北京市怀柔区2024-2025学年数学九上开学监测试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共7页北京市怀柔区2024-2025学年数学九上开学监测试题题号一二三四五总分得分批阅人A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转a度角(0°<a≤45°)，与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是()A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形2、（4分）已知，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，那么四边形EFGH是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形3、（4分）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（）A．对某地区现有的16名百岁以上老人睡眠时间的调查B．对“神舟十一号”运载火箭发射前零部件质量情况的调查C．对某校九年级三班学生视力情况的调查D．对某市场上某一品牌电脑使用寿命的调查4、（4分）若a+c=b，那么方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根是（）A．1B．﹣1C．±1D．05、（4分）下图入口处进入，最后到达的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6、（4分）下面哪个点在函数y=2x+4的图象上（）A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，0） D．（-2，0）7、（4分）甲、乙、两、丁四名同学在三次阶段考试中数学成绩的方差分别为，，，，则这四名同学发挥最稳定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8、（4分）如图，OA＝，以OA为直角边作Rt△OAA1，使∠AOA1＝30°，再以OA1为直角边作Rt△OA1A2，使∠A1OA2＝30°，……，依此法继续作下去，则A1A2的长为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在平行四边形中，，将平行四边形绕顶点顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点时，旋转角__________．10、（4分）在反比例函数图象上有三个点A(，)、B(，)、C(，)，若<0<<，则，，的大小关系是．（用“<”号连接）11、（4分）如图，已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象相交于点P，则根据图中信息可得二元一次方程组的解是_____．12、（4分）如图，升降平台由三个边长为1.2米的菱形和两个腰长为1.2米的等腰三角形组成，其中平台AM与底座A0N平行，长度均为24米，点B，B0分别在AM和A0N上滑动这种设计是利用平行四边形的________；为了安全，该平台作业时∠B1不得超过60°，则平台高度(AA0)的最大值为________

米13、（4分）计算：＝_____________。三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，从电线杆离地面5m处向地面拉一条长13m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？15、（8分）计算题：（1）解不等式组（2）先化筒，再求值（），其中m=（3）解方程=1-16、（8分）已知一次函数的图象经过点和求函数的解析式；求直线上到x轴距离为4的点的坐标．17、（10分）（1）（发现）如图1，在中，分别交于，交于．已知，，，求的值．思考发现，过点作，交延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：的值为______．（2）（应用）如图3，在四边形中，，与不平行且，对角线，垂足为．若，，，求的长．（3）（拓展）如图4，已知平行四边形和矩形，与交于点，，且，，判断与的数量关系并证明．18、（10分）如图，点E，F在菱形ABCD的对边上，AE⊥BC．∠1＝∠1．（1）判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．（1）若AE＝4，AF＝1，试求菱形ABCD的面积．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于______.20、（4分）不等式组的解集是________．21、（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为_______．22、（4分）需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测,其中质量超过标准的克数记为正数,不足标准的克数记为负数,现抽取8个排球,通过检测所得数据如下(单位：克):+1，−2，+1，0，+2，−3，0，+1，则这组数据的方差是________.23、（4分）若已知a，b为实数，且=b﹣1，则a+b=_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为9cm，则FG=_____cm．25、（10分）因式分解：（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）2（2）2x3﹣8x2+8x．26、（12分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE=AF，点M是EF的中点，连结CM.（1）求证：CM⊥EF.（2）设正方形ABCD的边长为2，若五边形BCDEF的面积为，请直接写出CM的长.

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A【解析】试题分析：根据反比例函数的性质可得OA=OC，OB=OD，再根据平行四边形的判定方法即可作出判断．解：∵反比例函数图象关于原点对称∴OA=OC，OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形．考点：反比例函数的性质，平行四边形的判定点评：解题的关键是熟练掌握反比例函数图象关于原点对称，对角线互相平分的四边形是平行四边形.2、B【解析】

根据中位线定义得出EF＝HG，EF∥HG，证明四边形EFGH为平行四边形，再根据矩形的判定法则即可判定【详解】∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，同理，HG＝AC，HG∥AC，∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵F，G分别是边BC，CD的中点，∴FG∥BD，∴∠FGH＝90°，∴平行四边形EFGH为矩形，故选：B．此题考查三角形中位线的性质，矩形的判定，解题关键在于利用中位线的性质进行解答3、D【解析】试题分析：A．人数不多，容易调查，适合普查．B．对“神舟十一号”运载火箭发射前零部件质量情况的调查必须准确，故必须普查；C．班内的同学人数不多，很容易调查，因而采用普查合适；D．数量较大，适合抽样调查；故选D．考点：全面调查与抽样调查．4、B【解析】解：根据题意：当x=﹣1时，方程左边=a﹣b+c，而a+c=b，即a﹣b+c=0，所以当x=﹣1时，方程ax2+bx+c=0成立．故x=﹣1是方程的一个根．故选B．5、C【解析】

根据平行四边形的性质和对角线的定义对命题进行判断即可.【详解】等腰梯形也满足此条件，可知该命题不是真命题；根据平行四边形的判定方法，可知该命题是真命题；根据题意最后最后结果为丙.故选C.本题考查命题和定理，解题关键在于熟练掌握平行四边形的性质和对角线的定义.6、D【解析】

将四个选项中的点分别代入解析式，成立者即为函数图象上的点．【详解】A、将（2，1）代入解析式y=2x+4得，2×2+4=8≠1，故本选项错误；B、将（-2，1）代入解析式y=2x+4得，2×（-2）+4=0≠1，故本选项错误；C、将（2，0）代入解析式y=2x+1得，2×2+4=8≠0，故本选项错误；D、将（-2，0）代入解析式y=2x+1得，2×（-2）+4=0，故本选项正确；故选D．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入解析式，解析式成立者即为正确答案．7、B【解析】

根据方差越小，波动越小，越稳定，即可得到答案．【详解】解：∵，，，，∴＜＜＜，∴成绩最稳定的是乙．故选：B．本题考查了方差的意义：方差反映一组数据的波动大小，方差越小，波动越小，越稳定．8、B【解析】

由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出OA1，然后根据30°角的三角函数值求出A1A2即可.【详解】解：∵∠OAA1＝90°，OA＝，∠AOA1＝30°，∴AA1＝OA1，由勾股定理得：OA2+AA12＝OA12，即（）2+（OA1）2＝OA12，解得：OA1＝2，∵∠A1OA2＝30°，∴A1A2的长＝=故选：B．本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理，通过计算得出规律是解决问题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、36°【解析】

由旋转的性质可知：▱ABCD全等于▱ABCD，得出BC=BC，由等腰三角形的性质得出∠BCC=∠C，由旋转角∠ABA=∠CBC，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱ABCD，∴BC=BC，∴∠BCC=∠C，∵∠A=72°，∴∠C=∠C=72°，∴∠BCC=∠C，∴∠CBC=180°−2×72°=36°，∴∠ABA=36°，故答案为36.此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于掌握其性质得出∠BCC=∠C.10、【解析】

根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可；【详解】解：∵反比例函数图象在第二，第四象限时，y随x的增大而增大，∵点A(，)在反比例函数图象上，<0，∴>0，∵B(，)、C(，)在反比例函数图象上，0<<，∴，∴，故答案为：.本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.11、【解析】

直接利用已知图形结合一次函数与二元一次方程组的关系得出答案．【详解】如图所示：根据图中信息可得二元一次方程组的解是：．故答案为：．此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，正确利用图形获取正确信息是解题关键．12、不稳定性；4.2【解析】

（1）根据四边形的不稳定性即可解决问题．（1）当∠B1=60°时，平台AA0的高度最大，解直角三角形A1B0A0，可得A0A1的长，再由AA3=A3A1=A1A1=A1A0，即可解决问题．【详解】解：（1）因为四边形具有不稳定性，点B，B0分别在AM和A0N上滑动，从而达到升降目的，因而这种设计利用了平行四边形的不稳定性；（1）由图可知，当∠B1=60°时，平台AA0的高度最大，=30°，B0A1=1A1C1=1.4，则A0A1=A1B0sin∠A1B0A0=1.4×=1.1．

又∵AA3=A3A1=A1A1=A1A0=1.1，则AA0=4×1.1=4.2．故答案为：不稳定性，4.2．本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13、2＋【解析】

按二次根式的乘法法则求解即可.【详解】解：.本题考查的是二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、12m【解析】

根据题意得出在Rt△ABC中，BC=即可求得.【详解】如图所示：由题意可得，AB=5m，AC=13m，在Rt△ABC中，BC==12（m），答：这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部12m．要考查了勾股定理的应用，根据题意得出△ABC是直角三角形是解题关键,再运用勾股定理求得BC的值．15、（1）-1≤x＜；（2）-5；（3）x=是原分式方程的根．【解析】

分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可；先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算；根据解分式方程的一般步骤解出方程，检验即可得到方程的解．【详解】（1）由不等式①，得x≥-1，由不等式②，得x＜，故原不等式组的解集是-1≤x＜；（2）（）===，当m=时，原式===-5；（3）=1-方程两边同乘以2（x-1），得2=2（x-1）-3去括号，得2=2x-2-3移项及合并同类项，得7=2x系数化为1，得x=经检验，x=是原分式方程的根．本题考查的知识点是解一元一次不等式组、分式的化简求值和解分式方程，解题关键是注意分式方程的解要检验.16、（1）；（2）或．【解析】

把两个点的坐标代入函数关系式中求出k，b即可确定函数关系式，到x轴的距离为4的点，可能在x轴上方或x轴下方的直线上，因此分两种情况进行解答，即令或时求出相应的x的值即可确定坐标．【详解】解：把，分别代入得：，解得：，，一次函数解析式为；当时，，解得，此时满足条件的点的坐标为；当时，，解得，此时满足条件的点的坐标为；综上所述，直线上到x轴距离为4的点的坐标为或．此题考查待定系数法求一次函数的关系式，点到直线的距离的意义，解题关键在于分情况讨论解答，注意分类不重复不重叠不遗漏．17、（1）；（2）；（3）．【解析】

（1）由DE//BC，EF//DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，求出DE=CF，DC=EF，由DC⊥BE，可得△BEF是直角三角形，利用勾股定理，求出BF的长即为BC+DE的值；（2）同（1）做CE//DB，交AB延长线于点E，易证四边形DBEC是平行四边形，根据已知可证△DAB△CBA（SAS），得AC=DB，等量代换，可得AC=CE，故△ACE是等腰直角三角形，AE=8，利用勾股定理，即可求得AC；（3）连接AE、CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等腰直角三角形，求出AC=CE，而DF=CE，即可得出答案．【详解】解：（1）∵DE//BC，EF//DC，∴四边形DCFE是平行四边形，∴DE=CF，DC=EF，∴BC+ED=BC+CF=BF，∵DC⊥BE，DC//EF，∴∠BEF=90°，在Rt△BEF中，∵BE=5，EF=DC=3，∴BF==．故BC+DE=．（2）做CE//DB，交AB延长线于点E，由（1）同理，可证得四边形DBEC是平行四边形，BE=DC=3，在△DAB和△CBA中，∴△DAB△CBA（SAS），∴DB=AC，∵四边形DBEC是平行四边形，DB=CE，∴AC=CE，∵AC⊥DB，∴AC⊥CE，∴△ACE是等腰直角三角形，∵AE=AB+BE=AB+DC=5+3=8，∴AC=，求得AC=．故AC的长为．（3）AC=DF；证明：连接AE、CE，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC，∵四边形ABEF是矩形，∴AB//FE，BF=AE，∴DC//FE，∴四边形DCEF为平行四边形，∴CE=DF，∵四边形ABEF是矩形，∴BF=AE，∵BF=DF，∴DF=CE，∴AF=BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，在△FAD和△EBC中，∴△FAD△EBC（SSS），∴∠AFD=∠BEC，∴∠FEB=∠EFA=90°，∵∠EBF=60°，∠BFD=30°，∴∠DFA=90°-30°-（90°-60°）=30°，∴∠CEB=30°，∴OE=OB，∵∠EBF=60°，∴∠BEA=∠EBF=60°，∴∠AEC=60°+30°=90°，即△AEC是等腰直角三角形，∴AC=CE，∵DF=CE，∴AC=DF．故AC与DF之间的数量关系是AC=DF．本题考查几何的综合，难度偏高，涉及的知识点有三角形、四边形、平行线等，熟练掌握以上知识点的综合运用是顺利解题的关键．18、四边形AECF是矩形，理由见解析；（1）菱形ABCD的面积＝10.【解析】

（1）由菱形的性质可得AD=BC，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，由∠1=∠1可得∠EAF=∠FCB=90°=∠AEC，可得四边形AECF是矩形；

（1）由勾股定理可求AB的值，由菱形的面积公式可求解．【详解】解：（1）四边形AECF是矩形

理由如下：

∵四边形ABCD是菱形

∴AD=BC=AB，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，

∵AE⊥BC

∴AE⊥AD

∴∠FAE=∠AEC=90°

∵∠1=∠1

∴∠BAD-∠1=∠BCD-∠1

∴∠EAF=∠FCB=90°=∠AEC

∴四边形AECF是矩形

（1）∵四边形AECF是矩形

∴AF=EC=1

在Rt△ABE中，AB1=AE1+BE1，

∴AB1=16+（AB-1）1，

∴AB=5

∴菱形ABCD的面积=5×4=10本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】

过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，∵2PB+PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，∴当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，∴2PB+PD的最小值等于6，故答案为：6.此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.20、>1【解析】

根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集．【详解】，解不等式①，得x＞1，解不等式②，得x≥-2，所以不等式组的解集为：x＞1．故答案为：x＞1.本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．21、6.5【解析】试题分析：依题意作图可知EF为Rt△ABC中位线，则EF=AB．在Rt△ABC中AB=所以EF=6.5考点：中位线定理点评：本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线定理知识点的掌握．22、2.1【解析】

解：平均数=（1-2+1+0+2-3+0+1）÷8=0；方差==2.1，故答案为2.1．考点：方差；正数和负数．23、6【解析】

根据二次根式被开方数为非负数可得关于a的不等式组，继而可求得a、b的值，代入a+b进行计算即可得解.【详解】由题意得：，解得：a=5，所以：b=1，所以a+b=6，故答案为：6.本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、【解析】

作GM⊥AC′于M，A′N⊥AD于N，AA′交EC′于K．易知MG=AB=AC′=4.5，首先证明△AKC′