2024-2025学年高中数学第一章推理与证明1.2.2分析法课时素养评价含解析北师大版选修2-2

PAGE课时素养评价四分析法(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里②是①的 ()A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件成立，所以②是①的充分条件.2.设a>1，n∈N+，当不等式QUOTE-1<QUOTE恒成立时，n的最小值为 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.n=1时，结论不成立；n=2时，不等式变为2QUOTE-2<a-1，所以(QUOTE-1)2>0，因为a>1，所以不等式成立.3.要证QUOTE-QUOTE<QUOTE成立，a，b应满意的条件是 ()A.ab<0且a>bB.ab>0且a>bC.ab<0且a<bD.ab>0且a>b或ab<0且a<b【解析】选D.要证QUOTE-QUOTE<QUOTE，只需证(QUOTE-QUOTE)3<(QUOTE)3，即证a-b-3QUOTE+3QUOTE<a-b，即证QUOTE<QUOTE，只需证ab2<a2b，即证ab(b-a)<0.只需ab>0且b-a<0或ab<0，且b-a>0.4.若P=QUOTE+QUOTE，Q=QUOTE+QUOTE(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.由a的取值确定【解析】选C.因为P>0，Q>0，所以要比较P，Q的大小关系，只需比较P2，Q2的大小关系，因为P2=a+a+7+2QUOTE·QUOTE=2a+7+2QUOTE，Q2=a+3+a+4+2QUOTE·QUOTE=2a+7+2QUOTE.因为(a+3)(a+4)=a2+7a+12>a2+7a=a(a+7).所以Q2>P2.所以P<Q.二、填空题(每小题5分，共10分)5.使QUOTE>QUOTE成立的一个充分条件为______________.

【解析】要使QUOTE>QUOTE成立，只需QUOTE-QUOTE>0，即QUOTE>0，只要b>a>0或0>b>a或a>0>b.答案：b>a>0(或0>b>a或a>0>b)6.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满意_________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可).

【解析】要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.答案：AC⊥BD(答案不唯一)三、解答题(每小题10分，共20分)7.设a，b，c均为大于1的正数，且ab=10，求证：logac+logbc≥4lgc.【证明】由于a>1，b>1，故要证logac+logbc≥4lgc，只需证QUOTE·lgc≥4lgc.又因为c>1，故lgc>0，所以只需证QUOTE≥4.因为ab=10，故lga+lgb=1，即只需证QUOTE≥4. (*)由于a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0<lgalgb≤QUOTE=QUOTE=QUOTE，即(*)式成立.所以原不等式成立.8.设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：QUOTE+QUOTE=2.【证明】由已知条件得b2=ac，①2x=a+b，2y=b+c.②要证QUOTE+QUOTE=2，只要证ay+cx=2xy，只要证2ay+2cx=4xy.由①②得2ay+2cx=a(b+c)+c(a+b)=ab+2ac+bc，4xy=(a+b)(b+c)=ab+b2+ac+bc=ab+2ac+bc，所以2ay+2cx=4xy.命题得证.(15分钟·30分)1.(5分)设a，b∈R，则“ab≠0”是“QUOTE≤1”成立的 ()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分且必要条件 D.非充分非必要条件【解析】选A.QUOTE≤1⇔QUOTE≤1⇔QUOTE⇔|a|+|b|≠0，所以ab≠0成立时|a|+|b|≠0成立，即QUOTE≤1成立，a=0，b=1时QUOTE≤1成立ab≠0不成立，“ab≠0”是“QUOTE≤1”成立的充分非必要条件.2.(5分)下列不等式不成立的是 ()A.a2+b2+c2≥ab+bc+caB.QUOTE+QUOTE>QUOTE(a>0，b>0)C.QUOTE-QUOTE<QUOTE-QUOTE(a≥3)D.QUOTE+QUOTE>2QUOTE【解析】选D.对A选项，要证a2+b2+c2≥ab+bc+ca，只需证2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≥0，只需证(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0，明显成立，故A不符合题意.对B选项，要证QUOTE+QUOTE>QUOTE(a>0，b>0)，只需证(QUOTE+QUOTE)2>a+b，只需证2QUOTE>0，明显成立，故B不符合题意.对C选项，要证QUOTE-QUOTE<QUOTE-QUOTE，只需证QUOTE+QUOTE<QUOTE+QUOTE，只需证(QUOTE+QUOTE)2<(QUOTE+QUOTE)2，只需证2a-3+2QUOTE<2a-3+2QUOTE，只需证a(a-3)<(a-2)(a-1)，只需证a2-3a<a2-3a+2，明显0<2，故C不符合题意.3.(5分)已知x，y∈(0，+∞)，当x2+y2=_________时，有xQUOTE+yQUOTE=1.

【解析】要使xQUOTE+yQUOTE=1，只需x2(1-y2)=1+y2(1-x2)-2yQUOTE，即2yQUOTE=1-x2+y2，只需使(QUOTE-y)2=0，即QUOTE=y，所以x2+y2=1.答案：14.(5分)分析法又叫执果索因法，若运用分析法证明“设a>b>c，且a+b+c=0，求证：QUOTE<QUOTEa”，则索的因应是下列式子中的_________.(填序号)

①a-b>0；②a-c>0；③(a-b)(a-c)>0；④(a-b)(a-c)<0.【解析】要证明QUOTE<QUOTEa，即证b2-ac<3a2.因为a+b+c=0，所以即证(a+c)2-ac<3a2.需证2a2-ac-c2>0，即证(2a+c)(a-c)>0，即证(a-b)(a-c)>0，故③正确.答案：③5.(10分)已知m>0，n>0，且m+n=1，试用分析法证明不等式QUOTE·QUOTE≥QUOTE成立.【证明】要证QUOTE·QUOTE≥QUOTE，只需证mn+QUOTE≥QUOTE，只需证mn+QUOTE-2≥QUOTE，只需证4(nm)2-33mn+8≥0，即证mn≥8或mn≤QUOTE，而由1=m+n≥2QUOTE，可得mn≤QUOTE明显成立，所以不等式QUOTE·QUOTE≥QUOTE成立.1.将下面用分析法证明QUOTE≥ab的步骤补充完整：要证QUOTE≥ab，只需证a2+b2≥2ab，也就是证_________，即证_________.由于_________明显成立，因此原不等式成立.

【解析】用分析法证明QUOTE≥ab的步骤为：要证QUOTE≥ab成立，只需证a2+b2≥2ab，也就是证a2+b2-2ab≥0，即证(a-b)2≥0.由于(a-b)2≥0明显成立，所以原不等式成立.答案：a2+b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥02.已知数列{an}是首项为2，公比为QUOTE的等比数列，Sn为它的前n项和.(1)用Sn表示Sn+1.(2)是否存在自然数c和k，使得QUOTE>2成立.【解析】(1)因为Sn=4QUOTE，所以Sn+1=4QUOTE=QUOTESn+2(n∈N*).(2)不存在这样的自然数c和k使不等式成立.要使QUOTE>2，只要QUOTE<0.因为Sk=4QUOTE<4，所以Sk-QUOTE=2-QUOTESk>0(k∈N*).故只要QUOTESk-2<c<Sk(k∈N*)①.因为Sk+1>Sk(k∈N*)，所以QUOTESk-2≥QUOTES1-2=1.又Sk<4，故要使①成立，c只能取2或3.当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c<Sk不成立，从而①不成立.当k≥2时，因为QUOTES2-2=QUOTE>c，所以由Sk<Sk+1(k∈N*)，得QUOTE