学高中数学 综合检测（一）配套训练 苏教版必修5

综合检测(一)一、填空题1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋1，则a9＋a10＋a11的值为________．2．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝4∶3∶2，则cosA的值是________．3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a54．若a>b，则下列不等式正确的是________．①eq\f(1,a)>eq\f(1,b)②a3>b3③a2>b2④a>|b|5．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是{x|－eq\f(1,2)<x<－eq\f(1,3)}，则不等式x2－bx－a<0的解集是_____．6．在△ABC中，若a＝2，b＝eq\r(2)，A＝eq\f(π,4)，则B＝________.7．若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为________．8．已知各项都为正数的等比数列{an}的公比不为1，则an＋an＋3与an＋1＋an＋2的大小关系是__________________．9．已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某等比数列的第4,6,8项，则该等比数列的公比是________．10．已知x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．11．正项等比数列{an}满足a2a4＝1，S3＝13，bn＝log3an，则数列{bn12．已知f(x)＝32x－k·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为________．13．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为eq\r(3)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________.14．已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是________．二、解答题15．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.16．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－eq\r(2)asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.17．已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项an及Sn；(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.18．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号．在遇险地点A南偏西45°方向10海里的B处有一艘海难搜救艇收到求救信号后立即侦察，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75°，正以每小时9海里的速度向一小岛靠近．已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里．(1)为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；(2)若最短时间内两船在C处相遇，如图，在△ABC中，求角B的正弦值．19．在数列{an}中，a1＝1,2an＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))2·an(n∈N*)．(1)证明数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n2)))是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝an＋1－eq\f(1,2)an，求数列{bn}的前n项和Sn.20．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？答案1．572.－eq\f(1,4)3.14.②5.(2,3)6.eq\f(π,6)7.228．an＋an＋3>an＋1＋an＋29．±eq\r(3)10.－4<m<211.－2512．(－∞，2eq\r(2))13.eq\f(2\r(39),3)14.(1－eq\r(3)，2)15．解(1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a<0,\f(4,1－a)＝－2,\f(6,1－a)＝－3))，解得a＝3.∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>eq\f(3,2).∴所求不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1或x>\f(3,2))).(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.16．解(1)由正弦定理得a2＋c2－eq\r(2)ac＝b2，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝eq\f(\r(2),2).又B为三角形的内角，因此B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).故a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),\r(2))＝1＋eq\r(3)，c＝eq\f(bsinC,sinB)＝2×eq\f(sin60°,sin45°)＝eq\r(6).17．解(1)∵{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，∴an＝19－2(n－1)＝21－2n，Sn＝19n＋eq\f(1,2)n(n－1)×(－2)＝20n－n2.(2)由题意得bn－an＝3n－1，即bn＝an＋3n－1，∴bn＝3n－1－2n＋21，∴Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋eq\f(3n－1,2).18．解(1)设搜救艇追上客轮所需时间为t小时，两船在C处相遇．在△ABC中，∠BAC＝45°＋75°＝120°，AB＝10，AC＝9t，BC＝21t.由余弦定理得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，所以(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9t×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，化简得36t2－9t－10＝0，解得t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去)．所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为eq\f(2,3)小时．(2)由AC＝9×eq\f(2,3)＝6，BC＝21×eq\f(2,3)＝14.在△ABC中，由正弦定理得sinB＝eq\f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq\f(6·sin120°,14)＝eq\f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq\f(3\r(3),14).所以角B的正弦值为eq\f(3\r(3),14).19．(1)证明由条件得eq\f(an＋1,n＋12)＝eq\f(1,2)·eq\f(an,n2)，又n＝1时，eq\f(an,n2)＝1，故数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n2)))构成首项为1，公比为eq\f(1,2)的等比数列．从而eq\f(an,n2)＝eq\f(1,2n－1)，即an＝eq\f(n2,2n－1).(2)解由bn＝eq\f(n＋12,2n)－eq\f(n2,2n)＝eq\f(2n＋1,2n)，得Sn＝eq\f(3,2)＋eq\f(5,22)＋…＋eq\f(2n＋1,2n)，eq\f(1,2)Sn＝eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋…＋eq\f(2n－1,2n)＋eq\f(2n＋1,2n＋1)，两式相减得eq\f(1,2)Sn＝eq\f(3,2)＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,22)＋\f(1,23)＋…＋\f(1,2n)))－eq\f(2n＋1,2n＋1)，所以Sn＝5－eq\f(2n＋5,2n).20．解设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意，得z＝2.5x＋4y，且x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，y≥0，,12x＋8y