2024-2025学年高中数学1.1.1变化率问题作业含解析新人教A版选修2-2

PAGE第一章1.11.1.1基础练习1．(2024年湖北咸宁月考)函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10从0到2的平均改变率为()A．－2.2 B．－3.3C．2.2 D．3.2【答案】B2．(2024年浙江宁波高二检测)已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于()A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx)2【答案】C3．(2024年河北唐山月考)假如质点M的运动方程是s＝2t2－2，则在时间段[2，2＋Δt]内的平均速度是()A．8＋2Δt B．4＋2ΔtC．7＋2Δt D．－8＋2Δt【答案】A4．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均改变率是()A．1 B．－1C．2 D．－2【答案】B5.(多选)函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均改变率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均改变率为k2，则k1，k2的大小关系()A.k1<k2B.k1>k2C.与x0无关D.由Δx的正负确定【答案】CD【解析】因为k1＝f(x0＋Δx)－f(x0),Δx＝2x0＋Δx，k2＝f(x0)－f(x0－Δx),Δx＝2x0－Δx，又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系与x0无关且由Δx的正负确定.6．函数y＝f(x)的平均改变率的物理意义是指把y＝f(x)看成物体运动方程时，在区间[t1，t2]内的________．【答案】平均速度7.(多空题)在曲线y＝x2＋x上取点P(2,6)及邻近点Q(2＋Δx,6＋Δy)，那么函数值增量Δy＝，Δy,Δx＝.【答案】(Δx)2＋5ΔxΔx＋5【解析】Δy＝(2＋Δx)2＋2＋Δx－(22＋2)＝(Δx)2＋5Δx，则Δy,Δx＝Δx＋5.8.已知f(x)＝|x|(x＋1)，则eq\f(f0＋Δx－f0,Δx)的值为______．【答案】±(Δx＋1)【解析】由题意知，f(0＋Δx)＝|Δx|(Δx＋1)，则eq\f(f0＋Δx－f0,Δx)＝eq\f(|Δx|Δx＋1,Δx)＝±(Δx＋1)．9.若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均改变率不大于－5，求Δx的取值范围．【解析】由题意知，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋2＋Δx－(－22＋2)＝－(Δx)2－3Δx.∴函数f(x)在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均改变率为eq\f(Δy,Δx)＝－Δx－3.则－Δx－3≤－5，∴Δx≥2.∴Δx的取值范围是[2，＋∞)．10.求函数y＝x2在x＝1,2,3旁边的平均改变率，取Δx的值为1,3，哪一点旁边的平均改变率最大？解：在x＝1旁边的平均改变率为k1＝(1＋Δx)2－1,Δx＝2＋Δx；在x＝2旁边的平均改变率为k2＝(2＋Δx)2－22,Δx＝4＋Δx；在x＝3旁边的平均改变率为k3＝(3＋Δx)2－32,Δx＝6＋Δx.若Δx＝1,3，则k1＝2＋1,3＝7,3，k2＝4＋1,3＝13,3，k3＝6＋1,3＝19,3.由于k1<k2<k3，所以在x＝3旁边的平均改变率最大.实力提升11.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是()A．v甲＞v乙B．v甲＜v乙C．v甲＝v乙D．大小关系不确定【答案】B【解析】设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均改变率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均改变率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均改变率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．12．路灯距离地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离开路灯，那么人影长度的改变速率为()A．eq\f(7,25)m/s B．eq\f(7,22)m/sC．eq\f(7,24)m/s D．eq\f(7,20)m/s【答案】D【解析】如图，设S为路灯，人的高度AB，则AB＝1.6m,84m/min＝eq\f(7,5)m/s，ts时人的影子长AC＝h，由直角三角形相像得eq\f(1.6,8)＝eq\f(h,h＋\f(7,5)t)，h＝eq\f(7,20)tm．则人影长度的改变速率为eq\f(Δh,Δt)＝eq\f(\f(7,20)Δt,Δt)＝eq\f(7,20).故选D．13．函数y＝3x2－2x－8在x1＝3处有增量Δx＝0.5，则f(x)在x1到x1＋Δx上的平均改变率是________．【答案】17.5【解析】x＝3时，y＝13，x＝3＋0.5＝3.5时，y＝21.75，故eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21.75－13,0.5)＝17.5.14．求函数f(x)＝x2分别在[1,2]，[1,1.1]，[1,1.01]上的平均改变率．依据所得结果，你有何猜想？【解析】k1＝eq\f(Δy1,Δx1)＝eq\f(f2－f1,2－1)＝eq\f(22－12,1)＝3；k2＝eq\f(Δy2,Δx2)＝eq\f(f1.1－f1,1.1－1)＝eq\f(1.12－12,0.1)＝2.1；k3＝eq\f(Δy3,Δx3)＝eq\f(f1.01－f1,1.01－1)＝eq\f(1.012－12,0.01)＝2.01.猜想：x0＝1不变，Δx越小，函数的平均改变率越接近于2.15.已知函数f(x)＝x3＋x，证明函数f(x)在随意区间[x，x＋Δx]上的平均改变率都是正数.证明：Δy,Δx＝f(x＋Δx)－f(x),Δx＝(x＋Δx)3＋(x＋Δx)－x3－x,Δx＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2＋1.因为方程3x2＋