f(r)=0.2·πr2·QUOTEr-0.8πr2=QUOTE-0.8πr2(0<r≤6),故f(3)=7.2π-7.2π=0.表示当瓶子底面半径为3cm时,利润为0.答案:0当瓶子底面半径为3cm时,利润为0四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2024·上海高一检测)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=QUOTE-48x+8000,已知此生产线年产量最大为230吨.(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本P(年总成本除以年产量)最低,并求最低成本;(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,且生产的产品全部售完,那么当年产量为多少吨时,年总利润可以获得最大?最大利润是多少?【解析】(1)y=QUOTE-48x+8000,0<x≤230.所以P=QUOTE=QUOTE+QUOTE-48≥2QUOTE-48=32,当且仅当x=200时取等号.所以年产量为200吨时,生产每吨产品的平均成本P最低,最低成本为32万元.(2)设利润为z万元,则z=40x-y=40x-QUOTE+48x-8000=-QUOTEx2+88x-8000=-QUOTE(x-220)2+1680,即年产量为220吨时,利润最大为1680万元.10.为净化新安江水域的水质,市环保局于2024年年底在新安江水域投入一些蒲草,这些蒲草在水中的扩散速度越来越快,2024年二月底测得蒲草覆盖面积为24m2,2024年三月底测得覆盖面积为36m2,蒲草覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=mx2+n(m>0)可供选择.(1)分别求出两个函数模型的解析式;(2)若市环保局在2024年年底投放了11m2的蒲草,试推断哪个函数模型更合适?并说明理由;(3)利用(2)的结论,求蒲草覆盖面积达到320m2的最小月份.(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771)【解析】(1)由已知QUOTE⇒QUOTE所以y=QUOTE.由已知QUOTE⇒QUOTE所以y=QUOTEx2+QUOTE.(2)若用模型y=QUOTE,则当x=0时,y1=QUOTE,若用模型y=QUOTEx2+QUOTE,则当x=0时y2=QUOTE,易知运用模型y=QUOTE更为合适.(3)由QUOTE≥320⇒x≥QUOTE30,故x≥QUOTE30=QUOTE=QUOTE=QUOTE≈8.39,故蒲草覆盖面积达到320m2的最小月份是9月.1.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在将来20天内,这种水果每箱的销售利润r(单位:元)与时间t(1≤t≤20,t∈N,单位:天)之间的函数关系式为r=QUOTEt+10,且日销售量y(单位:箱)与时间t之间的函数关系式为y=120-2t,(1)第4天的销售利润为________元;

(2)在将来的这20天中,公司确定每销售1箱该水果就捐赠m(m∈N*)元给“精准扶贫”对象.为保证销售主动性,要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大,则m的最小值是______